Localization in direction of Schrödinger operators with homogeneous potentials of order zero

概要

本論文では 0 次斉次なポテンシャルを持つシュレディンガー作用素の方向局所化について以下の二通りのアプローチで解析を行った.
1. これまでに知られていた方向局所化を散乱多様体の場合に拡張する.
2. 半古典解析の手法を用いてシュレディンガー作用素の方向局所化の新しい定式化を与える.
また, 後者の応用として 0 次斉次なポテンシャルを持つシュレディンガー作用素の場合に観測性評価が成立するための必要条件を得た.

1 方向局所化
ユークリッド空間Rn 上のシュレディンガー作用素 P = +V を考える. ポテンシャル V が 0 次斉次であるとは x が十分大きいときに V が x に依存しない,つまり V (x) = V ( x ) となることである. このとき V は自然に単位球面 Sn−1 の上の関数とみなすことができる.
0 次斉次なポテンシャルを持つシュレディンガー作用素の方向局所化について説明する. θ ∈ Sn−1 に局所化する関数のなす空間 Hθ を
Hθ = {φ ∈ L (R ) | ( − θ) e−itP φ → 0 as t → ∞}2 n x で定義する.
V の Sn−1 への制限の臨界点は有限であると仮定する. このとき V の臨界点の族 {θm}M が存在して Ha.c(P ) = ⊕M Hθ となる. ここで Hac(P ) は P の絶対連続部分空間を指す. この定理を 0 次斉次なポテンシャルを持つシュレディンガー作用素の方向局所化と呼ぶ.
この定理はHerbst (1991) により与えられた. その後Herbst-Skibsted (2008) で V の Sn−1 への制限がモース関数であり, かついくつかの条件を満たせば θm M をすべてV の極小点とできることが示された. またこれらの結果はHassel-Melrose- Vasy (2004,2008) で散乱多様体の場合にも拡張されている.

2 散乱多様体
散乱多様体とはMelrose (1994) により導入された多様体のクラスである. 一般化された極座標表示を持つのが特色でユークリッド空間と同様に散乱理論などを展開できることが知られている. 散乱多様体にはいくつかの定式化が存在するが本論文では伊藤-中村 (2010) の定式化を採用する.
M を n 次元 C∞ 級多様体であって以下の条件を満たすものとする.
1. M は相対コンパクトな部分集合 Mc と非コンパクトな部分集合 M∞ の和であらわされる.
2. M∞ はR+ × ∂M に微分同相である. ただしここで(∂M, h) はコンパクト(n − 1) 次元 C∞ 級リーマン多様体である.
3. 上述の M∞ とR+ ×∂M 間の微分同相写像であって Mc ∩M∞ が(0, 1 )×∂Mに含まれるというものが存在する.
∞ ˜ n−1を満たすものとする. ここで H(θ) = √det h である. H = L2(M, G(x)dx) で定める.
P0 を M 上の正値楕円型二階微分作用素とする. P0 は C∞(M ) 上で本質的自己共役でありかつ P0 は M˜∞ 上で,P = − 1 G−1(∂ , ∂ /r)G ( a1 a2) ( ∂r )の形であらわされるものとする. ここで {ai}3 は M 上の実数値二次正定値テンソルであるとする. P = P0 + V とする. ここで P, V は以下を満たすものである:仮定 A. µ1, µ2, µ3 > 1 とする.
・任意の ℓ ∈ N, α ∈ Nn−1 に対して, Cℓα > 0 が存在して M˜∞ 上で
∂ℓ∂α(a3(r, θ) − h(θ)) ≤ Cℓαr−µ3−ℓ
・V は実数値 C∞ 級関数であって M˜∞ 上で
V (r, θ) = V∞(θ) + Vs(r, θ)
を満たすものとする. ここで Vs C∞(M ) は実数値で短距離型であるとする, つまり µ4 > 1 が存在して任意の ℓ N,α Nn−1 に対して Cℓα > 0 が存在し,
∂ ∂ Vs(r, θ) ≤ Cℓαr for (r, θ) ∈ M∞
この時ユークリッド空間の場合と同様に Hθ を定義でき, 以下の定理を得る.
定理 2.1. V∞ の ∂M の臨界点は有限個であると仮定する. このとき V∞ の臨界
点の族 {θm}M が存在して Hac(P ) = ⊕M Hθ となる.
すでに述べた通り, 散乱多様体の場合の 0 次斉次なポテンシャルを持つシュレディンガー作用素の方向局所化はHassel-Melrose-Vasy により知られていたが,我々の結果は彼らの結果よりも広いクラスの摂動を扱っているという利点がある.

3 半古典解析
以下この論文の後半部分について説明する. 後半部分では一般の散乱多様体ではなくユークリッド空間の場合のみを取り扱う.
半古典解析とは超局所解析の手法のうちの一つで, とくに擬微分作用素と対応するハミルトン流の関係を定量的に調べることに適している手法である. 私は中でも半古典測度という手法に着目した. 半古典測度とはシュレディンガー作用素の半古典的固有ベクトルから定まる接空間上の測度である. 考えているシュレディンガー作用素から定まるハミルトン流で不変であるなどの良い性質を持つことが知られている. しかし考えているシュレディンガー作用素から定まるハミルトン流が非補足的である, つまり時間無限大で無限遠に発散してしまう場合, 従来の半古典測度は恒等的に 0 になってしまうという問題点があった.
そこで私はユークリッド空間の場合に新たにハミルトン流の無限遠方での挙動を取り扱うことのできる擬微分作用素の半古典量子化を以下のように定義した.まず許容カットオフ関数を以下のように定義する.
定義 3.1. (許容カットオフ関数)
関数族 {fh}h∈(0,1) ⊂ C∞(R) が許容カットオフ関数であるとは fh が以下の条件を満たすことである:
(1) ある h によらない ε > 0 が存在して r ≤ ε なら fh(r) = 0.
(2) 任意のm ∈ N に対してCm > 0 が存在してh について一様にsupr∈R |∂mfh(r)| 許容カットオフ関数 fh を一つ取り固定する. このとき極座標を用いて a ∈ C∞(R×T∗Sn−1) に対してa˜(x, ξ) = fh(r)a(ρ, θ, η ) で定めるとa˜の量子化a˜w(hx, Dx)
は L2(Rn) 上の有界作用素を定める. この有界作用素を Opfh(a) と書く.
このとき以下のように新しい半古典測度を定義する.
定理 3.1. （半古典測度の存在）
uh ∈ L2(Rn) は h について有界であるとする. 正の数の列 hm であって m → ∞
で hm → 0 を満たすものと R × T∗Sn−1 上の有限ラドン測度 µf が存在して
⟨uhm , Opfhm (a)uhm ⟩L2(Rn) → ∫R×T∗Sn−1 adµf , m → ∞,
を任意の a ∈ C∞(R × T∗Sn−1) に対して満たす. 特に fh が非負値なら µf も非負値である.
j C∞(R) を j(r) = 1(r > 1), j(r) = 0 (r < 1 ) を満たすものとする. このとき j は許容カットオフ関数になる. 半古典測度 µj について以下のような方向局所化定理を示した.
定理 3.2. P の E での Weyl 列 uh, つまり uh D(P ) であって以下を満たすものとする:
(P − E)uh = Rh
uh L2(Rn) = 1, (3.1)
ただし h → 0 で Rh = o(h) であるとする. さらにある χ ∈ C∞(1, ∞) が存在して uh(x) = χ(h|x|)uh(x) + R′ (x) を満たすとする. ただし h → 0 で R′ = o(1)h hである. このとき
(1) E ∈ Cv(V ),
(2) supp(µj) (0, θ, 0) R T∗Sn−1 θ Cr(V ) V −1(E) .
ここで Cv(V ) は V の臨界値のなす集合をあらわす.
定理 3.3. (1) E ∈ [min(V ), max(V )], θ0 ∈ V −1(E) ⊂ Sn−1 かつ k ∈ N ∪ {0} を∂k˜V (θ0) = 0 を任意の k˜ k に対して満たすものとする. 任意の C > 0 に対して, Weyl 列 uh であって以下の条件を満たすのものが存在する:
1. k > 1 なら Rh L2(Rn) = o(h) であり,k = 0, 1 では Rh L2(Rn) = O(h),
2. uh は j(hr)uh(r, θ) = uh(r, θ) を満たす,
3. supp(uh) (r, θ) Rn r > 1, dist(θ, θ0) < Cr−ℓ(k) を十分に小さい
h > 0 に対して満たす.
ここで ℓ(k) は k > 0 で ℓ(k) = k + 1 かつ ℓ(0) = 2 , を満たすもので, dist(·, ·) はSn−1 に自然に定まる距離である.
(2) max(V ) < E, θ0 Sn−1 かつ k N 0 を ∂k˜V (θ0) = 0 を任意の k˜ k に対して満たすものとする. 任意の C, ε > 0 に対して,Weyl 列 uh であって以下の条件を満たすのものが存在する:
1. Rh L2(Rn) = O(h),
2. uh は j(hr)uh(r, θ) = uh(r, θ) を満たす,
3. supp(uh) (r, θ) Rn r > 1, dist(θ, θ0) < Cr−ℓ(k) を十分に小さい
h > 0 に対して満たす.

4 観測性評価
上の具体例を考えることによって観測性評価に関する必要条件を得ることに成功した.
Ω ⊂ Rn で観測性評価が成り立つとは,T > 0 と CΩ,T > 0 が存在して
u 2 2 n CΩ,T0 e−itP Ω u(x)|2dxdt
を任意の u ∈ L2(Rn) に対して満たすことである.
定理 4.1. Ω ⊂ Rn を以下を満たす領域とする:
Ω ∩ {x ∈ Rn | |x| > R} ⊂ Rn \ {(r, θ) ∈ Rn | r > R, dist(θ, θ0) < Cr−ℓ(k)} ただし R, C > 0, θ0 Sn−1 であって ∂k˜V (θ0) = 0 を任意の k˜ k に対して満たすものとする. ここで ℓ(k) は定理 3.3 と同様とする.
このとき任意の T > 0 についてΩ の観測性評価は成り立たない, つまり um ∈L2(Rn) であって u 2n = 1 かつ, m → ∞ で∫ T ∫−itP(x)|2dxdt → 0を満たすものが存在する.