論文の公開元へ重み付き高さに対するNorthcott数
概要
本論文はPazuki、Technau,Widmer3氏によって導入された有理数体の代数閉包上の高さ函数「重み付きWeil高さ」の基礎付け、及び更なる発展を目指すものであり：
1.Vidaux,VidelaによるNorthcott数の分布に関する問いの解決(同志社大学の佐野薫氏との共同研究)；
2.1の(Grizzard氏の意味での)相対化；
3.Talamanca氏の行列の高さ函数の重み付き版の導入とその基礎付け，
という3つのパートから構成される。代数的数の複雑さを測る函数である「(対数的)絶対Weil高さh(・)」は、それが代数体に対してもたらすNorthcott性やBogomolov性といった有限性を通じて、整数論に於いて極めて重要な役割を果たす。また、絶対的Weil高さを代数的数の次数を乗じる事により補正した「相対Weil高さdeg(・)h(・)」もまた、当該分野の様々な文脈で登場する、重要な高さ函数である。先の「重み付きWeil高さh_γ(・)」は、乗じる代数的数の次数に更に指数γを付す事により(これを「重み」と呼んでいる)、絶対Weil高さ、相対Weil高さの2つの高さ函数を同時に一般化する、極めて自然な対象である：h_γ(・):=deg(・)^γh(・)。ここで「h_0(・)=h(・)」および「h_1(・)=deg(・)h(・)」の2つの関係式が成り立っている事に注意する。さて、h_γに対する先のNorthcott性、Bogomolov性の定義を確認する。Aを代数的数から成る集合、Cを正の定数とした時、B(A,γ,C)で「Aの元の内、h_γの値がC未満であるもの全体」を表す事にしよう。Aがγ-Northcott性(以降、γ-(N)と略す)を持つとは、任意のC>0に対してB(A,γ,C)が有限集合となる事を言う。また、Aがγ-Bogomolov性(以降、γ-(B)と略す)を持つとは、或るC>0に対してB(A,γ,C)が有限集合となる事を言う。γ-(B)はγ-(N)から直ちに従い、また任意の代数体はγ-(N)を持つ事が判るため(Northcottの定理の帰結)、γ-(N)やγ-(B)の研究は、有理数体の無限次拡大に対する研究が主なものとなる。さて、これ等2つの有限性は、我々を以下の定義へと導く：
Nor_γ(A):=inf{γ>0|B(A,γ,C)は無限集合である}.
これを「Aのγに関するNorthcott数」と呼ぶ。γ-(N)やγ-(B)に興味を持つ我々にとって、次の問いは自然なものであると言える：任意の実数γと非負実数cに対して、Nor_γ(L)=cを満たす有理数体の無限次拡大Lを構成する事は出来るであろうか？これはγ=0の場合が2016年にVidaux,Videla両氏により提唱され、その後、前述のPazuki,Technau,Widmer3氏による挑戦にも拘らず、5年以上未解決であった問題である。本論文の第1部(同志社大学の佐野薫氏との共同研究)では、この問いを(γ=1の場合を除いて)完全に解決している(γ=1の場合はLehmer予想と呼ばれる当該分野の重大な未解決問題を含意するため、今回は断念した)。証明自体は既存の知識の組み合わせではあるが、問題の定式化に際して今後の全ての重み付き高さの研究の基礎となるであろう概念や主張も提示しているため、当該分野に於いてかなりの価値を持つ結果であると思う。
次に、本論文第2部の内容について解説する。Grizzard氏によって以下の「Bogomolov性の相対版」が与えられた：体の拡大L/Kが相対Bogomolov拡大であるとは、差集合L∖KがBogomolov性を持つ事である。ここで、KがBogomolov性を持つ時は、L/Kが相対Bogomolov拡大である事とLがBogomolov性を持つ事が同値となるため、相対Bogomolov拡大には常に「KはBogomolov性を持たない」という仮定を付けるべきである事を補足しておく(KがBogomolov性を持つ場合を「自明な相対Bogomolov拡大」と便宜的に呼ぶ事にしよう)。本論文では、この定義を重み付き高さに対して拡張した「相対γ-Bogomolov拡大(以降、γ-(RB)と略す)」を導入した。また、同様に「相対γ-Northcott拡大(以降、γ-(RN)と略す)」を導入した(γ=0の場合は自明な例しか得られない事が簡単に証明出来るため、Grizzard氏の研究では``相対Northcott拡大’’は導入されていない)。先ず申請者は、γが負の場合は自明なγ-(RB)、γが0以下の場合には自明なγ-(RN)しか得られない事を示した。そして、γが0以上、正の場合の各々について、第1部の主定理の相対化を得た。最後に、本論文第3部の内容について解説する。ここでは、申請者が修士論文で行った行列の高さ函数に関する研究の重み付き高さ版を扱っている。Talamanca氏によって、代数的数を成分とする正方行列に対して、2つの高さ函数h^{op},h^sが導入された。申請者は修士論文で、体LのNorthcott性やBogomolov性が、Lを成分とする行列環の(h^{op}やh^sに関する)Northcott性やBogomolov性へと遺伝するか否かについての研究を行った。Mordell-Weilの定理の証明等からも判る通り、体LのWeil高さに関する有限性が、L上の多様体や代数上の高さ函数に関する有限性へと遺伝するか否かは、重要な問いである。行列については：
1.体のBogomolov性は行列環のh^{op}に関するBogomolov性へと遺伝する；
2.体のNorthcott性は行列環のh^{op}に関するNorthcott性へと遺伝する(これは本質的にTalamanca氏の仕事である)；
3.体のBogomolov性は行列環のh^sに関するBogomolov性へと遺伝するとは限らない；
4.体がNorthcott性を持てば、行列環はh^sに関するBogomolov性を持つ，
という4つの事実が得られている事に注意する。第3部では、先ずh^{op},h^s各々の重み付き版h^{op}_γ,h^s_γを定義した。そして、以上4つの結果の重み付き版の証明、或いは反証を行った。1,2は重み付き版でも全く同様の結果が得られた。1の重み付き版の証明は筆者の修士論文の議論とほぼ同様であるが、2は非自明な議論を含んでいる。3は「体がBogomolov性を持っていても、任意のγγに対してδ-(N)を持つ」という結果を示しているため、この結果は4の重み付き版への反例も与えている事になる。この結果の証明も基本的には筆者の修士論文の議論と同様である。最後に、0以上1未満の任意の実数γに対して「L成分の行列環がh^s_γに関してBogomolov性を持つ様な体Lの例」を構成した。最後の結果の証明は、佐野薫氏によって示された体論的な事実に強く依っている事を補足しておく。
