リケラボ論文検索は、全国の大学リポジトリにある学位論文・教授論文を一括検索できる論文検索サービスです。

リケラボ 全国の大学リポジトリにある学位論文・教授論文を一括検索するならリケラボ論文検索大学・研究所にある論文を検索できる

リケラボ 全国の大学リポジトリにある学位論文・教授論文を一括検索するならリケラボ論文検索大学・研究所にある論文を検索できる

大学・研究所にある論文を検索できる 「Boundedness of Weak Fano Pairs with Alpha-invariants and Volumes Bounded Below」の論文概要。リケラボ論文検索は、全国の大学リポジトリにある学位論文・教授論文を一括検索できる論文検索サービスです。
リケラボ

コピーが完了しました

URLをコピーしました

論文の公開元へ論文の公開元へ
書き出し

Boundedness of Weak Fano Pairs with Alpha-invariants and Volumes Bounded Below

陳, 韋中 東京大学 DOI:10.15083/0002005212

2022.06.24

概要

⒈はじめに
この要旨を通して，全て複素数体ℂ上で考える．双有理幾何学では，極小モデルプログラムにより，Fano多様体は基本的な代数多様体の一つの種類であることがわかる．そのために，Fano多様体の有界性は代数幾何学の重要な問題である．

まず，２０１６年，C．Birkarは以下のBAB定理を証明した[Bir16a][Bir16b]．

定理１．１（BAB定理）．固定した自然数𝑑と正実数εに対して，全ての𝑑次元ε-Fano型の多様体の集合は有界である．

ここで，多様体𝑋がε-Fano型と言うのは，ある境界𝐵が存在して，(𝑋,𝐵)はε-klt弱ログFano対になるとである．BAB定理は，元々Borisov-Alexeev-Borisovが発表した予想であった．さらに，Birkarの手方は関連するFano多様体の問題に大きな進展を与えた．

この論文は主な部分は，[Che18]に基づいており，体積とアルファ不変量が0から一様に離れたFano多様体の有界性を示している．

さらに，体積とアルファ不変量が下に有界な弱ログFanoで構成されている有界な族は，その対の上に有界なklt特異点を持っている有界な補因子も構成できる．

一方，klt特異点を持つ弱ログFanoに対して，体積とアルファ不変量の特定の多重乗積は有界であることも示している．

⒉ログFano対の有界性定理
まずは𝛼(𝑋,𝐵)を定義する．

定義２．２．(𝑋,𝐵)はlc特異点を持つログ対，𝐷は𝑋上のℝ-Cartier因子とする．そのとき，lct((𝑋,𝐵)，𝐷)とlct((𝑋,𝐵)，|𝐷|ℝ)は以下のようにされる．

lct((𝑋,𝐵)𝐷)=sup{𝑡≥0|(𝑋,𝐵+𝑡𝐷)はlc特異点を持っている}．
lct((𝑋,𝐵)，|𝐷|ℝ)=inf{lct((𝑋,𝐵)𝑀)|𝑀∈|𝐷|ℝ}．

そのうえで，(𝑋,𝐵)は弱ログFano対の場合は，𝛼不変量𝛼(𝑋,𝐵)は以下のように定義される．

𝛼(𝑋,𝐵)=lct((𝑋,𝐵)，|−(𝐾௑+𝐵)|ℝ)．

この章は主に下記の定理を説明する．

定理２．１．固定した自然数𝑑と正実数𝜃，下降鎖条件を満たす実数の部分集合𝑆に対して，klt特異点を持つ𝑑次元弱ログFano対のクラス𝔇を下のように定義する．

𝔇＝{(𝑋,𝐵)|(𝑋,𝐵)はklt特異点を持つ弱ログFano，vol(−(𝐾௑+𝐵))>𝜃，
𝛼(𝑋,𝐵)>𝜃，𝐵の係数は𝑆に属する}．

そのとき，𝔇は有界である．

定理２．１の境界𝐵はゼロである場合はC．Jiangによって証明されている[Jia15]．その場合は，𝑋がℚ-Fano多様体と呼ばれている．さらに，定理２．１の条件で，以下の定理によって，(𝑋,𝐵)に対して有界な補因子も構成できる．

定理２．３．定理２．１中の𝔇に対して，以下の条件を満たす[0,1]の有限部分集合Γଵ，Γଶと自然数𝑛が存在する．(𝑋,𝐵)は𝔇の元とする．このとき(𝑋,𝐵)に対してଵ௡-lc(𝑛,Γଵ,Γଶ)-補因子が存在する．

ここで，(𝑛,Γଵ,Γଶ)-補因子はHan-Liu-Shokurovによって，以下のように定義される[HLS19]．

定義２．４．(𝑋,𝐵)はログ対，𝑛は自然数，ΓଵとΓଶは[0,1]の有限部分集合とする．(𝑛,Γଵ,Γଶ)-補因子と言うのは，以下の条件を満たす𝑋上の因子𝐾௑+𝐵ାである．

（１）𝐵ା≥𝐵，
（２）ある自然数𝑟とΓଵの元𝑎ଵ,𝑎ଶ,…,𝑎௥，
（３）∑𝑎௜௥௜ୀଵ=1，
（４）ある𝑋上の有効因子𝐵௜，𝐵௜の係数はΓଶに属する，
（５）∑𝑎௜௥௜ୀଵ𝐵௜=𝐵ା，
（６）𝑛(𝐾௑+𝐵௜)~0，(𝑋,𝐵௜)はlcログCalabi-Yau対である．
Γଵ={1}，と共に𝑟=1の場合は，𝐾௑+𝐵ାが強𝑛-補因子と言う

また，有界な弱ログFanoの族に対して，以下の有界な補因子についての定理も示される

定理２．５．自然数𝑑と正実数𝜃を固定して，𝒫は有界な𝑑次元弱ログFanoの族とする．そのとき，以下の条件を満たす自然数𝑛が存在する．もし(𝑋,𝐵)は𝒫の元なら，vol൫−(𝐾௑+𝐵)൯>𝜃と𝛼(𝑋,𝐵)>𝜃を満たせば，(𝑋,𝐵)に対してଵ௡-lc強𝑛-補因子が存在する．

⒊体積とアルファ不変量の多重乗積の有界性
双有理幾何学では，多様体の有界性以外に，ほかの不変量の有界性も重要と考えされている．以下の定理で，不変量として体積とアルファ不変量のある多重乗積の有界性を示している．

定理３．1．自然数𝑑を固定すると，𝑑次元klt特異点を持つ弱ログFano(𝑋,𝐵)に対して，体積とアルファ不変量のある多重乗積

𝛼(𝑋,𝐵)ௗିଵvol(−(𝐾௑+𝐵))は上に有界である．

定理３．１．の中で，𝛼(𝑋,𝐵)ௗvol(−(𝐾௑+𝐵))は上に有界であることはよく知られている[Kol97]．一方，正実数𝑡に対して，𝛼(𝑋,𝐵)ௗିଵି௧vol(−(𝐾௑+𝐵))は上に有界ではない例も存在する．

論文の公開元へ

関連論文

関連論文をもっと見る

参考文献

[1] F. Ambro, Variation of log canonical thresholds in linear systems, Int. Math. Res. Not. IMRN 2016, no. 14,4418-4448.

[2] C. Birkar, Anti-pluricanonical systems on Fano varieties, to appear in Ann. of Math.

[3] C. Birkar, Singularities of linear systems and boundedness of Fano varieties, arXiv:1609.05543, preprint.

[4] C. Birkar, P. Cascini, C.D. Hacon, J. McKernan, Existence of minimal models for varieties of log general type, J. Amer. Math. Soc. 23 (2010), no. 2, 405–468.

[5] W. Chen, G. Di Cerbo, J. Han, C. Jiang, R. Svaldi, Birational boundedness of rationally connected Calabi–Yau 3-folds, 2018

[6] S. Filipazzi, J. Moraga, Strong (δ, n)-complements for semi-stable morphisms, 2018

[7] J. Han, J. Liu, V. V. Shokurov, ACC for minimal log discrepancies of exceptional singularities, 2019

[8] C.D. Hacon, J. McKernan, C. Xu, On the birational automorphisms of varieties of general type, Ann. of Math. 177 (2013), no. 3, 1077–1111.

[9] C.D. Hacon, J. McKernan, C. Xu, ACC for log canonical thresholds, Ann. of Math. 180 (2014), no. 2, 523–571.

[10] C.D. Hacon, C. Xu, Boundedness of log Calabi–Yau pairs of Fano type. Math. Res. Lett. 22 (2015), no. 6, 1699–1716.

[11] R. Hartshorne, Algebraic geometry. Graduate Texts in Mathematics, No. 52. SpringerVerlag, New York-Heidelberg, 1977. xvi+496 pp.

[12] C. Jiang, Boundedness of Q-Fano varieties with degrees and alpha-invariants bounded from below, to appear in Annales scientifiques de l’ENS

[13] Y. Kawamata, K. Matsuda, K. Matsuki, Introduction to the minimal model problem, Algebraic geometry, Sendai, 1985, pp. 283–360, Adv. Stud. Pure Math., 10, NorthHolland, Amsterdam, 1987.

[14] J. Koll´ar, Adjunction and discrepancies, Flips and abundance for algebraic threefolds, A Summer Seminar on Algebraic Geometry (Salt Lake City, Utah, August 1991), Ast´erisque 211 (1992), 83–192.

[15] J. Koll´ar, Singularities of pairs, Algebraic geometry-Santo Cruz 1995, pp. 221-287, Proc. Sympos. Pure Math., 62, Part 1, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1997.

[16] J. Koll´ar, S. Mori, Birational geometry of algebraic varieties, Cambridge tracts in mathematics, 134, Cambridge University Press, Cambridge, 1998.

[17] R. Lazarsfeld, Positivity in algebraic geometry, I. Ergeb. Math. Grenzgeb, 3. Folge. A Series of Modern Surveys in Mathematics [Results in Mathematics and Related Areas. 3rd Series. A Series of Modern Surveys in Mathematics], 49. Berlin: Springer 2004. Classical setting: line bundles and linear series.

[18] J. Lin, Birational unboundedness of Q-Fano threefolds, Int. Math. Res. Not. 6 (2003), 301-302.

[19] V.V. Shokurov, 3-fold log flips, Russian Acad. Sci. Izv. Math. 40 (1993), no. 1, 95–202.

[20] V.V. Shokurov, An addendum to the paper ”3-fold log flips” [Russian Acad. Sci. Izv. Math. 40 (1993), no. 1, 95–202], Russian Acad. Sci. Izv. Math. 43 (1994), no. 3, 527–558.

参考文献をもっと見る

全国の大学の
卒論・修論・学位論文
を
一発検索！

この論文の関連論文を見る