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Ray-Singer torsion and the Laplacians of the Rumin complex on lens spaces

北岡, 旦 東京大学 DOI:10.15083/0002007141

2023.03.24

概要

審査の結果の要旨











学位申請論文 Ray-Singer torsion and the Laplacians of the Rumin complex on lens spaces にお
いて、北岡氏は CR 多様体上で定義されるルマン複体のラプラシアンのスペクトルから与えられ
る解析的捩率を考察している。ルマン複体はド・ラーム複体の類似物であるが、2階の微分作用
素を含み、そのラプラシアン(ルマン・ラプラシアン)は4階の微分作用素になる。またルマン・
ラプラシアンは楕円型ではなく、準楕円性しか持たない。Rumin と Seshadri はルマン・ラプラ
シアンのスペクトル・ゼータ関数を用いて解析的捩率を定義し、S1 作用を持つ 3 次元 CR 多様体
では、それがド・ラーム複体から定義されるレイ・シンガー捩率と一致することを示した。しか
し、高次元での解析的捩率について全く情報は得られていなかった。北岡氏は一般次元のレンズ
空間の上のルマン・ラプラシアンのスペクトルを完全に決定し、その解析的捩率とレイ・シンガ
ー捩率の比を次元とベッチ数を用いて具体的に表示した。スペクトルの計算には球面へのユニタ
リ群の作用によるルマン複体の既約分解を用いている。ルマン複体に現れる微分作用素をケーラ
ー関係式が成り立つように正規化した場合に、ラプラシアンのスペクトルを既約表現の最高次ウ
エイトを用いて明示した。スペクトルの部分的な計算結果はいくつか知られていたが、それら統
合・補完し、表現論的な理解を与えたのは注目に値する。池田と谷口は対称空間でのド・ラーム
複体のラプラシアンのスペクトルが表現論的に決定できることを示している。その類似がルマ
ン・ラプラシアンでも成り立つことを示した最初の結果である。スペクトルの表現論的な対称性
は解析的捩率の計算において多くの打ち消しを与え、解析的捩率のフルビッツ・ゼータ関数を用
いた表示を可能とする。これは Rumin と Seshadri によって定義された解析的捩率では起こらな
い顕著な性質である。北岡氏はルマン複体の正規化を行わない場合の解析的捩率の振る舞いも考
察している。5 次元球面においてルマン複体の全てのパラメータ付に対して解析的捩率を求め、
特にこれらの解析捩率がレイ・シンガー捩率の整数倍になるのは上述の正規化条件に対応したパ
ラメータに限ることを示した。これは CR 多様体の解析捩率の「正しい」定義を示唆するもので
ある。

これら結果は、優れた数学的業績であり、CR 多様体上の解析幾何学への重要な貢献
であると評価できる。論文提出者北岡旦は、博士(数理科学)の学位を受けるにふさわ
しい充分な資格があると認める。

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