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Analytic Conformal Bootstrap in 2D CFT

Kusuki, Yuya 京都大学 DOI:10.14989/doctor.k22996

2021.03.23

概要

共形場理論と呼ばれる共形対称性を有する場の理論が素粒子論の分野で重要な役割を果たしている。その一つの理由は、ゲージ重力対応によって、共形場理論が量子重力理論と等価になり、一般に困難であることが知られている量子重力理論を、非摂動的に定式化されている場の理論の解析を用いて理解することができるからである。楠亀氏の学位論文では、特に時空が二次元の場合に共形場理論が持つ新しい性質をブートストラップの手法を用いて明らかにし、これとゲージ重力対応で等価と期待される3次元量子重力理論に関する新しい知見を見出した。一般に共形場理論は、理論の共形次元(エネルギー)スペクトラムΔと3点関数の比例係数Cの情報で指定されるが、この両者を自由にとれるわけではなく、ブートストラップという理論の無矛盾性からくる関係式を満たす必要がある。特に、2次元共形場理論は、無限次元のビラソロ対称性のおかげで、理論の構造に強い制限が付く。物理的性質を担う相関関数は、共形ブロックと呼ばれる理論によらない普遍的な関数を用いて、前述のΔとCの情報から決定される。したがって、この共形ブロックが2次元共形場理論を解析する上で鍵となるが共形ブロックの関数はとても複雑で現在でも理解が乏しい。楠亀氏は、モノドロミー法と呼ばれる数理物理学的な手法を駆使することで、この共形ブロックの重要な性質を明らかにした。特に、非調和比(Cross Ratio)が1に近づく極限での振る舞いを解析的に決定した。

共形ブロックの満たす性質としてモジュラーS変換での変換性の公式が知られている。これはフュージョン行列と呼ばれ、非調和比が0の領域の情報から、非調和比が1の領域の情報を得ることができる。一方、4点相関関数が満たすべき性質であるブートストラップ関係式はこのモジュラーS変換での不変性となっている。楠亀氏は、このブートストラップ関係式を解くことを念頭に、ゲージ重力対応の文脈で存在するかどうか興味をもたれている「純粋重力理論」に対応する2次元共形場理論にターゲットを絞り、これに対応する「中心電荷が1以上で、カイラルなプライマリーが存在しない」という条件を課すことで解析を進めた。その結果、ブートストラップ関係式が特に共形次元+スピン(Δ+J)がとても大きい極限で、簡単になることが分かる。楠亀氏の学位論文では、この方程式をフュージョン行列を用いて解いて、最終的に2つの演算子AとBの積を一つの演算子の和として展開した時に、出てくる演算子の共形次元のスペクトラムに強い制限を与えた。それによると、中心電荷を24で割った値以上に連続的なスペクトラムが現れ、それ以下のところでは、まばらで離散的なスペクトラムが得られる。この後者の離散的なスペクトラムは、AとBという2つの粒子が重力の相互作用で束縛状態を作ったものと解釈でき、実際にゲージ重力対応を通じた3次元重力の計算結果とも一致することが示された。このように楠亀氏の学位論文ではブートストラップの光円錐極限から3次元のエネルギースペクトラムを導出した。

楠亀氏の学位論文のおけるもう一つの内容は、演算子積のCardy公式である。2次元共形理論のスペクトラムをブートストラップ関係式の一つであるモジュラー不変性から制限し、それを解くことで、高エネルギー粒子のスペクトラムがエネルギーの平方根の指数関数として増大することがよく知られており、Cardy公式と呼ばれる。楠亀氏の学位論文では、4点関数のブートストラップ関係式で、特に中間状態が重い極限を取ることで、3点関数の係数Cも、Cardy公式に類似した(しかし今回は指数関数的に減少する)振る舞いを見出した。

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