論文の公開元へA nonstandard invariant of coarse spaces
概要
本論文の目的は、粗幾何学の主要概念の一つである粗空間(coarse space)について、超準解析の道具立てを用いて新たな不変量を与えることにある。
ここで粗空間とは、距離空間等の一般化であり空間の大尺度的な性質を捉えることを目的とした概念である。主に関数解析、幾何学的群論や無限組合せ論などに登場する。一様空間と対照的であり、ちょうど一様空間において関数の一様連続性や関数族の同程度連続性について語れるのと同様に、粗空間においては集合の有界性や集合族の一様有界性等の大尺度的性質について十全に語ることができる。
一方で超準解析とは数理論理学に由来する一手法である。標準的ユニバースを超準拡大し（無限小などの）架空対象を追加することにより、厳密でありながら直截的な議論が可能となり、証明の見通しをよくすることができる（無限小実数を導入することでε-δ 論法を回避できるなど）。
粗空間の不変量に関する先行研究としては、Miller et al.(2010)に端を発する一連の研究が挙げられる。このアプローチでは、基点つき粗空間(X,ξ)が与えられたとき、ξ から出発し無限遠に向けて発散する点列（粗点列）全体を考える。そして適当な「同値関係」で割ることにより得られる商集合をσ(X,ξ)と定める。σ(X,ξ)は確かに粗同値性により保たれる不変量であるが、粗点列間の「同値関係」を確かめるには任意有限回の点列操作が必要なため、具体的に与えられた粗空間に対してσ(X,ξ)を厳密に求めるのはかなり煩雑である。
そこで本論文では、超準解析に基づいて新たな不変量ιが提案されている。具体的には、基点つき粗空間(X,ξ)が与えられたとき、その超準拡大に含まれる無限遠点全体を考え、macrochain 連結なものたちを同一視することにより不変量ι(X,ξ)を定める。σの場合の発散点列をその“発散先”にある無限遠点で置き換えてmacrochain 連結なものを同一視することにより、より直截的な不変量の計算が可能となっている。
以下本論文の概要を述べる。第 1 章は導入である。第 2 章では、参考論文[2]に基づき、粗空間の超準的取り扱いについて基本事項がまとめられる。とくに重要なのは、粗写像（bornologous かつ proper な写像）の超準的特徴づけである。そしてホモトピーの大尺度版である bornotopy についても特徴づけが与えられる。これらの特徴づけは、（超準解析に慣れてさえいれば）直感的で使いやすいものであり、この使いやすさが不変量にまつわる議論の簡明さにつながっている。
第 3 章では、基点付き粗空間(X,ξ)に対する不変量ι(X,ξ)が定義され、いくつかの具体的な粗空間についてι(X,ξ)の計算例が与えられる。ι は基点付き粗空間の圏から集合圏への関手に拡張できる。さらに bornotopic な粗写像 f,g について ι(f)と ι(g)が等しくなることから、ι(X,ξ)が粗同値性の下で不変であることがただちに従う。
第 4 章では先行研究における不変量との比較が行われる。そのためにまず関手σからιへの自然変換ωが定められる。仮にωが任意の(X,ξ)上で全単射であれば２つの不変量の同等性が導かれるが、実際にはそうはならない。まず、ωが常に全射とはならないことが具体例をもって示される。一方で、固有測地距離空間(proper geodesic metric space)上であればωが全射となることが証明できる。単射性についていえば、先行研究や本論文で検討された具体例すべてについて単射性が成り立つものの、単射性を示すための一般的手法は確立されておらず、また反例も見つかっていない。
最後に第 5 章で展望と未解決問題が述べられて本論文は締めくくられる。
