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Path optimization with neural network for sign problem in quantum field theories

Mori, Yuto 京都大学 DOI:10.14989/doctor.k23005

2021.03.23

概要

本論文は、格子 QCD の符号問題が現れる有限密度 QCD 物質の理解を目指し、符号問題を弱めるように複素化した変数の積分経路を変形する経路最適化法を提案し、いくつかの例で有用性を確かめた研究成果をまとめたものである。

符号問題とは、作用が複素数となる系において、複素数となるボルツマン重率の打ち消し合いのため観測量の分母に現れる分配関数が体積の増加とともに指数関数的に小さくなり、精密な数値計算が困難となる問題である。複素作用は有限密度のフェルミ粒子を含む場の理論など、様々な量子多体系に現れるため、原子核や中性子星などの高バリオン密度 QCD 物質を強い相互作用の第一原理計算である格子 QCD で研究することが困難となっている。符号問題を回避するための手法として近年注目されているのが、積分変数の複素化を利用する複素ランジュバン法とレフシェッツ・シンブル法である。複素ランジュバン法は計算コストが低く、現実的な系にも利用されているが、結果が間違った答えに収束する場合がある。レフシェッツ・シンブル法は厳密であるが、計算コストが高い。

本論文で提案している経路最適化法は、複素化された変数の空間での積分経路を試行関数で与え、符号問題の深刻さを表すコスト関数が最小になるように試行関数を変分的に定める方法である。元の積分経路からのボルツマン重率の特異点を通過しない連続変形であれば、コーシーの積分定理によって解析関数の積分で与えられる分配関数や観測量などは不変である。一方、絶対値の積分を用いる平均位相因子は経路に依存し、経路を最適化することにより平均位相因子を大きくして符号問題を弱められる。経路最適化法の有用性を示すため、まず符号問題のある 1 次元積分問題に適用された。最適化された経路は積分への寄与が大きい固定点の周りではシンブルと重なっており、元の経路と比べて重率の打ち消しが弱くなる。次に試行関数をニューラルネットワークで与えた経路最適化法を有限密度の複素スカラー場理論に適用した。場の理論では自由度が大きいため多くの多変数関数の最適化が必要となるが、これは機械学習で用いられているニューラルネットワークを用いれば可能となる。この場合も符号問題が弱められ、元の経路での積分と比較して計算精度を向上できる。

論文の後半では低次元のゲージ理論への適用が行われている。まず 0+1 次元 QCD への適用では、SU(3) リンク変数を SL(3,C) 行列に複素化して経路を最適化することにより、平均位相因子は 0.99 を超え、重率の打ち消しがほぼなくなる。この場合にはリンク変数が一つだけの問題であり最適化が成功したが、複数のリンク変数がありゲージ自由度が残る場合には最適化が進まない例も見つかっている。この問題を理解するため、次に複素結合を持つ 1+1 次元 U(1) ゲージモデルへの適用が議論された。このモデルはプラケットが 1 つしかないゲージ理論であり、4 つのリンク変数を含む。最適化計算の結果、ゲージが固定されている場合、またはゲージ不変量が入力されている場合には単純なニューラルネットワークによる最適化が可能であり、平均位相因子が十分に大きくなることが見出された。この処方箋を 1+1 次元 U(1) 格子ゲージ理論に適用した場合にも同様の傾向が見られる。

以上のように、本論文は符号問題を最適化問題とみなし、ニューラルネットワークを用いることにより場の理論のような多自由度系での最適化を可能にし、ゲージ不変量の入力によりゲージ理論でも最適化が行えることを示すなど、多くの重要な成果を含んでいる。

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