リケラボ論文検索は、全国の大学リポジトリにある学位論文・教授論文を一括検索できる論文検索サービスです。

リケラボ 全国の大学リポジトリにある学位論文・教授論文を一括検索するならリケラボ論文検索大学・研究所にある論文を検索できる

リケラボ 全国の大学リポジトリにある学位論文・教授論文を一括検索するならリケラボ論文検索大学・研究所にある論文を検索できる

大学・研究所にある論文を検索できる 「Studies on the geometry of line bundles」の論文概要。リケラボ論文検索は、全国の大学リポジトリにある学位論文・教授論文を一括検索できる論文検索サービスです。

コピーが完了しました

URLをコピーしました

論文の公開元へ論文の公開元へ
書き出し

Studies on the geometry of line bundles

太田, 力斗 大阪大学

2021.03.24

概要

代数多様体に関する研究の大部分はその上の直線束に関する研究と大きく結びついている。実際、直線束は多様体の幾何的性質に関する様々な情報を持っていて、例えば任意の射影多様体間の射は定義域の多様体の直線束の線形系から構成されることがよく知られている。本論文はピカール群(直線束のなす群)が良い性質を持つような多様体のクラスに関する話題と、多様体上の直線束の一点での局所的な正値性に関する話題の二つの内容からなりそれぞれ第一章、第二章で述べられる。以下にそれぞれの章の内容について詳しく述べる。

まず第一章の内容に関して述べる。2000年にHuとKeelによってMori dream space (以下、MDSと略記)と呼ばれるピカール群が良い性質を持つような代数多様体のクラスが導入された。MDS上では Cox環という直線束のsection から構成される環が有限生成であることや、双有理幾何学において基本的な手法である極小モデルプログラムが強い形で機能することなどが知られている。二つの正規な代数多様体間の射として定義されるMDSの相対版が2014年にAndreatta, Wiśnewskiらにより定義されたが、この相対版MDSに関してはまだまだ研究されるべき課題を残していた。

そこで、本論文では上述のMDSの相対版Mori dream morphism(以下 MDM と略記)の定義を少し広い場合に拡張して、それに関する次の二つの問題 について述べる。
(1) 元の森夢空間で成り立つ性質の相対版への一般化。 (2)相対版ならではの関手的性質に関する研究。
上記の(1)に関しては期待通りに、MDM上では任意の因子に関する相対版極小モデルプログラムが強い形で機能すること及び、algebraic fibre spaceがMDMであることとその相対版Cox環(Cox sheaf)が有限生成であることが同値であるということを証明できた。

(2) に関しては次の二つの結果を得た。
・二つのMDMの合成がMDMとはならないが、その逆に二つのalgebraic fibre spaceを合成してMDMであれば合成された二つの射は両方ともMDMである。
・MDMは一般のbase changeでは保たれないが、一方でbase changeによる直線束の引き戻しに関していくつかの条件を仮定した場合にはbase change後もMDMとなる。

次に第二章の内容に関して述べる。第二章では偏極アーベル多様体のSeshadri定数に関する話題を取り扱う。 Seshadri定数とは直線束の多様体上の一点での局所的な正値性を計るような実数であるが、アーベル多様体上ではその対称性により点の取り方に依らず値が決まることが知られている。以下、𝑛次元偏極アーベル多様体(A, L)に対してそのSeshadri定数をε(A, L)と書くこととする。

本論文では以下の二つのことを証明した。
・ε(A, L) < 3√𝐿3 であれば、ある部分アーベル多様体Bがあって、ε(A, L) = ε(B, L|B)となる。
・codimensionが1の部分アーベル多様体𝐷があってn√𝐿n/𝑛 > n—1√𝐿|Dnを満たすなら、ε(A, L) = ε(D, L|D)となる。 一つ目の結果は1995年のNakamayeによる結果から着想を得ており、その結果を補足するような主張となっている。

上記の二つの結果はどちらも一般には難しいとされているSeshadri定数の計算を低次元のアーベル多様体で Seshadri定数の計算に押しつけられる場合があることを示している。さらにこれらの結果の応用として、アーベル曲面のSeshadri定数についてすでに知られて結果を用いて3次元偏極アーベル多様体が自己交点数と比べて十分小さいSeshadri定数を持つと仮定した場合のSeshadri定数の値の決定とその時の多様体の構造に関する考察を行なった。

参考文献

[AH09] Ivan V. Arzhantsev and J¨urgen Hausen, Geometric invariant theory via Cox rings, J. Pure Appl. Algebra 213 (2009), no. 1, 154–172. MR 2462993

[AHL10] Michela Artebani, J¨urgen Hausen, and Antonio Laface, On Cox rings of K3 surfaces, Compos. Math. 146 (2010), no. 4, 964–998. MR 2660680

[AW14] Marco Andreatta and Jaros law A. Wi´sniewski, 4-dimensional symplectic contractions, Geom. Dedicata 168 (2014), 311–337. MR 3158045

[Bau98] Thomas Bauer, Seshadri constants and periods of polarized abelian varieties, Math. Ann. 312 (1998), no. 4, 607–623, With an appendix by the author and Tomasz Szemberg. MR 1660259

[Bau99] , Seshadri constants on algebraic surfaces, Math. Ann. 313 (1999), no. 3, 547–583. MR 1678549

[Bau08] , A criterion for an abelian variety to be simple, Arch. Math. (Basel) 90 (2008), no. 4, 317–321. MR 2390296

[BBP13] S´ebastien Boucksom, Ama¨el Broustet, and Gianluca Pacienza, Uniruledness of stable base loci of adjoint linear systems via Mori theory, Math. Z. 275 (2013), no. 1-2, 499–507. MR 3101817

[BCHM10] Caucher Birkar, Paolo Cascini, Christopher D. Hacon, and James McKernan, Existence of minimal models for varieties of log general type, J. Amer. Math. Soc. 23 (2010), no. 2, 405–468. MR 2601039

[BDRH+09] Thomas Bauer, Sandra Di Rocco, Brian Harbourne, Micha lKapustka, Andreas Knutsen, Wioletta Syzdek, and Tomasz Szemberg, A primer on Seshadri constants, Interactions of classical and numerical algebraic geometry, Contemp. Math., vol. 496, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2009, pp. 33–70. MR 2555949

[BGS18] Thomas Bauer, Felix Fritz Grimm, and Maximilian Schmidt, On the integrality of seshadri constants of abelian surfaces, arXiv:1805.05413 (2018).

[BS01] Thomas Bauer and Tomasz Szemberg, Local positivity of principally polarized abelian threefolds, J. Reine Angew. Math. 531 (2001), 191–200. MR 1810121

[BS08] Thomas Bauer and Christoph Schulz, Seshadri constants on the self-product of an elliptic curve, J. Algebra 320 (2008), no. 7, 2981–3005. MR 2442006

[CLS11] David A. Cox, John B. Little, and Henry K. Schenck, Toric varieties, Graduate Studies in Mathematics, vol. 124, American Mathematical Society, Providence, RI, 2011. MR 2810322

[Deb04] Olivier Debarre, Seshadri constants of abelian varieties, The Fano Conference, Univ. Torino, Turin, 2004, pp. 379–394. MR 2112583

[Dem92] Jean-Pierre Demailly, Singular Hermitian metrics on positive line bundles, Complex algebraic varieties (Bayreuth, 1990), Lecture Notes in Math., vol. 1507, Springer, Berlin, 1992, pp. 87–104. MR 1178721

[dFH11] Tommaso de Fernex and Christopher D. Hacon, Deformations of canonical pairs and Fano varieties, J. Reine Angew. Math. 651 (2011), 97–126. MR 2774312

[dFH12] , Rigidity properties of Fano varieties, Current developments in algebraic geometry, Math. Sci. Res. Inst. Publ., vol. 59, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2012, pp. 113–127. MR 2931867

[DH07] Olivier Debarre and Christopher D. Hacon, Singularities of divisors of low degree on abelian varieties, manuscripta mathematica 122 (2007), no. 2, 217–228.

[DN89] J.-M. Drezet and M. S. Narasimhan, Groupe de Picard des vari´et´es de modules de fibr´es semi-stables sur les courbes alg´ebriques, Invent. Math. 97 (1989), no. 1, 53–94. MR 999313

[Dol03] Igor Dolgachev, Lectures on invariant theory, London Mathematical Society Lecture Note Series, vol. 296, Cambridge University Press, Cambridge, 2003. MR 2004511

[GHPS12] Jos´e Gonz´alez, Milena Hering, Sam Payne, and Hendrik S¨uß, Cox rings and pseudoeffective cones of projectivized toric vector bundles, Algebra Number Theory 6 (2012), no. 5, 995– 1017. MR 2968631

[Har77] Robin Hartshorne, Algebraic geometry, Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1977, Graduate Texts in Mathematics, No. 52. MR 0463157

[HK00] Yi Hu and Sean Keel, Mori dream spaces and GIT, vol. 48, 2000, Dedicated to William Fulton on the occasion of his 60th birthday, pp. 331–348. MR 1786494

[Kaw88] Yujiro Kawamata, Crepant blowing-up of 3-dimensional canonical singularities and its application to degenerations of surfaces, Ann. of Math. (2) 127 (1988), no. 1, 93–163. MR 924674

[KM98] J´anos Koll´ar and Shigefumi Mori, Birational geometry of algebraic varieties, Cambridge Tracts in Mathematics, vol. 134, Cambridge University Press, Cambridge, 1998, With the collaboration of C. H. Clemens and A. Corti, Translated from the 1998 Japanese original. MR 1658959

[Kon03] Jian Kong, Seshadri constants on Jacobian of curves, Trans. Amer. Math. Soc. 355 (2003), no. 8, 3175–3180. MR 1974680

[Laz96] Robert Lazarsfeld, Lengths of periods and Seshadri constants of abelian varieties, Math. Res. Lett. 3 (1996), no. 4, 439–447. MR 1406008

[Laz04] , Positivity in algebraic geometry. I, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge. A Series of Modern Surveys in Mathematics

[Results in Mathematics and Related Areas. 3rd Series. A Series of Modern Surveys in Mathematics], vol. 48, SpringerVerlag, Berlin, 2004, Classical setting: line bundles and linear series. MR 2095471

[LOZ96] Hendrik W. Lenstra, Jr., Frans Oort, and Yuri G. Zarhin, Abelian subvarieties, J. Algebra 180 (1996), no. 2, 513–516. MR 1378542

[Loz18] Victor Lozovanu, Singular divisors and syzygies of polarized abelian threefolds, arXiv preprint arXiv:1803.08780v2 (2018).

[MFK94] D. Mumford, J. Fogarty, and F. Kirwan, Geometric invariant theory, third ed., Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (2)

[Results in Mathematics and Related Areas (2)], vol. 34, Springer-Verlag, Berlin, 1994. MR 1304906

[Mil86] J. S. Milne, Abelian varieties, Arithmetic geometry (Storrs, Conn., 1984), Springer, New York, 1986, pp. 103–150. MR 861974

[MM64] Hideyuki Matsumura and Paul Monsky, On the automorphisms of hypersurfaces, J. Math. Kyoto Univ. 3 (1963/64), 347–361. MR 168559

[Nak96] Michael Nakamaye, Seshadri constants on abelian varieties, Amer. J. Math. 118 (1996), no. 3, 621–635. MR 1393263

[Oka16] Shinnosuke Okawa, On images of Mori dream spaces, Math. Ann. 364 (2016), no. 3-4, 1315–1342. MR 3466868

[Ste98] A. Steffens, Remarks on Seshadri constants, Math. Z. 227 (1998), no. 3, 505–510. MR 1612681

参考文献をもっと見る

全国の大学の
卒論・修論・学位論文

一発検索!

この論文の関連論文を見る