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書き出し

楕円曲線に付随するL関数の臨界値のp進付値

野本, 慶一郎 NOMOTO, Keiichiro ノモト, ケイイチロウ 九州大学

2023.03.20

概要

九州大学学術情報リポジトリ
Kyushu University Institutional Repository

The p-adic valuations of the critical values of
L-functions associated to elliptic curves
野本, 慶一郎

https://hdl.handle.net/2324/6787428
出版情報：Kyushu University, 2022, 博士（数理学）, 課程博士
バージョン：
権利関係：

（様式３）

氏

名

：野本 慶一郎

論 文 名

：The p-adic valuations of the critical values of L-functions
associated to elliptic curves
(楕円曲線に付随する L 関数の臨界値の p 進付値)

区

：甲

分

論

文

内

容

の

要

旨

ζ関数や L 関数の特殊値は整数論において最も魅力的な対象の一つである。例えば、Dirichlet L

関数に対する類数公式は、Dirichlet L 関数の s=1 における特殊値と二次体の類数の間の関係を記述

するものである。同様に、楕円曲線に付随する L 関数の中心値にも数論的不変量が現れると考えら

れている。 E を代数体上定義された楕円曲線とする。このとき E の Hasse-Weil L 関数に関して、

その s=1 における特殊値は、代数的数倍の違いを除いて E の周期に等しいと予想されている。さら
に、強い Birch and Swinnerton-Dyer 予想は、その代数的数が Tate-Shafarevich 群や玉河数とい

った楕円曲線の不変量で表されるということを予想している。したがって各素数 p に対して、その

代数的部分の p 進付値を調べることは重要な課題となっている。本論文では、この中心値の代数的
部分の p 進付値に関連した二つの話題を扱う。

第一部では、虚数乗法をもつ楕円曲線に付随する L 関数の臨界値の 2 進付値の振る舞いを調べる。
1997 年に Zhao は、Gauss 数体上定義された楕円曲線 E_{-D}: y^2=x^3+Dx に付随する Hecke L 関数
の臨界値の代数的部分の 2 進付値の下界を与えた。ただし、Gauss 整数 D には適当な条件が課され
ている。その手法は、パラメータ D に含まれる異なる素因子の個数に基づく数学的帰納法を上手く
利用したものであり、しばしば Zhao’s method と呼ばれる。現在に至るまで、Zhao’s method は
様々な楕円曲線の族に対して適用され、さらには L 関数の臨界値の非消滅性を示す応用も考案され
ており、今後の発展が期待される手法の一つである。しかし技術的な理由により、パラメータ D に
含まれる素因子の指数が全て等しいという限られた条件下でしか Zhao’s method が適用できないと
いう問題点があった。第一部では、楕円曲線 E_{-D}についてその問題点を克服し、素因子の指数に
関する条件を外す。その証明においては、Zhao’s method を多重に使用することが本質的である。
本手法を用いることで、虚二次体上定義された CM 楕円曲線に付随する Hecke L 関数の臨界値の 2
進付値が全て評価可能となることが期待される。
第二部では、有理数体上定義された楕円曲線 A_p: x^3+y^3=p と E_{-p}: y^2=x^3+px を考える。
Rodriguez-Villegas と Zagier により、楕円曲線 A_p の階数が 2 であることの必要十分条件が、あ
る簡単な漸化式から定まる多項式列の定数項を用いて与えられた。彼らの結果は「素数 p が有理数
の 3 乗の和で表せるかどうか」という、古典的な Diophantine 問題に対する判定法を与えている。
第二部における研究成果は二つの部分から構成されている。一つは, 彼らの与えた漸化式よりも計
算効率の良い漸化式を与えたことである。もう一つは、別の楕円曲線 E_{-p}に対して、階数が 2 で
あることの必要十分条件を、似たような漸化式を用いて与えたことである。証明の要の一つは、楕

円曲線 A_p, E_{-p}の Hasse-Weil L 関数の臨界値の代数的部分と、素数に依存しない楕円曲線 A_1,

E_{-1}に付随する Hecke L 関数の中心値の代数的部分との間に、素数 p を法とした合同関係式を導
くところにある。本結果を用いることで、これら楕円曲線の階数の計算が多項式の初等的な計算に
帰着され、計算機を用いて容易に実装することが可能となる。

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