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A topological invariant for continuous fields of Cuntz algebras

Sogabe, Taro 京都大学 DOI:10.14989/doctor.k23564

2021.11.24

概要

作用素環とはヒルベルト空間の有界作用素のなす環であり、その中でも共役演算とノルム位相について閉じたものをC*環と呼ぶ。位相空間上のC*環の連続場の分類は、 作用素環論における基本的問題であるが、ホモトピー論の基本的な結果により、自己同型群の分類空間のトポロジーの問題に翻訳される。自己同型群のトポロジーについては、コンパクト作用素全体の成すC*環の場合を除いて長い間何もわかっていなかったが、この最も簡単な場合についての1960年代のDixmier-Douady理論は、捩れK理論の定式化に不可欠なものであり、多くのトポロジーや数理物理学の研究を触発してきた。1990年代以後核型C*環の分類理論が大きく発展し、その応用としてDadarlatは20 07年にKirchberg環と呼ばれるクラスのC*環の自己同型群のホモトピー群の記述に成功した。さらにDadarlat-Pennigは2016年の論文で、強自己吸収的というクラスのC*環に対してDixmier-Douady理論の大幅な一般化を行い、作用素環の枠組みを超えて多くの研究者の注目を集めることになった。Dixmier-Douady理論の特性類が3次のコホモロジーの元であるのに対して、Dadarlat-Pennig 理論はより複雑な一般コホモロジー理論の実現を与えるところに大きな特徴がある。

本論文はCuntz環On,n=2,3,…∞,の連続場の構造を研究対象としている。Cuntz環Onは n個の生成元と関係式から決まる単純C*環であり、上述のKirchberg環のクラスに入る。O2とO∞は強自己吸収的である一方,On+1はK理論に係数加群Znを導入するときに用いられる重要なC*環である。本論文の先行研究としては、2012年にDadarlatがベクトル束から構成されるCuntz環の連続場の同型類をK理論を使って決定した結果があるのみであった。申請者は本論文でまず、有限CW複体上の任意のCuntz環On+1の連続場が、 Cuntz環のToeplitz拡大En+1とO∞のテンソル積の連続場に持ち上がることを示した。次にこの結果とDadarlat-Pennig理論を組み合わせることにより、Dadarlatの分類理論を以下の意味で補完するCuntz環の連続場の位相的不変量を導入した:「連続場に対してこの不変量が消える必要十分条件は、その連続場がベクトル束から構成されるクラスに入ることである。」この位相的不変量はDadarlat-Pennigの一般コホモロジーに値を取り、通常の捩れK理論より高次の位相的不変量と考えられる。本研究により、Cuntz環の連続場の分類の研究はこの位相的不変量の研究に帰着されたと言ってよい。

更に申請者は本論文で、上述の不変量とDadarlat-Pennigコホモロジーの群構造を使い、Cuntz環On+1とO∞の元を要素とする行列環Mn(O∞)が、連続場全体の構造を考える上では全く同値であることを示した。この結果を使えば、Dadarlatの分類定理にとても見通しの良い新たな証明を与えることができ、Dadarlatが分類したクラスと曽我部氏の不変量が補完関係にあるという事実の直観的理解が得られる。On+1とMn(O∞)の自己同型群の間の自然な写像の存在は知られておらず、このような不思議な関係にあるC*環の組は本研究で初めて発見された。今後このようなC*環の組が興味深い研究対象となることが予想される。

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