原田予想とIsoclinism (有限群のコホモロジー論とその周辺)

概要

27

原田予想と I
s
o
c
l
i
n
i
s
m
MasaoKiyota(TokyoMedicalandDentalU
n
i
v
e
r
s
i
t
y
)

清田正夫（東京医科歯科大学名誉教授）

1 原田予想
G を有限群， I
r
r
(
G
)を G の複素既約指標全体の集合， C
l
(
G
)を G の共役類全体の集合
とする。本稿では次の予想（原田予想，原田—千吉良予想）を考察する。

Conjecture1
.
1(
C
o
n
j
e
c
t
u
r
e(
H
)
[
2
]
)
.
h
(
G
)=

I
C
I

ITcECl(G)

I1xEirr(G)x
(
l
)

は整数である。

Conjecture1
.
2(
C
o
n
j
e
c
t
u
r
e(
H
C
)
)
.
h
(
G
)
h
'
(
G
)=

I
G
'
I

は整数である。
ただし， G
'は G の c
o
m
m
u
t
a
t
o
rs
u
b
g
r
o
u
p
,

G'=［
〈x
,
y
]l
x
,
yE G〉
[
x
,
y
]=X―l
y―l
X
Y
である。

Example1
.
3
.(
1
)G=品のとき。 I
r
r
(
G
)={
1
1
,b
,2
}
,C
l
(
G
)={
1
,2
,3
} より，
h
(
G
)=3
,h
'
(
G
)=1
(
2
)G = 的 ＝ ＜ x
,
y
l砂 ＝ 炉 ＝ 1
,y―1
x
y = X―1>竺 Z
3~ Z
4 のとき。 I
r
r
(
G
)
{
1
1
,b
,1
3
,1
4
,2
ぃ
為
｝
， C
l
(
G
)={
1
1
,1
2
,
2
1
,
2
2
,
3
1
,
3
叶より
h
(
G
)=9
,h
'
(
G
)=3

28
2 lsoclinism
ここでは G は必ずしも有限とは限らない群とする。 Z(G)は G の c
e
n
t
e
r
,G
'は G の
commutators
u
b
g
r
o
u
pである。

Jc:G/Z(G)xG/Z(G)→G
'

→[
x
,
y
]
(
x
Z
(
G
)
,yZ(G)）
を commutatormap とする。 zE Z(G)====} [
x
z
,y
]= [
x
,y
]= [
x
,y
z
]が成り立つことに注
意する。

D
e
f
i
n
i
t
i
o
n2
.
1(
[
1
]
)
.G が群 H に i
s
o
c
l
i
n
i
c(G H)←
⇒
(
1
)ヨ
a:G/Z(G)→H/
Z(H):i
s
o
m
o
r
p
h
i
s
m

(
2
)ヨ
/
3
:G
'→H':i
s
o
m
o
r
p
h
i
s
m
(
3
)a and/3arec
o
m
p
a
t
i
b
l
ew
i
t
ht
h
ecommutatormap,
/3ofc=fHo(axa)
群の i
s
o
c
l
i
n
i
s
mについて，いくつかの例と知られている事実を述べる。

Example2
.
2
.A :a
b
e
l
i
a
ng
r
o
u
p====} 1 A
,G

G xA

Example2
.
3
.S
3 Z
3>
<
1Z
4
Example2
.
4
.Ds QsandD2n Q
2n SD2n(
n~ 4
)
Fact2
.
5
.ForH ：：： G
, G
Fact2
.
6
.ForN 鳴

G

H {==}G = H Z(
G
)
G/
N {==} N nG'=1

Fact2
.
7
.Fora
nyG
, ヨ
Hs
.
t
.G

H andZ(H)：：： H'

このような H は s
t
e
mと呼ばれる。 G が有限群ならば I
H
I：： ￨
G
Iである。
以下， G は有限群とする。

d
i
(
G
)= l
{
xE I
r
r
(
G
)I
x
(
l
)=i
}
I
をd
e
g
r
e
eが iの既約指標の個数とする。

Fact2
.
8
.
G

H⇒

山(
G
)

d
;
(
H
)

I
G
I

I
H
I

共役類についても同様のことが成り立つ。

=

29
3 主定理
C
o
n
j
e
c
t
u
r
e(
H
)における数 h
(
G
)と i
s
o
c
l
i
n
i
s
mについて次が成り立つ。
Lemma3
.
1
.
H⇒ h
(
G
)
I
H
I= h
(
H
)
I
G
I

G
これより次の定理を得る。

Theorem3
.
2
.I
fG

H and(
H
)h
o
l
d
sf
o
rH,t
h
e
n(
H
)h
o
l
d
sf
o
rG
.

,i
tf
o
l
l
o
w
sf
r
o
mLemma
P
r
o
o
f
.S
u
p
p
o
s
et
h
a
tG Hand(
H
)h
o
l
d
sf
o
rH.S
i
n
c
eh(H)E Z
t
h
a
th
(
G
)
I
H
IE Z
.T
h
e
n
,h
(
G
)i
sana
l
g
e
b
r
a
i
ci
n
t
e
g
e
r
.Ont
h
eo
t
h
e
rs
i
d
e
,h
(
G
)i
sar
a
t
i
o
n
a
l
numberbyd
e
f
i
n
i
t
i
o
n
.S
o
,h
(
G
)E Z
.

□
Corollary3
.
3
.I
f(
H
Jh
o
l
d
sf
o
ra
n
ys
t
e
mg
r
o
u
p
s
,t
h
e
n(
H
Jh
o
l
d
sf
o
ra
n
yf
i
n
i
t
eg
r
o
u
p
s
.
Corollary3
.
4
.L
e
tG b
eam
i
n
i
m
a
lc
o
u
n
t
e
re
x
a
m
p
l
ef
o
r(
H
J
,t
h
e
nt
h
ef
o
l
l
o
w
i
n
g
sh
o
l
d
.
(
1
JU h
e
nUZ(G) .
I
np
a
r
t
i
c
u
l
a
r
,i
fMisamaximals
u
b
g
r
o
u
po
fG
,t
h
e
nZ(G)さ M.
(
2
J1=
JN<]G,t
h
e
nN nG
'
=
J1
.
I
np
a
r
t
i
c
u
l
a
r
,s
o
c
(
G
)
:
:
:
:
;
G
'
.
次に， C
o
n
j
e
c
t
u
r
e(HC)について考察する。 b
(
G
)= I
Z
(
G
):Z(G)nG] とおき， b
r
a
n
c
h
f
a
c
t
o
ro
fG と呼ぶ。

Fact3
.
5
.(
1
JG rv H,H i
ss
t
e
m⇒ ￨GI=I
H
l
b
(
G
)
(
H
)= 1
(
2
JHiss
t
e
m⇔ b
次は b
r
a
n
c
hf
a
c
t
o
rb
(
G
)を考慮に入れた C
o
n
j
e
c
t
u
r
eである。

Conjecture3
.
6(
C
o
n
j
e
c
t
u
r
e(
H
C
)
*
)
.
が(
G
)=

h
(
G
)
I
G
'
l
b
(
G
)

?
i
sani
n
t
e
g
e
r?
明らかに (
H
C
)
*====} (HC)が成り立つが，二つの予想は同値であることがわかる。

Lemma3
.
7
.
G
Theorem3
.
8
.I
fG

H⇒ h
*
(
G
)
I
H
I= h
*
(
H
)
I
G
I

H and(
H
G
)
*h
o
l
d
sf
o
rH,t
h
e
n(
H
G
)
*h
o
l
d
sf
o
rG
.

Corollary3
.
9
.I
f(HGJh
o
l
d
sf
o
ra
n
ys
t
e
mg
r
o
u
p
s
,t
h
e
n(
H
G
J
*h
o
l
d
sf
o
ranyf
i
n
i
t
eg
r
o
u
p
s
.

＊
←⇒(HC) となる。

よって (
HC)

30
4 関連する話題と問題
共役類の大きさの積 I
T
c
E
C
l
(
G
)I
C
I については，次が成り立つ。
Proposition4
.
1
.(
1
)IG/Z(G)I d
i
v
i
d
e
sI
T
c
E
C
J
(
G
)I
C
I

(
2
)I
G
'
Id
i
v
i
d
e
sI
T
c
E
C
l
(
G
)I
C
I
i
s
o
c
l
i
n
i
s
mを用いることにより次が得られる。
Proposition4
.
2
.(
1
)IG/Z(G)lb(G)d
i
v
i
d
e
sI
T
c
E
C
l
(
G
)I
C
I
(
2
)I
G
'
l
b
(
G
)d
i
v
i
d
e
sI
T
c
E
C
l
(
G
)I
C
I

これらの P
r
o
p
o
s
i
t
i
o
nでの等号条件については次がわかる。
Proposition4
.
3
.(
1
)IG/Z(G)lb(G)=I
T
c
E
C
l
(
G
)I
C
I
￠
=
⇒G i
sa
b
e
l
i
a
no
rG
(
2
)I
G
'
l
b
(
G
)=I
T
c
E
C
l
(
G
)I
C
I￠
=
⇒G i
sa
b
e
l
i
a
n

S
3

C
o
n
j
e
c
t
u
r
e(
H
)について 2種類の変形： b
l
o
c
kv
e
r
s
i
o
n(
H
B
)
,modularv
e
r
s
i
o
n(HM)が
ある (
[
3
]
,[
4
]）。最後にこれらの予想と，関連する問題を述べる。 p を素数とし， B を G の
p
b
l
o
c
kとする。 IBr(G)を G の既約 Brauer指標の全体， C
l
p
,
(
G
)をp
r
e
g
u
l
a
r共役類の集
合とする。 p
b
l
o
c
kについても同様の記号を用いる。
Conjecture4
.
4(
C
o
n
j
e
c
t
u
r
e(
H
B
)
)
.
h(B)=

I
T
c
E
C
l
(
B
)I
C
I
I1xEirr(B)x
(
l
)

i
sap
l
o
c
a
li
n
t
e
g
e
r?
?
Problem4
.
5
.Findt
h
ee
q
u
i
v
a
l
e
n
c
erelation~ b
e
t
w
e
e
nb
l
o
c
k
s
,f
o
rwhichA~ B and(HE)
h
o
l
d
sf
o
rB i
m
p
l
yt
h
a
t(HE)h
o
l
d
sf
o
rA
.
Conjecture4
.
6(
C
o
n
j
e
c
t
u
r
e(HM)).
hm(G)=

I
T
c
E
C
l
p
,
(
G
)I
C
I

r
咋

I
B
r
(
G
)c
p
(
l
)

i
sap
l
o
c
a
li
n
t
e
g
e
r?
?
Problem4
.
7
. Findt
h
ee
q
u
i
v
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l
e
n
c
er
e
l
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t
i
o
n Pb
e
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e
ng
r
o
u
p
s
,f
o
rwhichG
(HM)h
o
l
d
sf
o
rH i
m
p
l
yt
h
a
t(HM)h
o
l
d
sf
o
rG
.

PHand

31
参考文献
[
1
]P
.H
a
l
l
,Thec
l
a
s
s
i
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c
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i
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rg
r
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p
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.R
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eAngew.Math.v
o
l
.
1
8
2
,
1
9
4
0
,
1
3
0
1
4
1
.
[
2
] K.H
a
r
a
d
a
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e
v
i
s
i
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n
gc
h
a
r
a
c
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AcademiaS
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s
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3(
2
0
1
8
)
,3
8
3
3
9
5
.
[
3
] A.H
i
d
a
,M.K
i
y
o
t
a
,C
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a
r
a
c
t
e
rd
e
g
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e
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l
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s
sl
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g
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si
np
b
l
o
c
k
so
fsomef
i
n
i
t
e
g
r
o
u
p
s
,数理解析研究所講究録 2134(
2
0
1
9
)
,1
8
2
4
.
[
4
] M.K
i
y
o
t
a
,原田予想 I
I とそのブロック分割，数理解析研究所講究録 2
0
6
1(
2
0
1
8
)
,
5
6
6
0
. ...