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超幾何微分方程式の Voros 係数と Eynard-Orantin の位相的漸化式

竹井, 優美子 タケイ, ユミコ 神戸大学

2020.03.25

概要

本博士論文では、Eynard-Orantinによって導入された位相的漸化式と充全WKB解析の関係について論じている。

量子力学におけるWKB法では、WKB解と呼ばれるSchrodinger方程式のPlanck定数に関する摂動解が用いられる。WKB解は一般には発散級数であり、古典的なWKB法では有限項で打ち切り近似解として扱われる。それに対して、Borel総和法により発散級数であるWKB解に解析的な意味付けを与えて解析する手法が完全WKB解析である。完全WKB解析は、微分方程式の解の大域挙動の解析に威力を発揮し、その中でも特にVoros係数はモノドロミー群やStokes現象を記述するために用いられる完全WKB解析において非常に重要な量である。

一方、B.EynardとN.Orantinによって導入された位相的漸化式は、行列模型の相関函数が満たすloop方程式(Schwinger-Dyson方程式)を一般化した枠組みであり、「コンパクト Riemann 面C および2 つの有理型函数x, y : C→P1 の組が与えられたとき、C 上の多重微分形式の族{ Wg, n} g≥0,n≥1を帰納的に与える漸化式」として定式化される。行列模型の言葉を流用して、インプットとして与えられるデータ(C,XJ)はスペクトル曲線、アウトプットの%,nは相関函数とそれぞれ呼ばれる。また、この位相的漸化式を用いることにより自由エネルギーと呼ばれるシンブレクティック不変量も得られる。

この位相的漸化式と完全WKB解析を結びつける理論として量子曲線の理論が知られている。これは「スペクトル曲線が ”admissibility”と呼ばれる仮定を満たせば、位相的漸化式の相関函数を積分したものの母函数がある微分方程式のWKB解になっている」ことを主張しており、特にその微分方程式の古典極限として定まるRiemann面(のパラメータ表示)がインプットであったスペクトル曲線となっているので上のような呼び名がついた。これは WKB解の係数が満たす漸化式が位相的漸化式と密接に関わっていることを意味しているが、先行研究ではVoros係数の位相的漸化式における対応物については知られていなかった。そこで、本博士論文では特に「(1)Gaussの超幾何微分方程式およびその合流として得られる2階常微分方程式」と、「(2) 3階常微分方程式であるひ,4)-超幾何微分方程式、 (2,3)-超幾何微分方程式、(1,1,3)-超幾何微分方程式」を考察し、以下の結果を得た。ただし、( 2 ) の3 個の3 階常微分方程式はいずれも、2 次元退化Garnier系から得られる2 変数超幾何系の第1変数への制限である。

(i) 2階の微分方程式に対して、種数が0の古典曲線の位相的漸化式による量子化を与えた。それにより、スペクトル曲線がadmissibilityの仮定を満たさない場合についても位相的漸化式からWKB解が構成できることが確かめられた。特に、Gaussの超幾何微分方程式から生じるスペクトル曲線はadmissibilityを満たさないため、どの拡張は重要であり必要不可欠である。

(ii) Voros係数が自由エネルギーの母関数の差分の形で表されることを示した。

(iii) さらに、(ii)の応用として、自由エネルギーの母関数が満たす差分方程式を導出し、この差分方程式を解くことにより自由エネルギーとVoros係数の具体形を決定することに成功した。( 1 ) の方程式と( 2 ) の( 1, 4)・超幾何微分方程式についてはVoros係数の具体形がすでに知られているため、この結果は自由エネルギーを用いた別証明である。

(iv) (2)の方程式は第二変数に由来するパラメータを含んでいるが、自由エネルギーがこのパラメータには依らないことを示した。これは(2)の方程式に対して主結果(ii)を得る際に必要となる。

以下では、本博士論文の構成について述べる。
第1章では、本研究の背景および概要を述べる。

第2 章は2 . 1 節から2 . 5 節で構成される。2 . 1 節と2 . 2 節では完全W K B 解析で重要な量であるWKB解とVoros係数の定義を導入し、基本的な性質を概観する。2. 3節と2.4節では位相的漸化式と自由エネルギー、およびその基本的な性質を解説する。2.5節では位相的漸化式の相関函数が満たす変分公式について述べる。この変分公式は主結果(ii)と (iv)を導出する際に非常に重要な役割を果たす。

第3 章は3 . 1 節から3 . 3 節で構成される。3 . 1 節では量子化の際に用いる相関関数によるW K B 解の構成を解説する。3 . 2 節は3 . 2 . 1 節から3 . 2 . 5 節で構成される。3 . 2 . 1 節で記号を準備し、3 . 2 . 2 節で主結果(i) を述べる。そして3 . 2 . 3 節で証明に必要な道具の準備を行い、3 . 2 . 4 節で主結果(i) の証明を与える。3 . 2 . 5 節では(1) の方程式(Gaussの超幾何微分方程式およびその合流として得られる2階常微分方程式) から生じるスペクトル曲線を考察し、それらの量子化をそれぞれ具体的に与える。この3.2節の内容は岩木耕平氏と小池達也氏との共同研究に基づいている。3 . 3 節は3 . 3 . 1 節と3 . 3 . 2 節で構成されており、3.3.1節ではBouchard-Eynardによって導入された量子化について述べる。この量子化を用いて、3 . 3 . 2 節では(2) の方程式(1, 4) - 超幾何微分方程式、(2, 3) - 超幾何微分方程式、(1,1,3)-超幾何微分方程式)から生じるスペクトル曲線を考察し、それらの量子化をそれぞれ具体的に与えている。

第 4 章は 4 . 1 節と 4 . 2 節で構成される。 4 . 1 節は 4 . 1 . 1 節と 4 . 1 . 2 節で構成されており、(1) の方程式を扱う。4 . 1 . 1 節で(1) の方程式に対して、主結果(ii) と(iii) を述べた後、4 . 1 . 2 節でその証明を与える。4 . 1 節の内容も、3 . 2 節と同じく、岩木耕平氏と小池達也氏との共同研究に基づく。4 . 2 節は4 . 2 . 1 節と4 . 2 . 2 節で構成されており、(2) の方程式を扱う。4 . 2 . 1 節で(2) の方程式に対して主結果(ii) と(iii) を述べた後、4 . 2 . 2節でその証明を与える。また主結果(iv)もこの節で証明する。

第A章から第D章は付録の章である。第A章では有理型多重微分について述べる。また、量子化を行う際に用いるdivisor付きの積分についても触れる。第B章では、ineffectiveでない分岐点について述べる。第C章ではVoros係数の隣接関係式について解説する。第D 章では、Bernoulli数やBernoulli多項式の定義や性質について復習する。これらは自由エネルギーやVoros係数の満たす差分方程式を解く際に用いられる。

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