リケラボ論文検索は、全国の大学リポジトリにある学位論文・教授論文を一括検索できる論文検索サービスです。

リケラボ 全国の大学リポジトリにある学位論文・教授論文を一括検索するならリケラボ論文検索大学・研究所にある論文を検索できる

リケラボ 全国の大学リポジトリにある学位論文・教授論文を一括検索するならリケラボ論文検索大学・研究所にある論文を検索できる

大学・研究所にある論文を検索できる 「PBW parametrizations and generalized preprojective algebras」の論文概要。リケラボ論文検索は、全国の大学リポジトリにある学位論文・教授論文を一括検索できる論文検索サービスです。

コピーが完了しました

URLをコピーしました

論文の公開元へ論文の公開元へ
書き出し

PBW parametrizations and generalized preprojective algebras

Murakami, Kota 京都大学 DOI:10.14989/doctor.k23681

2022.03.23

概要

前射影代数とは菔から定まる道代数から構成される二次的な代数系であり、道代数の表現論の構造を反映した関係式(前射影関係式)を持っている。前射影関係式はいわゆる中島菔多様体(以下菔多様体と呼ぶ)に課されるモーメント写像から来る関係式とも見なせるため、前射影代数の枠つき表現の空間は菔多様体の構造と密接な関係を持つ。菔多様体はその(Borel-Moore)ホモロジー群及びK群に菔(を無向グラフとみなしたときそれ)に対応する型のカッツ・ムッディーリー代数及びその量子群の可積分最高ウェイト表現を実現し、特に幾何学的な操作によりそのような最高ウェイト表現の基底をなすようなサイクルを定めることができるといった性質を持つ表現論的に重要な多様体である。また菔が有限型Dynkin図形の向き付けで得られる場合、前射影代数の加群圏の捻れ部分圏は同じ菔から定まる単純リー代数のWeyl群の元と対応し、またその包含関係がWey1群の弱Bruhat順序と対応することが足立-伊山-Reitenらによるτ-傾理論の帰結として示された。道代数から単純リー代数を定めようとすると、ADE型と呼ばれる単純リー代数の分類の一部のみが自然に出現する。これを一般の型が扱えるように自然に拡張することは特に菔多様体の見地からは長年に渡り懸案とされてきた。

一般化前射影代数とはGeiss-Leclerc-Schroer(以下、GLSと略記)によりこの懸案にアプローチすべく定義された菔に加えて各頂点の次数や矢印の重みを付加的なデータとして持つ前射影代数を一般化した代数系である。この付加データによりADE型とは限らない単純リー代数のデータが自然に実現され、ADE型の場合でも付加的データの取り方の自由度から通常の前射影代数を含む新しい代数系の無限列が出現するという格好になっている。ただし現状ではこの代数系の表現論を用いて菔多様体の理論全体を自然に実現することはできておらず、菔多様体が実現する量子群の可積分最高ウェイ卜表現の結晶基底に対応する適切なサイクルを構成しそれが柏原により導入された大域結晶基底から定まる可積分最高ウェイト表現の結晶の構造をなすことまでが証明されている。

単純リー代数の量子群は単純リー代数の普遍包絡環の変形であり、特に単純リー代数自体を変形するような部分リー代数(やその類似物)を含むという訳ではない。このことから量子群のPoincare-Birkoff-Witt基底(PBW基底)は単純リー代数のようにリー代数の基底を用いては定義することができない。この状況下でも量子群への組紐群の作用を用いることにより単純リー代数の自然な基底に対応するような元の列を構成でき、それを用いて量子群のPBW基底と呼ぶべきものが構成できることがLusztigにより示されている。このようなPBW基底は組紐群の生成元の列に依存して決まり、一般には多数存在する。そしてADE型の場合にはそのどれもと大域結晶基底の間の変換行列が適切な添字づけによって三角行列となり、さらにその各係数が正値になることが知られている。このうち特に三角性はPBW基底たちの間に大域結晶基底を介する形で自然な全単射を誘導する。この全単射のデータはよく見ると互いに貼り合わさる格好で多面体を成すということがBernstein-Zelevinskyより示され、さらにその多面体がアフイン・グラスマン多様体の適切なサイクルのモーメント写像による像として定まるいわゆるMirkovic-Vilonen多面体(以下MV多面体)と対応することがKamnitzerにより示された。このような対応を精密化してゆくことは菔多様体とアフイン・グラスマン多様体(の切片と)の関係がある種のミラー対称性とみなされるという観点からも大切なことと考えられている。

そのような精密化のひとつのステップとしてBaumann-Kamnitzer(-Tingley)はMV多面体を菔多様体を介する形で前射影代数の加群を用いた解釈により実現した。ただし、前射影代数を用いるという制約から彼らの結果はやはり単純リー代数としてはADE型に結果が限られてしまっていた。

本学位論文では上述のGLSによる一般化前射影代数を用いたADE型以外を含む単純リー代数の結晶構造の記述を精密化し、特にMV多面体の加群論的な記述を行った。その中で特に最初に述べたようなτ傾理論の結果(の一般化前射影代数版)を援用することにより上に挙げたようなPBW基底を与えるような組紐群の生成元の列は一般化前射影代数の加群圏における捻れ部分圏の増大列に対応すること、このような捻れ部分圏の増大列が誘導する一般化前射影代数の適切な部分加群圏の増大列から部分商を取ると特別な形の加群が生成するような単純な形の圏が出現すること、さらにMV多面体の数値的データを加群論的に明示的に記述する方法などを確立した。

参考文献

[AIR14] T. Adachi, O. Iyama, and I. Reiten, g-tilting theory, Compos. Math. 150 (2014), no. 3, 415–452. MR3187626

[AIR15] C. Amiot, O. Iyama, and I. Reiten, Stable categories of Cohen-Macaulay modules and cluster categories, Amer. J. Math. 137 (2015), no. 3, 813–857. MR3357123

[AR85] M. Auslander and I. Reiten, Modules determined by their composition factors, Illinois J. Math. 29 (1985), no. 2, 280–301. MR784524

[AS81] M. Auslander and S. O. Smalø, Almost split sequences in subcategories, J. Algebra 69 (1981), no. 2, 426–454. MR0617088

[Asa20] S. Asai, Semibricks, Int. Math. Res. Not. IMRN 16 (2020), 4993–5054. MR4139031

[Asa22] , Bricks over preprojective algebras and join-irreducible elements in Coxeter groups, J. Pure Appl. Algebra 226 (2022), no. 1, 106812. MR4273083

[ASS06] I. Assem, D. Simson, and A. Skowroński, Elements of the representation theory of associative algebras. Vol. 1, London Mathematical Society Student Texts, vol. 65, Cambridge University Press, Cambridge, 2006. MR2197389

[BB05] A. Björner and F. Brenti, Combinatorics of Coxeter groups, Graduate Texts in Mathematics, vol. 231, Springer, New York, 2005. MR2133266

[BIRS09] A B Buan, O Iyama, I Reiten, and J Scott, Cluster structures for 2-Calabi-Yau categories and unipotent groups, Compos. Math. 145 (2009), no. 4, 1035–1079. MR2521253

[BK12] P. Baumann and J. Kamnitzer, Preprojective algebras and MV polytopes, Represent. Theory 16 (2012), 152–188. MR2892443

[BKK21] P. Baumann, J. Kamnitzer, and A. Knutson, The Mirković-Vilonen basis and Duistermaat-Heckman measures, Acta Math. 227 (2021), no. 1, 1–101. MR4346265

[BKT14] P. Baumann, J. Kamnitzer, and P. Tingley, Aflne Mirković-Vilonen polytopes, Publ. Math. Inst. Hautes Études Sci. 120 (2014), 113–205. MR3270589

[BR87] M. C. R. Butler and C. M. Ringel, Auslander-Reiten sequences with few middle terms and applications to string algebras, Comm. Algebra 15 (1987), no. 1-2, 145–179. MR876976

[BST19] T. Brüstle, D. Smith, and H. Treffinger, Wall and chamber structure for finite-dimensional algebras, Adv. Math. 354 (2019), 106746, 31. MR3989130

[BZ97] A. Berenstein and A. Zelevinsky, Total positivity in Schubert varieties, Comment. Math. Helv. 72 (1997), no. 1, 128–166. MR1456321

[CBS02] W. Crawley-Boevey and J. Schröer, Irreducible components of varieties of modules, J. Reine Angew. Math. 553 (2002), 201–220. MR1944812

[DIJ19] L. Demonet, O. Iyama, and G. Jasso, g-tilting finite algebras, bricks, and î-vectors, Int. Math. Res. Not. IMRN 3 (2019), 852–892. MR3910476

[Eno21] H. Enomoto, Bruhat inversions in Weyl groups and torsion-free classes over preprojective algebras, Comm. Algebra 49 (2021), no. 5, 2156–2189. MR4232491

[FG19] C. Fu and S. Geng, Tilting modules and support g-tilting modules over preprojective algebras associated with symmetrizable Cartan matrices, Algebr. Represent. Theory 22 (2019), no. 5, 1239–1260. MR4026632

[Fu17] C. Fu, 2-vectors via g-tilting theory, J. Algebra 473 (2017), 194–220. MR3591148

[GHKK18] M. Gross, P. Hacking, S. Keel, and M. Kontsevich, Canonical bases for cluster algebras, J. Amer. Math. Soc. 31 (2018), no. 2, 497–608. MR3758151

[GLS05] C. Geiss, B. Leclerc, and J. Schröer, Semicanonical bases and preprojective algebras, Ann. Sci. École Norm. Sup. (4) 38 (2005), no. 2, 193–253. MR2144987

[GLS11] C. Geiß, B. Leclerc, and J. Schröer, Kac-Moody groups and cluster algebras, Adv. Math. 228 (2011), no. 1, 329–433. MR2822235

[GLS16] C. Geiß, B. Leclerc, and J. Schröer, Quivers with relations for symmetrizable Cartan matrices III: Convolution algebras, Represent. Theory 20 (2016), 375–413. MR3555157

[GLS17] C. Geiss, B. Leclerc, and J. Schröer, Quivers with relations for symmetrizable Cartan matrices I: Foundations, Invent. Math. 209 (2017), no. 1, 61–158. MR3660306

[GLS18a] C. Geiß, B. Leclerc, and J. Schröer, Quivers with relations for symmetrizable Cartan matrices II: change of symmetrizers, Int. Math. Res. Not. IMRN 2018 (2018), no. 9, 2866–2898. MR3801499

[GLS18b] C. Geiss, B. Leclerc, and J. Schröer, Quivers with relations for symmetrizable Cartan matrices IV: crystal graphs and semicanonical functions, Selecta Math. (N.S.) 24 (2018), no. 4, 3283–3348. MR3848021

[GLS18c] C. Geiß, B. Leclerc, and J. Schröer, Quivers with relations for symmetrizable Cartan matrices V: Caldero-Chapoton formulas, Proc. Lond. Math. Soc. (3) 117 (2018), no. 1, 125–148. MR3830892 [GLS20] , Rigid modules and Schur roots, Math. Z. 295 (2020), no. 3-4, 1245–1277. MR4125687

[GP79] I. M. Gel’fand and V. A. Ponomarev, Model algebras and representations of graphs, Funktsional. Anal. i Prilozhen. 13 (1979), no. 3, 1–12. MR545362

[HKW20] J. Hilburn, J. Kamnitzer, and A. Weekes, BFN Springer Theory, 2020. preprint, arXiv:2004.14998v2. [Hum90] J. E. Humphreys, Reflection groups and Coxeter groups, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, vol. 29, Cambridge University Press, Cambridge, 1990. MR1066460

[Jia14] Y. Jiang, Parametrizations of canonical bases and irreducible components of nilpotent varieties, Int. Math. Res. Not. IMRN 2014 (2014), no. 12, 3263–3278. MR3217661

[Kül17] J. Külshammer, Pro-species of algebras I: Basic properties, Algebr. Represent. Theory 20 (2017), no. 5, 1215–1238. MR3707912

[Kac90] V. G. Kac, Infinite-dimensional Lie algebras, Third, Cambridge University Press, Cambridge, 1990. MR1104219

[Kam07] J. Kamnitzer, The crystal structure on the set of Mirković-Vilonen polytopes, Adv. Math. 215 (2007), no. 1, 66–93. MR2354986

[Kam10] , Mirković-Vilonen cycles and polytopes, Ann. of Math. (2) 171 (2010), no. 1, 245–294. MR2630039

[Kas91] M. Kashiwara, On crystal bases of the &-analogue of universal enveloping algebras, Duke Math. J. 63 (1991), no. 2, 465–516. MR1115118

[Kel11] B. Keller, On cluster theory and quantum dilogarithm identities, Representations of algebras and related topics, 2011, pp. 85–116. MR2931896

[KS97] M. Kashiwara and Y. Saito, Geometric construction of crystal bases, Duke Math. J. 89 (1997), no. 1, 9–36. MR1458969

[KTW+19] J. Kamnitzer, P. Tingley, B. Webster, A. Weekes, and O. Yacobi, Highest weights for truncated shifted Yangians and product monomial crystals, J. Comb. Algebra 3 (2019), no. 3, 237–303. MR4011667 [Lec16] B. Leclerc, Cluster structures on strata of flag varieties, Adv. Math. 300 (2016), 190–228. MR3534832 [Lus00] G. Lusztig, Semicanonical bases arising from enveloping algebras, Adv. Math. 151 (2000), no. 2, 129–139. MR1758244

[Lus90] , Canonical bases arising from quantized enveloping algebras, J. Amer. Math. Soc. 3 (1990), no. 2, 447–498. MR1035415

[McN11] P. J. McNamara, Metaplectic Whittaker functions and crystal bases, Duke Math. J. 156 (2011), no. 1, 1–31. MR2746386

[Miy86] Y. Miyashita, Tilting modules of finite projective dimension, Math. Z. 193 (1986), no. 1, 113–146. MR852914

[Miz14] Y. Mizuno, Classifying g-tilting modules over preprojective algebras of Dynkin type, Math. Z. 277 (2014), no. 3-4, 665–690. MR3229959

[Mur19] K. Murakami, On the module category of generalized preprojective algebras of Dynkin types, 2019. preprint, arXiv:1906.08739v2, to appear in Osaka J. Math.

[Mur22] , PBW parametrizations and generalized preprojective algebras, Adv. Math. 395 (2022), Paper No. 108144. MR4355737

[MV07] I. Mirković and K. Vilonen, Geometric Langlands duality and representations of algebraic groups over commutative rings, Ann. of Math. (2) 166 (2007), no. 1, 95–143. MR2342692

[Nak01] H. Nakajima, Quiver varieties and finite-dimensional representations of quantum aflne algebras, J. Amer. Math. Soc. 14 (2001), no. 1, 145–238. MR1808477

[Nak98] , Quiver varieties and Kac-Moody algebras, Duke Math. J. 91 (1998), no. 3, 515–560. MR1604167 [NW19] H. Nakajima and A. Weekes, Coulomb branches of quiver gauge theories with symmetrizers, 2019. preprint, arXiv:1907.06552v2.

[Rei08] M. Reineke, Framed quiver moduli, cohomology, and quantum groups, J. Algebra 320 (2008), no. 1, 94–115. MR2417980

[Sai94] Y. Saito, PBW basis of quantized universal enveloping algebras, Publ. Res. Inst. Math. Sci. 30 (1994), no. 2, 209–232. MR1265471

[SV20] O. Schi mann and E. Vasserot, On cohomological Hall algebras of quivers: generators, J. Reine Angew. Math. 760 (2020), 59–132. MR4069884

[Tre19] H. Treffinger, On sign-coherence of 2-vectors, J. Pure Appl. Algebra 223 (2019), no. 6, 2382–2400. MR3906554

[TW16] P. Tingley and B. Webster, Mirković-Vilonen polytopes and Khovanov-Lauda-Rouquier algebras, Compos. Math. 152 (2016), no. 8, 1648–1696. MR3542489

[Yur18] T. Yurikusa, Wide subcategories are semistable, Doc. Math. 23 (2018), 35–47. MR3846064

参考文献をもっと見る

全国の大学の
卒論・修論・学位論文

一発検索!

この論文の関連論文を見る