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On the finiteness of support τ-tilting modules

本間 孝拓 Takahiro Homma 東京理科大学 DOI:info:doi/10.20604/00003663

2022.06.16

概要

有限次元多元環の表現論は、加群圏及び導来圏の対象とその間の射を分類し構造を理解するための理論である、アウスランダーとライテンによって導入されたAR理論は、直既約対象とその間の射を記述することで、まさに構造そのものを視覚的に与えた.しかし、一般に直既約対象は無限個あるため、全ての対象を記述することはできず、理解として不十分であった。そこで特徴的な性質をもつ部分圏と対象に注目する方法が現代の研究の主流である. 代表的なものとして加群圏全体の構造が等しい (森田同値な)多元環を有限生成射影加群の自己準同型多元環として特徴付けた森田理論が挙げられる、森田同値である多元環は多くの性質を共有し、加群においては全く同様の議論ができるため表現論的な差はない.さらに導来圏における森田理論である 理論では、傎対象が2つの多元環の導来圏の間の圏同値(導来同値)を誘導する、また一般の三角圏においても,傾対象が存在するとその三角圏は有限次元多元環の完全導来圏と圏同値になる、このように2つの圏の間に圏同値が存在する場合は,より簡単な圏に移して議論をすることができる.

三角圏同値を誘導する点から、たくさんの傾複体を構成するために傾変異が導入された.傾変異とは←複体の直和因子を取り替えることによって、新たな傾複体を得る操作である.しかし,傾変異はいつでも可能とは限らないという弱点を持っている、その弱点を解消するために,相原 伊山によって準変異が導入された. 準傾変異は傾対象を含むクラスである準値対象における変異であり、実際にいつでも変異が可能である.

準傾対象は元々のを構造を分類するという目的でケラーとホシェックにより導入され,三角圏の構造と密接に関係している、私は三角圏、主に導来圏や完全導来圏について理解するために,準傾対象に興味を持ち研究を行ってきた.特に与えられた三角圏の準対象全体を分類することが大きな目的である

零でない準傾対象が存在すると,無限個の準値対象が得られるため全ての準價対象を与えることは難しい.そこで準傾対象についての有限性である準値離散性を満たす三角圏に注目する、三角圏が準傾離散であるとき、任意の順序関係を持つ2つの準値対象の間の準傾対象を全て与えることができる、特に多元環の完全導水画が準傾離散であるとき、多元環が準傾離散であるという。

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