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On sextic del Pezzo fibrations over curves

福岡, 尊 東京大学 DOI:10.15083/0002003730

2022.04.20

概要

本博士論文の研究対象は，複素数体上定義された，曲線上の次数6のdelPezzoファイブレーションである．第一章では，曲線上の次数6のdelPezzoファイブレーションに対して，(P1)3を一般ファイバーとする森ファイバー空間と，(P2)2を一般ファイバーとする森ファイバー空間双方への埋め込みを構成した．第二章では，次数6のdelPezzoファイブレーションを持つ弱Fano多様体の分類を改良した．

1研究背景
delPezzoファイブレーションを詳細に研究する動機を二つ述べる．一つ目は，森理論からの動機である．極小モデルプログラムによって，任意の3次元代数多様体は，極小多様体もしくは森ファイバー空間に双有理変換される．本論文におけるdelPezzoファイブレーションとは，非特異3次元射影多様体から曲線への端射線収縮射を指す．これは森ファイバー空間の一種であり，その構造研究は重要といえる．もう一つは偏極多様体の分類論からの動機である．単線織非特異3次元多様体Xと豊富因子Lに対し，KX+Lがネフでない場合の対(X,L)はBeltrametti-Palleschi，藤田，Ionescu，Sommeseにより分類された．KX+Lがネフである場合，川又-Shokurovの固定点自由化定理からKX+Lは半豊富であるため，収縮射X→Yが誘導される．delPezzoファイブレーションはこの射の一種であるため，その詳細な構造研究は自然な課題である．
このようなdelPezzoファイブレーションの構造研究の根幹を為しているものが，「Fano多様体への相対的完全交差としての埋め込み」である．有名な事実として，任意のdelPezzo曲面Sは，反標準次数d=(−KS)2にのみ依存するFano多様体Vdへと（重み付き）完全交差として埋め込まれる．例えば任意の次数3(resp.4)のdelPezzo曲面は，V3=P3の3次曲面(resp.V4=P4の2次超曲面2つの完全交差)である事が知られている．次数6のdelPezzo曲面Sに対しては，V6=(P1)3のSegre埋め込みについての超平面切断であり，かつV6=(P2)2のSegre埋め込みについての余次元2の線形切断でもある．こういった記述は，delPezzo曲面の研究において古典的であり，かつ有用である．上記の完全交差としての埋め込みを相対化することは，delPezzoファイブレーションの研究において基盤を為し，様々な研究で使われてきた(cf.[14])．
delPezzoファイブレーションに対して，一般ファイバーの次数が6でない場合には，上記の埋め込みの相対化がD’Souza，藤田，森，竹内などによって得られている[13,6,7,14]．さらに，次数が6でない場合，藤田はすべてのファイバーが正規特異点のみを持つことを示した[7]．また，反標準モデルが端末的な弱Fano多様体であって，次数が6でないdelPezzoファイブレーションの構造を持つものは，竹内によって変形同値類の分類がなされた[14]．
一方で，次数が6であるdelPezzoファイブレーションについても，それを相対的な線形切断として含む(P1)3もしくは(P2)2を一般ファイバーとするファイブレーションの存在を期待することは自然といえる．しかしながら，そのような埋め込みは構成されていなかった．そのため研究の手掛かりが乏しく，未解決な問題が残されていた．例えば，「次数6のdelPezzoファイブレーションは非正規ファイバーを持ちうるか？」という藤田の問題[7,(3.7)]は未解決であった．また，次数6の弱FanodelPezzoファイブレーションの変形同値類の分類は，今なお未解決である．さらに近年では，森理論や随伴束の理論にのみならず，導来圏やHodge理論の興味からも，次数6のdelPezzoファイブレーションの研究が行われている[1,12,3]．特に曲面上のDuValdelPezzo曲面の族は，ある条件を仮定すれば，(P2)2を一般ファイバーとする族に埋め込めることがAuelによりアナウンスされた（Auel-Addington-Bernardara-Faenziによる結果[3]）．ただしその条件は技術的であり，一般のdelPezzoファイブレーションに応用することはできない．

2第一章：曲線上の次数6のdelPezzoファイブレーションの埋め込み定理
第一章は論文[9]にもとづく．本章では，曲線上の次数6のdelPezzoファイブレーションを包括的に研究した．まず，与えられた次数6のdelPezzoファイブレーションϕ:X→Cに対して，付随する二重被覆ϕB:B→Cと三重被覆ϕT:T→Cを構成した．この二つの被覆は，すべてのϕ-ファイバーがDuValであれば，Kuznetsovがすでに構成した被覆たちと一致する[12]．これらの被覆を用いて，以下の定理を得た：

定理A.不変量の等式(−KX)3=22−(4g(T)+6g(B)+12g(C))と複素トーラスの同型J(X)×Jac(C)≃Jac(B)×Jac(T)が成立する．
さらに本研究の主目的であった，Xを相対的線形切断として持つ(P1)3-ファイブレーションと(P2)2-ファイブレーションを構成した．正確な主張は次の通りである．

定理B.次数6のdelPezzoファイブレーションϕ:X→Cに対して，非特異4次元射影多様体Yと端射線収縮ϕY:Y→Cで，次を満たすものが存在する．
(1)全ての非特異ϕY-ファイバーは(P1)3と同型である．
(2)YはXを含み，さらにKY+2X∼C0が成り立つ．

定理C.次数6のdelPezzoファイブレーションϕ:X→Cに対して，非特異5次元射影多様体Z，端射線収縮ϕZ:Y→Cと因子HZで，次を満たすものが存在する．
(1)全ての非特異ϕZ-ファイバーは(P2)2と同型である．
(2)KZ+3HZ∼C0が成り立つ．
(3)あるC上の階数2のベクトル束Gが存在して，ZはXをϕ∗ZG⊗OZ(HZ)の大域切断の零点として持つ．

以上の定理は，付随する被覆たちϕBとϕTを用いた形でより精密化できる．さらにこれらの定理の応用として，次数6のdelPezzoファイブレーションの退化ファイバーを分類した（本論文定理D）．さらに非正規ファイバーを持つ次数6のdelPezzoファイブレーションを構成し，藤田の問題を解決した（本論文定理F）．本研究は，ファイバーがDuVal特異点を持つ場合のみを扱った近年の研究[12,3]には包括されず，また手法も全く異なるものである．

3第二章：次数6のdelPezzoファイブレーションを持つ弱Fano多様体の分類の改良
第二章では，次数6のdelPezzoファイブレーションを持つ弱Fano多様体の分類を改良した．この研究には，弱Fano多様体の分類問題の背景も関わる．3次元Fano多様体は，Fano，Iskovskikh，Shokurov，藤田，森，向井によって分類された．特にShokurovによる3次元向井多様体上の直線の存在定理は，これら分類論において最も重要かつ困難な補題の一つとして知られているが，竹内はPicard数2の弱Fano多様体まで視野を広げ，2-raygameというテクニックを導入することで，この存在定理に簡明な別証明を与えた．それ以来，Picard数2の弱Fano多様体自体の分類が注目され，その研究が為されてきた[10,11,14,5,2,4,8]．特にdelPezzoファイブレーションを持つ弱Fano多様体は，Jahnke-Peternell-Radloffと竹内により，独立して分類表が与えられた．とりわけ次数が6でなく，反標準モデルが端末的である場合は，変形同値類の分類が竹内により与えられた．
第二章の主目的は，次数6のdelPezzoファイブレーションを持つ弱Fano多様体の分類を改良することにある．この問題はすでに論文[10,11,8]において取り扱われており，14通りの分類結果が得られている．しかしながら，この14通りの分類表はHodge数h1,2(X)についての情報を考慮に入れていない．ここで第一章で与えた不変量の等式(定理A)により，知られている分類表にHodge数の情報を加味する事が出来る．結果として，次数6のdelPezzoファイブレーションを持つ弱Fano多様体Xについて，3つ組((−KX)3，h1,2(X)，Xの持つSarkisovリンク)は，17通りに分類される（本論文系G）．第二章の主結果は以下である．

定理H.上記17通りの分類結果のうち，15通りについては例が存在する．

17通りの分類表が既存の分類より真に細かい分類であることは，この存在定理によって担保される．実際に定理Hによって，2つの多様体X1とX2であって，既存の分類では同じリストに属するが，異なるHodge数を持つものの存在がわかる．この存在定理の一部は，筆者の論文[8]ですでに取り扱われているが，具体例のフロップの詳細な記述を含むなどの点において，既存の結果の改良を与えている．

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