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Modeling of Asymmetry for Square Contingency Tables with Ordinal Categories

藤澤 健吾 Kengo Fujisawa 東京理科大学 DOI:info:doi/10.20604/00003578

2021.06.09

概要

カテゴリカルデータについての統計解析手法の開発は20世紀初頭から行われており、これまでに多くの論文で議論がされてきた。これらの解析手法は医学、薬学、社会学、経済学など幅広い分野で応用がされている.

カテゴリ間に順序のある・個のカテゴリとc個のカテゴリをそれぞれ持つ2つの変数を考える。この2つの変数の組み合わせから構成される“行c列の表は、順序カテゴリをもつかの分割表と呼ばれている。特に，2つの変数が同じ分類からなる場合、例えば、ある人間の集団を右裸眼視力で（良い、やや良い、やや悪い，悪い）の4分類と左裸眼視力で同じ4分類によって16の小集団に分けるとき、4x4分割表を得ることができる、このように、カテゴリ間に順序のある同じ分類からなる分割表は、順序カテゴリをもつ正方分割表と呼ばれている。

実際の分割表解析において、我々は標本に基づく観測度数しか得ることができない。分割表解析における我々の関心は、得られた観測度数から未知の確率分布を高い頼度で推測し、分類間の関連の構造を明らかにすることである、そのためにデータによく適合する統計モデルを導入する必要がある、さらに、モデルの未知パラメータの推定，モデルが成立するための必要十分条件の導出など多くの解決すべき課題がある。

一般に分割表解析における大きな関心は変数間の独立性、すなわち変数間に関連性がないかどうかにある、しかし、正方分制表データの特徴として、観測度数が分割表の主対角セルに集中する傾向がある、これは、分類間の相互関連性が強く、統計的独立性が成り立たないことを示している、正方分制表解析においては分類間の続計的独立性に代わって、対称性や非対称性の構造に関心があり、多くの対称性や非対称性に関する統計モデルがこれまでに提案されてきた。たとえば、Bowker（1948）がセル確率の対称性を示す対称モデルを導入した。また、対称モデルを拡張したモデルとして周辺同等モデル（Stuart,1955），準対称モデル（Caussinus,1965）が提案された。非対称性を示すモデルとしては条件付き対称モデル（McCullagh，1978），対角パラメータ対称モデル（Goodmam，1979），線形対角パラメータ対称モデル（Agresti,1983）などが提案されてきた、また，Caussinus（1965）は「対称モデルが成立するための必要十分条件は、準対称モデルと周辺同等モデルの両方が成立することである」という定理を与えた。Tahataetal.（2016）は「rxr正方分割表において、任意の（ルー1，・/-1）に対して、対称モデルが成立するための必要十分条件はk次拡張線形非対称モデル、グローバル対称モデル、そして、周辺に次積率一致モデルのすべてが成立することである」という定理を与えた.

本論文は、以下の4章から構成されており、順序カテゴリをもつ正方分割表における非対称性に関する統計モデルを提案し、提案モデルに関する定理を与えた。

第1章では、分割表解析の研究に関する歴史的背景と各章の概要を述べた。

第2章では、順序カテゴリrx正方分制表において、ロジット変換を用いた3種類の非対称モデル（LoCS,LoDPS,LoLDPS）を提案した.MeCullagh（1978），Goodman（1979），そして、Agresti（1983）は、対称的な位置にあるセル確率の比の構造に着目したモデルを提案した。そのため、観測度数が主対角セルに集中する傾向があるにもかかわらず、主対角セルの確率に対する制約については考えられていなかった、本論文では、対称的な位置にあるセル確率に対する対数オッズ比の構造に着目したモデルを新たに提案した．新たに提案したモデルは、従来のモデルとは全く異なり、主対角セルの確率に対しても制約を入れた構造になっている。対数オッズ比は、医学・薬学などの分野でよく用いられる指標であり、応用面での解釈も容易である、また、「対称モデルが成立するための必要十分条件は，LoCSモデルとグローバル対称モデルの両方が成立することである」という定理を与えた、同様にして、LoDPSモデル、そして、LoLDPSモデルを用いた定理も導出した、これらの定理は対称モデルが成り立たない場合に、その原因を推測するのに有用である、さらに、提案モデルを英国人女性の左右の裸眼視力データに適用した例を示し、本章で与えたモデルと定理から有用な結果と解釈が得られることを示した。

第3章では、順序カテゴリrx正方分割表において、任意に（に=1，.-1）を固定して、たダイバージェンスに基づくに次拡張非対称モデルを提案した、チダイバージェンスはKullback-Leiblerダイバージェンスを一般化したものである、提案モデルは、特別な場合にCassinus（1965），MeCullagh（1978），そして、Agresti（1983）などが提案したモデルを含む一般化したものである、また、「任意の（〜=1...-1）に対して、対称モデルが成立するための必要十分条件は、チダイバージェンスに基づくに次拡張非対称モデル、グローバル対称モデル、そして、周辺に次積率一致モデルのすべてが成立することである」という定理を与えた。この定理は，Caussinus（1965）やTahataetal.（2016）等が与えた対称性の必要十分条件に関する定理の一般化になっている、さらに、グローバル対称モデルと周辺に次積率一致モデルの両方の確率構造が成立するモデルをGMモデルとするとき、「対称モデルの適合度を検定するための尤度比カイニ乗統計量は、チダイバージェンスに基づくに次拡張非対称モデルとに次GMモデルの各尤度比カイニ乗統計量の和に近的に同等である」というモデルの直交性に関する定理を与えた．デンマークの父親と息子の職業階級データに本章で提案したモデルと定理を適用し、有用な結果と解釈が得られることを示した。

第4章では、本論文の結論を述べた、順序カテゴリ正分制表において、提案したモデルと定理の有用性を論じた.

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