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AdS/CFT対応を用いたexactly marginal 演算子の相関関数の解析

前海, 真志 名古屋大学

2021.06.21

概要

共形場理論(CFT)は場の量子論において繰り込み群変換の固定点上に存在する理論である。CFTは共形対称性という対称性を有し、物質の臨界現象などの理解に役立ってきた。またCFTとAdS重力理論の等価性を主張するAdS/CFT対応に関する研究が発展したことで、近年では量子情報など多方面で精力的に研究されている分野である。

CFTにはexactly marginal operator(EMO)という複合演算子が存在する場合がある。EMOの結合定数は繰り込み群変換に対して変換しない特殊な結合定数であり、exactly marginal coupling(EMC)という。EMOによる摂動によって、共形対称性を保ったままEMCの値を連続的に変えることができる。このことはEMOを持つCFTがEMCの連続的な集合によって特徴付けられることを意味する。そのためこの連続的な集合は繰り込み群変換に対して変換されない領域(固定面)を構成している。このようなEMCによって特徴付けられる領域を共形多様体という。

EMOの相関関数は局所相殺項で消すことのできないコンタクト項が現れ、その係数に共形多様体の幾何学的な情報が含まれることがCFTの先行研究で知られていた。申請者の研究目的は、AdS/CFT対応を前提とし、この様なEMOの相関関数の構造をAdS重力理論から再現することである。

解析のセットアップとして、まずAdS/CFT対応において繰り込み群を議論した。EMCの繰り込み群のベータ関数に課される条件から、EMOが存在するCFTに双対な重力理論の作用を決定した。その結果、作用の一般形はAdS空間上で定義される非線形シグマ模型であることが示された。得られた作用からEMOに双対なスカラー場の運動方程式を求め、スカラー場のon-shell作用を計算した。そしてGKP-Witten関係式に従って相関関数を計算し上述の相関関数の構造が正しく再現されることを示した。

さらに申請者は、共形多様体の構造に対する考察を行うために4点関数に着目し、EMOで構成される2重トレース演算子の持つ数学的構造の解析を行った。具体的にはCFTとAdS重力理論の双方でEMOの4点関数のdouble OPE極限をそれぞれ計算し、その比較から物理的な意味を議論した。その結果、EMOの2重トレース演算子の異常スケーリング次元を、共形多様体の幾何学的な情報を持つ2つのテンソルを用いて表すことができた。またEMOとその2重トレース演算子の間のOPE係数も2つのテンソルを用いて表すことができた。これは先行研究の限られた具体例でのみ示されていた強結合のCFTにおける結果を大きく一般化したものであると言える。

今回の解析は共形摂動論に対応する計算を重力理論において行い相関関数を計算した。計算の際に生じる発散は、AdS空間の境界近傍にカットオフ面を導入する方法で正則化した。この正則化を用いてEMOの相関関数の構造を再現できたことは、共形摂動論を重力理論側で議論する際の正則化の方法としてカットオフ面を導入する正則化が有効であることを示している。

以上のことから今回得られた結果は、AdS/CFT対応の正当性をより確実にするものである。同時にEMOが存在する強結合のCFTに対して、AdS/CFT対応の立場から共形多様体の幾何学的な情報と相関関数の数学的構造を結びつける新たな関係式を明らかにしたものとなっている。

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