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Combinatorial Realization of Minimal Models for Gaiotto-Rapcak's W-algebras

原田, 浩一 東京大学 DOI:10.15083/0002006667

2023.03.24

概要

論文審査の結果の要旨
氏名

原田

浩一

本論文は、8章と4つの補遺からなり、第1章で研究の背景を述べた後、第2章で W
代数とミニマル模型の解説、第3章で Y 代数とその拡張についてのレビュー、第4章
で等価な実現を与えるアファインヤンギアンの説明を行っている。第5章から第7章
までが以下に詳述するオリジナルな研究結果、第8章がまとめとなっている。
本論文が目標とするのは、2 次元の共形場理論の中でも WN 代数やその拡張を対称性
として持つ場の理論で、かつ有限個のプライマリー場からなる、所謂ミニマル模型につ
いての研究である。WN 代数は、重要な代数であるにもかかわらず、代数関係が一般に
は非線形であることから、そもそも任意の N の場合の代数関係を明示的に書き下すこ
とさえ困難で、線形な代数に対する標準的な手法では表現論も極めて取り扱いが難し
い。
最近、この WN 代数を特別な場合として含む、より広い概念として Y 代数が提唱さ
れ、さらにその取り扱い方法としてプレーン分割の方法と呼ばれる視覚的に理解しや
すい方法が開発された。プレーン分割とは、3次元座標の第一象限にボックスと呼ぶ単
位立方体を並べた図形で、この並べ方から組み合わせ論的に表現指標の展開係数が読
み取れる。このプレーン分割の方法では、WN 代数はピットと呼ばれるボックスを置く
ことができない禁止点を設定することで表現できる。
他方、ミニマル模型では、代数の表現として、その無限次元の多重項(あるいは表現
モジュール)の中にヌル状態と呼ばれる最高ウエイト状態と同じ性質を満たす状態が
現れる表現を考えることで、理論を構成する最高ウエイト表現が有限個で閉じる。この
ヌル状態を含む表現を縮退表現と呼ぶ。
原田浩一氏は、指導教員の松尾泰氏と共に、前述のプレーン分割の方法の枠内でどの
ようにこの縮退表現が構成できるかを追求し、ピットが2個存在するプレーン分割を
考えることにより実現できることを見出した。具体的にはアファインヤンギアンとい
う Y 代数と等価な別の表現法を用いて、その演算子のプレーン分割に対する作用を定
義し、ヌル状態の現れる条件とピットの関係を調べ、知られている WN 代数ミニマル模
型の共形次元を再現することを示した(第5章)。
さらに、この方法を Y 代数のグルーイングと呼ばれる拡張によって得られる代数に
も広げて、N=2 超対称共形代数のミニマル模型に対しても適用できることを示した(第
6章)
。また、同様のグルーイングで得られるベルシャドスキー・ポリヤコフ代数にも
適用して、この方法の汎用性を示した(第7章)。
1

以上のように、原田氏は本論文の研究によって Y 代数からのリダクションあるいは
そのグルーイングによって得られる共形代数に対して、ミニマル模型のプライマリー
場の表現をプレーン分割によって実現する汎用性の高い構成法を得ることに成功し、
WN 代数をはじめ多くの興味ある代数の表現論に貢献した。
なお、本論文第5章並びに第6章は、松尾 泰教授との共同研究であるが、論文提出
者が主体となって計算及び解析を行ったもので、論文提出者の寄与が十分であると判
断する。また、第7章の結果は論文提出者単独の解析結果である。
したがって、博士(理学)の学位を授与できると認める。

2

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