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Multiple Zeta Values and Multi-Poly-Bernoulli Numbers in Positive Characteristic

Harada, Ryotaro 原田, 遼太郎 名古屋大学

2020.04.02

概要

数論の分野において,数体の場合(標数0)と有限体上の関数体の場合(正標数)との間で類似が成り立つということが知られている.この現象に基づき正標数の数論を考えることが可能であり、数体において成り立つ結果の正標数類似がどこまで構成可能かということが基本的な問題の一つとされている.

本論文では正標数の多重ゼータ値と多重ポリBernoulli数に着目している.多重ゼータ値とはRiemannゼータ値を多変数化した無限級数であり,1776年のEulerによる二重ゼータ値の研究から端を発するものである.2004年にThakurがその正標数類似を導入している.本論文の第一章から第三章にかけて正標数の多重ゼータ値における積和公式に関する予想や,正標数の有限多重ゼータ値と正標数の交代多重ゼータ値についてBernoulli数の正標数類似の多重化も含めたこれまでの研究結果をまとめている.

第一章ではLara Rodriguezにより2010年に構成されたfull conjectureを解決している.これは正標数の二重ゼータ値の間で成り立つ積和公式についての予想式であり,インデックスが特別な場合においてより明示的な積和公式を与えるものである.一方でfull conjectureは誤りを含んでおり,実際に第一章中で反例を与えている.さらにこの予想に関して,その誤りを修正したうえで証明を与えている.証明にはChen(2015)による積和公式の別証明とLucas(1878)による二項係数の合同式を用いている.

第二章では正標数のBernoulli数,即ちBernoulli-Carlitz数を多変数化した多重ポリBernoulli-Carlitz数を導入している.これは今冨-金子-武田の2014年の論文により導入された多重ポリBernoulli数の正標数類似でもある.同じく同論文により多重ポリBernoulli数は階乗と第二種Stirling数を用いた明示公式で表されること,金子-Zagierの有限多重ゼータ値との関係を持つことなどが示されており,本論文ではこれらの結果の正標数類似がCarlitz階乗,第二種Stirling-Carlitz数,Chang-三柴の有限多重ゼータ値を用いて示されている.特に明示公式に関しては,金子(元)と小松の2016年の論文中のBernoulli-Carlitz数の明示公式に関する一般化を与えている.その一方で多重ポリBernoulli-Carlitz数が0となる条件も与えられており,この結果は標数0の場合ではまだ示されていない性質である.

第三章では交代多重ゼータ値の正標数類似を導入し,その基本的性質を明らかにしている.正標数において交代多重ゼータ値は,(正標数の)整数環の単元により多重ゼータ値の各項の分子をひねって定義される.そして正標数の交代多重ゼータ値に関してこれらが非自明であること,積和公式を満たすこと,周期であること,ある線形独立性を満たすことが示されている.非自明性に関してはThakur(2009)によるモニック多項式のべき和の次数に関する不等式を用いて、正標数の交代多重ゼータ値が付値をとった際に0でないことを示した.積和公式についてはChen(2015)による正標数の二重ゼータ値における積和公式を拡張し,帰納法を用いることで示されている.周期に関しては,Anderson-Thakurの2009年の論文に表れるプレt-モチーフをもとに正標数の交代多重ゼータ値が周期行列に表れるプレt-モチーフが実際に構成されている.これにより,Anderson-Brownawell-Papanikolasの判定法(2004)が適用可能となり,さらにChang(2016)によるMZ-propertyを拡張することでインデックスの和が異なる正標数の交代多重ゼータ値たちは線形独立であることが証明されている.

参考文献

[ABP04] G. W. Anderson, W. D. Brownawell and M. A. Papanikolas, Determination of the alge- braic relations among special Γ-values, Ann. Math. 160, no.2, (2004), 237–313.

[AT90] G. W. Anderson, D. S. Thakur, Tensor powers of the Carlitz module and zeta values, Ann. Math. 132, no.1, (1990), 159–191.

[AT09] G. W. Anderson, D. S. Thakur, Multizeta values for Fq[t], their period interpretation and relations between them, Int. Math. Res. Not. (11) (2009), 2038–2055.

[AK99] T. Arakawa, M. Kaneko, Multiple zeta values, poly-Bernoulli numbers, and related zeta functions, Nagoya Math. J. 153 (1999), 189–209.

[BJOP02] M. Bigotte, G. Jacob, N.E. Oussous, M. Petitot, Lyndon words and shufle algebras for generating the coloured multiple zeta values relations tables, Theoret. Comput. Sci. 273 (2002), no. 1–2, 271–282.

[Br96a] D. J. Broadhurst, On the enumeration of irreducible k-fold Euler sums and their roles in knot theory and field theory, preprint, arXiv:hep-th/9604128.

[Br96b] D. J. Broadhurst, Conjectured Enumeration of irreducible Multiple Zeta Values, from Knots and Feynman Diagrams , preprint, arXiv:hep-th/9612012.

[Ca35] L. Carlitz, On certain functions connected with polynomials in a Galois field, Duke Math. J., 1(2) (1935) 137–168.

[Ca37] L. Carlitz, An analogue of the von Staudt-Clausen theorem, Duke Math. J. 3 (3) (1937) 503–517.

[Ca40] L. Carlitz, An analogue of the Staudt-Clausen theorem, Duke Math. J. 7 (1940) 62–67. [Ca41] L. Carlitz, An analogue of the Bernoulli polynomials, Duke Math. J. 8 (1941) 405–412.

[C14] C.-Y. Chang, Linear independence of monomials of multizeta values in positive charac- teristic, Compositio Math., 150, (2014), pp.1789–1808.

[CM17] C.-Y. Chang, Y. Mishiba, On finite multiple Carlitz polylogarithms, J. Théor. Nombres Bordeaux, 29 no. 3 (2017), 1049–1058.

[CM19] C.-Y. Chang, Y. Mishiba, On multiple polylogarithms in characteristic p: v-adic vanish- ing versus ∞-adic Eulerianness, Int. Math. Res. Notices 2019, 923–947.

[CM] C.-Y. Chang, Y. Mishiba, On a conjecture of Furusho over function fields, submitted.

[Chen15] H.-J. Chen, On shufle of double zeta values over Fq [t], J. Number Theory 148, (2015), 153–163.

[DG05] P. Deligne and A. Goncharov, Groupes fondamentaux motiviques de Tate mixte, Ann. Sci. Ecole Norm. Sup. (4) 38 (2005), 1–56.

[E] L. Euler, Meditationes circa singulare serierum genus, Novi Comm. Acad. Sci. Petropol 20 (1776), 140–186, reprinted in Opera Omnia. ser. I, vol. 15, B. G. Teubner, Berlin (1927) 217–267.

[Ge89] E.-U. Gekeler, Some new identities for Bernoulli-Carlitz numbers, J. Number Theory, 33 (2) (1989) 209–219.

[Gl16] C. Glanois, Motivic unipotent fundamental groupoid of Gm ∖ µN for N = 2, 3, 4, 6, 8 and Galois descents, J. Number Theory, 160 (2016), 334–384.

[Go98] A. B. Goncharov, Multiple polylogarithms, cyclotomy and modular complexes, Math. Res. Lett. 5 (1998), no. 4, 497–516.

[G96] D. Goss, Basic Structure of Function Field Arithmetic, Springer, Berlin (1996).

[HM07] Y. Hamahata, H. Masubuchi, Special multi-poly-Bernoulli numbers, J. Integer. Seq. 10 (2007).

[H18a] R. Harada, On Euler’s formulae for double zeta values, Kyushu J. Math. 72 (1), 2018 pp. 15-24.

[H18b] R. Harada, On Lara Rodríguez’ full conjecture for double zeta values in function fields, Int. J. Number Theory, 14 (4) 2018 pp. 1081-1092.

[H18c] R. Harada, On multi-poly-Bernoulli-Carlitz numbers, 2018 to appear in J. Number Theory. [H19] R. Harada, Alternating multizeta values in positive characteristic , arXiv:1909.03849, sub-mitted, 2019.

[IKT14] K. Imatomi, M. Kaneko, E. Takeda, Multi-poly-Bernoulli numbers and finite multiple zeta values, J. Integer Seq. 17 (2014).

[KK16] H. Kaneko, T. Komatsu, Cauchy-Carlitz numbers, J. Number Theory 163 (2016), 238– 254.

[K97] M. Kaneko, Poly-Bernoulli numbers, J. Théor. Nombres Bordeaux 9 no. 1 (1997), 199–206. [KT13] M. Kaneko, K. Tasaka, Double zeta values, double Eisenstein series, and modular forms of level 2, Math. Ann., 357 (3) (2013), 1091–1118.

[KZ] M. Kaneko, D. Zagier, Finite multiple zeta values, in preparation.

[KiK] M.-S. Kim, T. Kim, An explicit formula on the generalized Bernoulli number with order n, Indian J. Pure Appl. Math. 31 (2000), 1455–1461.

[KL] H. Kornblum, E. Landau, Über die Primfunktionen in einer arithmetischen Progression, Math. Z., 5 (1919), no. 1-2, 100 ‒ 111.

[Kr] L. Kronecker, Bemerkung zur Abhandlung des Herrn Worpitzky, J. Reine Angew. Math. 94 (1883), 268–270.

[La10] J. A. Lara Rodríguez, Some conjectures and results about multizeta values, J. of Number Theory 130 (2010), 1013–1023.

[La12] J. A. Lara Rodríguez, Special relations between function field multizeta values and parity results, Journal of the Ramanujan Mathematical Society, 27(3) (2012), 275–293.

[Lu] E. Lucas, Sur les congruences des nombres eulériens et les coefficients diflérentiels des functions trigonométriques suivant un module premier, Bull. Soc. Math France, 6 (1878), 49–54.

[P08] M. A. Papanikolas, Tannakian duality for Anderson-Drinfeld motives and algebraic inde- pendence of Carlitz logarithms, Invent. Math. 171, no.1, (2008), 123–174.

[Ra02] G. Racinet, Doubles mélanges des polylogarithmes multiples aux racines de l’unité, Publ. Math. Inst. Hautes Etudes Sci. 95 (2002), 185–231.

[S05] J. R. Schott, Matrix Analysis for Statistics, Wiley Interscience Publ. (2005). [T04] D. S. Thakur, Function Field Arithmetic, World Sci., NJ, (2004).

[T09a] D. S. Thakur, Power sums with applications to multizeta and zeta zero distribution for Fq [t], Finite Fields Appl. 15, (2009), 534–552.

[T10] D. S. Thakur, Shufle relations for function field multizeta values, Int. Math. Res. Not. 2010(11) (2010), 1973–1980.

[T17] D. S. Thakur, Multizeta values for function fields: a survey, J. Théor. Nombres Bordeaux, 29 no. 3 (2017), 997–1023.

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