Monopole Floer homology for codimension-3 Riemannian foliations
概要
審査の結果の要旨
氏
名
林
德燮
Seiberg-Witten 理論は低次元多様体のトポロジーにおいて連続カテゴリーとなめら
かなカテゴリーとの差異の研究においてこの25年にわたり重要な役割を果たしてき
た。その中で Seiberg-Witten Floer ホモロジーは、4次元多様体を 3 次元多様体に沿
って改変する際の不変量の変化を記述する基本的な対象である。単一のなめらかな3次
元あるいは4次元多様体の代わりに、有限群作用がある場合、あるいは族として多様体
が与えられた場合にこれらの理論は発展しつつあり、深い応用を与えられている。一方、
有限群作用のある場合の拡張として、オービフォルドがあり、またさらなる拡張として
Riemann 葉層構造の葉空間があるが、これらに対して現在まで理論は十分に展開され
ていない。
論文提出者は閉多様体上の Riemann 葉層構造であって余次元が3である場合に
Seiberg-Wittten Floer ホモロジーの拡張の構成を構成した。ただし、葉層構造の taut
性、そして basic な実係数1次元ホモロジー群の中で、その群と全空間の整係数ホモロ
ジー群との共通部分がフルランクの格子であることを仮定する。この構成は特別な場合
として 3 次元のオービフォルドを対象とする。
背 景 と な る 主 た る 先 行 研 究 と し て は 第 一 に Kronheimer-Mrowka に よ る
Seiberfg-Witten Floer ホモロジーの一般論があり、第二に、Kordyukov-Lejmi-Weber
による余次元 4 の Riemann 葉層構造に対する数値的な Seiberg-Witten 不変量の構成
があった。後者は余次元 3 の Riemann 葉層構造に対する数値的 Seiberg-Witten 不変
量の構成をも与えている。また第三に、論文提出者自身によって余次元 4 の Riemann
葉層構造に対する cohomotopy 的な Seiberg-Witten 不変量の構成も与えられていた。
論文提出者の研究の基本方針は、Kronheimer-Mrowka による構成を余次元 3 の
Riemann 葉層構造に対して拡張を与えることであり、論文提出者はその際に現れるい
くつかの困難を解決し、さらに葉層構造特有の現象が存在することを具体例によって指
し示した。
通常の3次元閉多様体における場合と異なる困難は、主に次の二つに分けられる。
困難の第一のものは、Kordyukov-Lejmi-Weber による余次元 4 の Riemann 葉層構造
に対する Seiberg-Witten モジュライ空間の考察において既に現れていた諸点である。
彼らは構成において Riemann 葉層構造の taut 性が、次のような重要な役割をすること
を見出し、この条件を仮定していた。有限群による特異性を許した対象であるオービフ
ォルドは、局所的には多様体と同様に扱える。しかし、オービフォルドをさらに拡張し
た Riemann 葉層構造では、一般に葉の非コンパクト性を全空間のコンパクト性に帰着
させて議論するために、taut 性が必要となる。論文提出者は、さらに、Floer homology
の考察において Chern-Simons-Dirac 汎関数による勾配流としてシリンダー上の
Seiberg-Witten 方程式を記述するためにも、Rieman 葉層構造においてはやはり taut
性が必要なることを見出した。また、basic な実係数1次元ホモロジー群に関する性質
も、モジュライ空間のコンパクト性を保証するために必要な条件として仮定されていた。
オービフォルドの場合には、taut 性等に相当する条件は自動的に満たされ、不要であ
った。論文提出者の構成は、論文提出者の研究は、彼らの数的不変量を Floer homology
の構成に拡張するものである。それにあたって Kordyukov-Lejmi-Weber に従いこれら
を仮定する設定を踏襲している。ただし、モジュライ空間として Floer homology の構
成に必要となるシリンダー状の開多様体の上の境界条件を指定した方程式の解空間は、
これらの条件のみではコンパクトにはならず、また自然なコンパクト化ももたない。こ
の点は次の第二の困難と関連する。
困難の第二のものは、モジュライ空間の次元を計算する葉層構造に対する指数定理が、
単一の多様体の場合と比較して、複雑な形をしていることに起因する。単一の 3 次元多
様体の場合には、モジュライ空間の次元とエネルギーが定数を除いて比例していること
がモジュライのコンパクト性の解析を簡明にしている。Riemann 葉層構造の場合には
モジュライの次元とエネルギーとの関係は複雑であり、なめらかな多様体の場合の構成
を直接拡張することは困難である。モジュライのコンパクト性に関するこのような困難
に対して、Floer homology の一般論として、Novikov 環の導入が手法として有効であ
ることが知られている。論文提出者は、Riemann 葉層構造の場合にも、Novikov 環を
適切に設定し係数とする手法を用いると、この問題を解決し、モジュライ空間が指数定
理の複雑さに起因する非コンパクト性をもつ場合にも、求める拡張が構成可能であるこ
とを示した。
論文提出者は、以上の諸点の解決により、Kronheimer-Mrowka の構成と平行する三
種 の フ レ ー バ ー を 伴 う Seiberg-Witten Floer homology を 適 切 な 条 件 を み た す
Riemann 葉層構造に対して構成した。そして論文提出者は彼の構成の具体例として、
葉層構造がパラメータとともになめらかに変化する族であって、それに伴う
Seiberg-Witten Floer ホモロジーの葉層版が、不連続的に変化するものを構成した。オ
ービフォルド構造は、連続変形をもたない剛的な構造であるが、葉層構造は連続変形を
もち得る。 このように、Riemann 葉層構造に対する Seiberg-Witten Floer ホモロジー
において特有は、論文提出者の構成の非自明性を示すものである。
よって、論文提出者 林
德燮
充分な資格があると認める。
は、博士(数理科学)の学位を受けるにふさわしい