古典リー代数に対する高次カペリ元

概要

Kobe University Repository : Kernel
PDF issue: 2023-03-03

Higher Capelli elements for classical Lie
algebras

Kawata, Shotaro
(Degree)
博士（理学）

(Date of Degree)
2021-09-25

(Date of Publication)
2022-09-01

(Resource Type)
doctoral thesis

(Report Number)
甲第8131号

(URL)
https://hdl.handle.net/20.500.14094/D1008131
※ 当コンテンツは神戸大学の学術成果です。無断複製・不正使用等を禁じます。著作権法で認められている範囲内で、適切にご利用ください。

（別紙様式 3)

（氏名：河田祥太郎
論文内容の要旨

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N・

（
別
紙1
)

（氏名：河田祥太郎 NO:4
)

論文審査の結果の要旨

氏名

河田祥太郎

論文

H
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題目

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.

（古典リー代数に対する高次カペリ元）
職名

主査

教授

太田

泰広

副査

教授

山田

泰彦

副査

教授

谷口

隆

副査

名誉教授

野海

正俊

印

副査
要 旨

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氏名

区分

リー代数 gの普遍包絡環 U
(
g
)の中心を記述する問題は，表現論の中心的な課題
の一つである．有限次元リー代数の中で，一般及び特殊線型リー代数 (g[N,5[N)：
直交リー代数 (oN)，斜交リー代数 (5PN) は総称して「古典型リー代数」と呼ばれ，
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3
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これらは，単純リー代数のカルタンの分類における An-1 型 (
.
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(
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)
,Bn型 (02n+l),

[
7
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仇 型 (5丘）， D n 型 (O2n) の 4つの無限系列に対応する．古典リヨーり数の普躙
包絡環の中心 Z
U(g) は，ハリシュ・チャンドラ同型 T を通じてワイル群不変式

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環 C[x]W と同型となる．即ち，中心元 C E Z
U(9) の各々に対して，ある変数

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.

gのワイル群 W の作用で不変な冗c
(
x
)E C[x]w
が定まり， g の任意の既約表現 (V（
入
）
， 7f入）に対して m(C)＝ '
Y
e（
入＋ p
)
i
d
v（入）が
成立する．ここで，入＝ （ふ，．．．，心）は成分数が n 以下の分割を表す．このハリ
シュ・チャンドラ同型： '
Y
:Z
U(9):
:
-C[x]wの存在は，表現論の様々な局面で重要

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,
・
・
・ ，％)の多項式で，

な役割を果たす．
本論文の主題は，古典型リー代数の普遍包絡環の中心 Z
U(g)の C 基底を構成

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することである．主結果は，それぞれの型に応じてパラメータ u をもつ階乗型

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シューア函数（補間多項式） R入(
x
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)E C[x]wを指定し，それをハリシュ・チャン

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1
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.

ドラ像にもつ中心元 C入(
u
)E ZU(g) を構成する具体的な手続きを明らかにした
ことである．表題の「高次カペリ元」とは， C入(
u
)のように ZU(9)の良い C 基底
を構成する中心元を意味する．この構成法の要点は次の 2つである．

(
a
)列分割 (
l
r
)(
'
I
・
=
1
,
.
.
.
,
n
)の各々に対して「次数 rのカペリ元」 C
(
l
r
)
(
u
)を
構成すること．

(
b
)一般の分割入に対応する高次カペリ元広 (
u
)を，列分割に対応するカペリ元
を成分とするヤコビ・トルーディ型の行列式を用いて構成すること．
(
b
)は階乗型シューア函数応 (
x
;
u
)がヤコビ‘・トルーディ型の行列式公式をも
つことから従う事実であり，これについては既に論文 [
5
](KyushuJ
.M
a
t
h
.より

氏名

I河田祥太郎

出版予定）として公表している．本論文は，［5
]の内容を踏まえた上で (
a
)の内容を
中心に，この構成法の詳細を論じたものである．以下で，本論文の概要を述べる

U
(
g
)の中心元で，ハリシュ・チャンドラ像が
(
g
[
）： （
x
l-U）
・
・
・(
x
n-u
)
,
(
o
)
,(
.
s
J
J
): (
x
r-u2)・・・(x~ -u
2
)
となるものは，「基本カペリ元」と呼ぶべきもので，その構成については， g の C 基
底を成分にもつ非可換行列式によって表されることが，先行研究により知られてい
た (
g
[
）の場合は古典的なカペリ (
1
8
9
0
)の結果であり，（.
5
0
)
'
(
.
s
p
)の場合は，伊藤

(
2
0
0
4
)，和地 (
2
0
0
6
)の研究による．上記の多項式は階乗型シューア函数 R位
）
（x
;
u
)
に他ならないので，最高次数のカペリ元 C位
）
（u
)は非可換行列式で表されること
になる．本論文の主結果は，低次数 rの階乗型シューア函数 R化
）
（x
;
u
)が最高
次の R位
）
（x
;
u
)の
， uについての階乗幕による展開係数として得られることに基
づいて， C
(
1
n
)
(
u
)を uの階乗幕で展開することにより低次数のカペリ元 C
(
1
r
)
(
u
)
(
r=1
,
.
.
.
,n
)を構成したこと，また，この構成法により Cm)(U)に対して， gの
c基底を成分とする標準的な非可換行列の小行列式の和として表示する明示公式
を与えたことである．これは， g［
N の場合に知られていた低次数のカペリ元の構成
法と明示公式を

O N注

恥rの場合に拡張した新しい，重要な結果である．＇本論文は，

序節と 4つの節からなる．序節においてこの構成法の概要を説明した後，第 1節か
ら第 4節では，それぞれ .
5
J
:
l
2
n
,0
2
n
,0
2
n
+
l
,f
l
(
nの場合について，次数 rのカペリ元
の構成とその明示公式の導出の詳細を与えている．
普遍包絡環の中心の記述の問題は， Z
U
(
g
l
n
)の生成系を行列空間に作用する多
項式係数の不変微分作用素を用いて表示する「カペリ恒等式」に由来する．ワイ

ル(
1
9
3
6
)はこのカペリ恒等式に基づいて，不変式論の表現論的基礎付けを行なっ
た．ハウ・梅田 (
1
9
9
1
)は，これを無重複表現の現代的観点から定式化し，新しい発
展の契機を与えた？本論文は，上記の伊藤，和地の研究とともに，この流れに沿っ
て
， U
(
g
)の中心についての理解を深化させたものであり，高く評価できる．
本研究は，古典型リー代数の普遍包絡環の中心元の記述に関して，階乗型シュー
ア函数の観点から新しい，重要な知見を得たものとして，価値ある集積であると認
める．よって，学位申請者の河田祥太郎は，博士（理学）の学位を得る資格がある
と認める．
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