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Local in time solvability for reaction-diffusion systems with rapidly growing nonlinear terms

鈴木, 将満 東京大学 DOI:10.15083/0002007142

2023.03.24

概要

審査の結果の要旨

氏

名

鈴木

将満

論文提出者 鈴木将満は連立反応拡散方程式
𝛼
𝜕𝑡 1 𝑢 = Δ𝑢 + 𝑓1 (𝑥, 𝑡, 𝑢, 𝑣) in Ω × (0, 𝑇),
{𝜕𝑡𝛼2 𝑣 = Δ𝑣 + 𝑓2 (𝑥, 𝑡, 𝑢, 𝑣) in Ω × (0, 𝑇),
𝑢(𝑥, 0) = 𝜙, 𝑣(𝑥, 0) = 𝜓 in Ω

の時間局所解の存在・非存在を分ける初期関数(𝜙, 𝜓)の最適な可積分性について，次の
３つの場合について研究した：
(1) 𝛼1 = 𝛼2 = 1かつ弱結合𝑓1 = 𝑔(𝑣), 𝑓2 = 𝑓(𝑢)で，
𝑓, 𝑔の増大度が任意の多項式より大き
い場合（𝑓1 (𝑥, 𝑡, 𝑢, 𝑣) = exp(𝑣 𝑞 ) , 𝑓2 (𝑥, 𝑡, 𝑢, 𝑣) = exp (𝑢𝑝 )が典型的な例）
，
(2) 𝛼1 = 𝛼2 = 1かつ強結合𝑓1 (𝑥, 𝑡, 𝑢, 𝑣) = 𝑒 𝑝1 𝑢+𝑝2 𝑣 , 𝑓2 (𝑥, 𝑡, 𝑢, 𝑣) = 𝑒 𝑞1 𝑢+𝑞2 𝑣 の場合，
(3) 時間に関して Caputo の意味での非整数階微分0 < 𝛼1 ≤ 𝛼2 < 1かつ弱結合で，𝑓1 , 𝑓2
がそれぞれ𝑣, 𝑢に関して多項式増大する場合（𝑓1 (𝑥, 𝑡, 𝑢, 𝑣) = 𝑣 𝑞 , 𝑓2 (𝑥, 𝑡, 𝑢, 𝑣) = 𝑢𝑝 が典型
的な例）
．
(1)について，Ωを全領域𝐑𝑁 (𝑁 ≥ 1)とし一様局所ルベーグ空間を𝐿𝑟𝑢𝑙 と書くとき，非負
の初期関数に関して(𝐹(𝜙)−𝑟1 , 𝐺(𝜓)−𝑟2 ) ∈ 𝐿1𝑢𝑙 × 𝐿1𝑢𝑙 のもとで研究した．ここで，𝐹(𝑠) ≔
∞ 𝑑𝜎
, 𝐺(𝑠)
𝑓(𝜎)

∫𝑠

∞ 𝑑𝜎
𝑔(𝜎)

≔ ∫𝑠

とする．𝐿𝑟𝑢𝑙 や𝐿𝑟 の枠組みにおいて解の存在を示すには通常はリ

プシッツ型の評価が必要になるが，非線形項の増大度が任意の多項式より大きい場合は，
この手法が適用できないことが知られている．そこで積分方程式の優解を構成する方法
を用いている．非存在については初期関数の可積分性が悪いと𝐿∞ 評価が矛盾すること
を用いている．その結果，劣臨界と呼ばれる状況では時間局所解が存在し，優臨界と呼
ばれる状況では必ずしも非負値解は存在せず，臨界と呼ばれる状況では𝑓, 𝑔が単独の指
数関数に近い場合に時間局所解が存在することを証明した．
(2)について，Ωを全領域𝐑𝑁 または滑らかな境界を持つ有界領域とし，境界がある場合
は Dirichlet 境 界 条 件 を 課 す ． 非 負 の 初 期 関 数 に 関 し て ， 全 領 域 の 場 合 は
(𝑒 𝑟1 (𝑝1 𝜙+𝑝2 𝜓) , 𝑒 𝑟2 (𝑞1 𝜙+𝑞2 𝜓) ) ∈ 𝐿1𝑢𝑙 × 𝐿1𝑢𝑙 の も と で ， 有 界 領 域 の 場 合 は
(𝑒 𝑟1 (𝑝1 𝜙+𝑝2 𝜓) , 𝑒 𝑟2 (𝑞1 𝜙+𝑞2 𝜓) ) ∈ 𝐿1 × 𝐿1 のもとでそれぞれ研究した．(1)と同様の手法を用い
ているが非線形項が具体的であるため(1)より詳細な解析が可能となる．その結果，(1)
と同様に，劣臨界と臨界では時間局所解が存在し，優臨界では非負値解が存在しないこ

とがあり得ることを証明した．この問題は全部で６つの指数𝑝1 , 𝑝2 , 𝑞1 , 𝑞2 , 𝑟1 , 𝑟2 を含むが，
任意の指数の組に対して時間局所解の存在と非存在を決定する初期関数に関する可積
分条件を導出した．特に，(1)と異なり臨界の場合も最適な条件が得られている．時間局
所解の存在に関しては，（時間局所解を第２章の定義とすると）石毛-川上-Sierżęga
(2016)で提案されたアイデアを用いた場合と比べて初期関数がより広い範囲で取れる
ことを示した．具体的には先行研究の方法では存在・非存在を判定できないが，第２章
の主定理を用いると判定できる初期関数の例を挙げた．
(3)について，Ωを滑らかな境界を持つ有界領域とし，Dirichlet 境界条件を課す．初期
関数は存在については符号変化を許し，非存在については非負の(𝜙, 𝜓) ∈ 𝐿𝑟1 × 𝐿𝑟2 のも
とで研究した．この問題は，(1)(2)と異なり比較定理が必ずしも成り立つとは限らず，
線形方程式の解が半群をなさないため，異なる手法を用いている．その結果，𝛼1 = 𝛼2
の場合は(2)と同様に，仮定で登場する全ての指数の組に対して時間局所解の存在と非
存在を決定する初期関数に関する可積分条件を導出した．さらに，非線形項𝑓1 , 𝑓2 がそれ
ぞれ𝑣, 𝑢に関して純粋冪である場合は，整数階微分(𝛼1 = 𝛼2 = 1)の先行研究である
Quittner-Souplet (2001)の結果と対応する．また，𝛼1 < 𝛼2 の場合は，全てではないも
のの広いパラメータ領域に対して時間局所解の存在と非存在を決定する初期関数に関
する可積分条件を導出した．この研究では，非存在の結果において，非線形項が弱結合
でそれぞれ𝑡, 𝑥, 𝑣と𝑡, 𝑥, 𝑢に関して変数分離する場合のみを扱っているが，これまで，非
線形項が純粋冪 である単独方程式の場合でも知られておらず， Gal-Warma 著，
Fractional-in-Time Semilinear Parabolic Equations and Applications, Springer に２
番目の Open problem として挙げられていた．この問題を単独方程式と連立方程式で非
線形項が上記の形である場合に肯定的に解決したこととなる．
よって，論文提出者 鈴木将満は，博士（数理科学）の学位を受けるにふさわしい充
分な資格があると認める．

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