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Cluster categories of formal dg algebras and hereditary Calabi-Yau categories

埴原, 紀宏 名古屋大学

2021.06.17

概要

多元環の表現論の大きな日標は、与えられた環に付随する種々の圏構造を理解することである。そこでは最も基本的な対象である加群圏に加えて、導来圏、特異圏、団圏などの種々の三角圏が重要な研究対象として現れる。本論文の主題は、このような三角圏、特に微分次数付き(differential graded, dg) 代数に付随する団間における団傾理論である。

団傾理論は今世紀に入ってから、団代数の圏化や高次元 Auslander-Reiten 理論を起源として発展し、今日では様々な分野との関係を含めて活発に研究されている。団傾理論において特に重要な概念が Calabi-Yau (CY) 三角圏における団傾対象である。団傾対象は団代数における団の圏論的対応物であると同時に、高次元Auslander-Reiten 理論の観点からは加群圏の高次元化である。

CY 三角圏で団傾対象を持つものの最も基本的な例は Buan-Marsh-Reineke - Reiten-Todorow によって導入された能の国間であり、それは熊の道多元環の導来圏の軌道圏として定義される。この団圏の大幅な一般化として、Amiot により dg 代数による定式化が与えられた。Calabi-Yau 性を持つ dg 代数(CY dg 代数）に対してその団圏は、完全導来圏の有限次元dg加群のなす三角部分圏によるVerdier:商として定義される。箙の道多元環（あるいはより一般に大城次元が有限な有限次元代数）に対してCalabi-Yau完備化と呼ばれる操作によって CY dg 代数が定まり、その団間は導来圏の軌道圏（の包絡三角間）と三角同値となることが分かり、Amiot の Verdier 商による表示は前述の Buan-Marsh-Reineke-Reiten-Todorov の軌道圏による表示を一般化する。

本論文は2つの部からなる。第1部ではCY dg代数の新しい構成法を与え、その団圏を調べる。このような国圏が、有限次元代数の（高次）Auslander-Reiten (AR)移動のベキ根を伴う団圏の体系的な例を与えることを示す。まず以下で第1部の主要な結果について説明する。

・dg代数の基本的な構成として、次数付き代数を微分が0のdg代数と見ることが挙げられる。まず〃次元次数付きCY代数んであってα不変量がαであるものに対して、それを微分が0のdg代数redgとみなすと、符号による振れを除いて(n+a) 次元の CY dg 代数となることを示した。これは次数付き代数のCY 性とdg代数のCY 性を結びつける基本的な結果であり、一般には構成の難しい CY dg代数の例を豊富に与える。

・次に上のように得られた CY ds 代数 Adgの団圏がんの非可換射影スキームの導来圏 D°(9gY R) の軌道圏として表示できることを示した。さらに Rの非可換射影スキームとある有限次元代数 Aの導来同値を与える Minamoto-Mori の定理を解釈することで、Aの高次 AR 移動がベキ根を持つことを示し、Rig の団間のAの導米圏の高次 AR 移動のベキ根を伴った軌道圏としての表示を得た。これはBuan-Marsh-Reincke-Reiten-Todorov の表示の類似であると同時に、AR 移動のベキ根を伴う団圏の体系的な構成を与えている。

・さらに、Rgの団圏を、Rから明示的に構成される有限次元 Gorenstein 環の特異圏としての表示を与えた。これは特異圏が CY で団対象を持つGorenstein 環の豊富な例を与えている。また、この結果は飯の前射影多元環の商として得られる Gorenstein 環に対する Buan-Iyama-Reiten-Scott の定理の特別な場合の高次元化となっている。

第2部では、第1部で考察した団圏をモデルとして、遺伝的多元環から得られる CY 三角圏に対する森田型定理を与える。古典的な森田の定理は、アーベル圏の中で環上の加群圏を射影生成元によって、同様にその三角圏的類似は代数的三角圏の中で導米圏を対象によって、それぞれ特徴づける。第2部ではこれらの類似、すなわち CY 三角圏の中で団圏の団傾対象を用いた特徴づけを与える。以下、主要な結果を述べる。

・主定理として、代数的 d-CY 三角断でd対値対象でを持ち、アをd－1個シフトして直利したものTOTI-1e…・+TI-(d- 2)]の自己準同型環日が遺伝的で非Dynkin 型であるとき、そのd-CY 三角圏ケはHのAR 移動のd-1乗根を伴う団圏であることを示した。これは知られている本質的に全ての CY 三角圏の森田型定理である Keller-Roiten および Keller-Murfet-Van den Bergh の両結果を(非Dynkin 型について)含み、拡張するものである。

・さらに、上記のHの遺伝性が、団傾対象を4-2個シフトして直和したものTOTI-1e・ +T[-(d-3)1の自己準同型環の遺伝性から従うことを示した。例えば4=3の場合は団傾対象自身の自己準同型環の遺伝性から H の遺伝性が従い、上記の主定理と合わせると Keller-Reiten および Keller-Murfet-Van den Bergh の定理の共通の一般化を与える。

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