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Grothendieck monoids and their applications to representation theory and algebraic geometry

齋藤, 峻也 名古屋大学

2023.06.23

概要

学位報告4

別紙4
報 告 番





















論 文 題 目 Grothendieck monoids and their applications to
representation theory and algebraic geometry
(Grothendieck モノイドとその表現論および代数幾何学への応用)

名 齋藤 峻也

論 文 内 容 の 要 旨
環の表現論とは,環 R 上の加群およびそれらから構成される圏を研究する分野で
ある.加群圏 mod R やその導来圏 D(mod R)はその主要な一角を担っている.これ
らはそれぞれアーベル圏と三角圏の構造を持っている.代数幾何学においても,代
数多様体 X 上の連接層の圏 coh X やベクトル束の圏 vect X,導来圏 D(coh X)は,X
の幾何学的情報を多く含む不変量として重要な研究対象となっている.これらの圏
もそれぞれアーベル圏,完全圏,三角圏の構造を持っている.
近 年 , 中 岡 と Palu は ア ー ベ ル 圏 や 完 全 圏 , 三 角 圏 の 同 時 一 般 化 と し て
Extriangulated 圏(以下 ET 圏と呼ぶ)を導入した. ET 圏の構造は,拡大で閉じ
た部分圏やイデアル商,局所化などの様々な操作で遺伝し,ET 圏の理論は既存の
理論よりも一般的かつ柔軟な枠組みとして注目を集めている.
本 論 文 の 目 的 は , ア ー ベ ル 圏 や 完 全 圏 , 三 角 圏 を 含 む ET 圏 の 構 造 を
Grothendieck モノイドと呼ばれる不変量を通して解析することである.本論文は
大きく分けて二つのパートに分かれる.
1. ET 圏の Grothendieck モノイドの一般理論の構築(第 2‐6 章)
2. Grothendieck モノイドの環の表現論や代数幾何学への応用(第 7‐9 章)
以下では本論文の主要な結果について説明する.

(部分圏の分類:第3, 6, 7章)
部分圏の分類問題は,環の表現論や代数幾何学で活発に研究されている問題であ
る.与えられた群の構造を調べるのに,その部分群を研究するのが有効であるよう
に,部分圏の分類は元の圏の構造を解析する手がかりを多く与える.本論文では,
ET 圏の Grothendieck モノイドから次の三種類の部分圏が完全に分類できること

学位関係

を示した:


Serre 部分圏



稠密 2-out-of-3 部分圏



有限生成 Serre 部分圏

さらに非特異射影曲線 C 上のベクトル束の圏 vect C の Grothendieck モノイドを
決定し,上の分類を適用することで,完全圏 vect C が非自明な Serre 部分圏を持た
ないことを示した.
(モノイド操作の圏化:第4,5章)
圏化とは,代数的対象を圏の不変量として捉え,圏レベルで代数的対象を考察す
る手法である.この手法により,圏論的観点から代数的対象の複雑な関係式に簡明
な解釈を与えたり,あるいは逆に代数的対象に対する操作から圏に対する新しい洞
察を得たりすることが出来る.本論文では,モノイドの商や局所化の Grothendeick
モノイドによる圏化を与えた.より正確には,ET 圏の部分圏による局所化と
Grothendieck モノイドの対応する部分モノイドによる商が可換であることを示し
た.また,アーベル圏の中間圏と呼ばれる ET 圏を導入し,その Grothendieck モ
ノイドがアーベル圏の Grothendieck モノイドの局所化を与えることを示した.さ
らに,この観察を下に中間圏の圏構造の解析を行った.
(ネーター・スキームの位相の復元:第6, 8章)
可換環の場合と同様に,可換モノイドに対してはそのスペクトラムを考えること
が出来る.本論文では,Grothendieck モノイドのスペクトラムの位相構造や構造層
の解析を行った.とくにネーター・スキーム X の位相構造は,アーベル圏 coh X の
Grothendieck モノイドから完全に復元できることを示した.
(周期導来圏の不変量:第9章)
環の表現論において,環の導来圏の三角同値による不変量の研究は基本的である.
近年,Hall 代数の圏化を動機として,環の周期導来圏というものが研究され始めて
いる.本論文では,アルティン代数の周期導来圏の三角同値による不変量として,
次 の も の が あ る こ と を , 周 期 導 来 圏 の Grothendieck モ ノ イ ド ( こ の 場 合
Grothendieck 群と一致する)を計算することで示した.


アルティン環上の単純加群の同型類の個数



(著書が以前導入した)強周期傾対象の直既約同型類の個数

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