複数のサボニウス型回転装置周りの流れと相互作用に関する数値的研究

概要

2022 年度博士学位論文

複数のサボニウス型回転装置周りの流れと
相互作用に関する数値的研究
Numerical study on interaction of the flow
around multiple Savonius turbines

お茶の水女子大学
大学院人間文化創成科学研究科
理学専攻情報科学領域

皆川

晶子

2023 年 3 月

要旨
地球温暖化問題やエネルギー問題を解決する手段として，再生可能エネルギ
ーは重要である．その中で風力エネルギーは自然エネルギーの代表であり，多
くの風力発電所やウィンドファームが日本各地に建設されている．一方，風力
発電は太陽光発電とともに天候に左右されやすいという欠点がある．安定的な
エネルギーの供給のためには，自然エネルギーの獲得方法を増やし，選択肢を
増やしていくことが重要である．そのひとつで風力や太陽光の欠点をカバーで
きるものとして海流エネルギーの利用がある．運動する流体が持つエネルギー
はその流体の密度に比例するため，空気の約 1000 倍の密度である海水の流れ
が持つエネルギーは風力に比べて文字通り桁違いに大きい．さらに日本には近
海に世界最大級の海流である黒潮が流れているほか，潮流の速い海域も多く存
在する．このため，狭い国土で風車を建設できる場所が少ないという風力発電
のデメリットを克服できる．
海流は低速であるため抗力型で構造が簡単なサボニウス型回転装置が利用で
きる可能性がある．サボニウス型回転装置とは円筒を 2 つに割ってずらした形
をしており，円筒の 2 つの部分（ブレードもしくはバケット）が流れから受け
る抗力の差により回転する．この回転装置を海中に複数個設置する場合，2 つ
を組みにして支持棒などで繋ぎひとつのユニットにして回転装置を逆方向に回
転するようにすればそれぞれの回転モーメントが打ち消しあって装置全体の安
定性はよくなる．その場合，装置全体を小さくするためには 2 つの装置を近接
して設置する必要があり，回転装置間の相互作用は無視できない．
本研究では，海流発電への応用を考え，独立して回転する複数のサボニウス
回転装置周りの流れを数値シミュレーションにより検討する．このシミュレー
ションを行うために，本研究では，複数の回転座標系格子を静止座標系に埋め
込むことにより複数の回転装置周りの流れを精度よく計算するサボニウス型回
転装置用差分格子の生成法を提案する．
一般に，回転体周りの流れを解析する場合，回転座標系を用いることが多い．
しかし，複数の物体が独立して回転する場合，１つの回転座標系で計算するこ
とは困難である．そこで，計算領域全体を 1 つの回転体を含む複数の矩形領域
に分割した．このとき，各領域間では，それぞれの長方形の辺を通じてデータ
のやり取りが行われる．1 つの矩形は，内側の円形領域と外側の円形にくり抜

i

かれた矩形領域に分けられる．内側の円形領域では，回転装置の回転に合わせ
た回転座標系を使い，外側の領域では静止座標系を使った．これら回転座標系
の領域と静止座標系の領域のデータは円周上で受け渡されるが，双方の領域を
１格子分重ねることにより周方向に対してのみ補間を行えば計算可能である．
この手法により計算時間が大幅に短縮されるだけでなく，補間の精度も向上す
る．さらに，サボニウス型回転装置のブレードに沿った格子を生成するために，
回転座標系の内部領域をいくつかの領域に分割し，分割した領域の境目では格
子を一致させることにより補間することなくデータの受け渡しを可能とした．
この方法では，各装置領域で独立した回転座標系を用いるため，装置の回転
方向，回転速度等を装置ごとに自由に変更することが可能である．また，この
方法は，回転装置の設置数に関係なく適用することができる．提案手法により
生成した格子を用いた計算は，装置に対する主流の方向，回転装置の回転方向，
回転装置間の距離など各種パラメータを変化させて行い，トルクやパワーへの
影響を流れ場の解析と合わせて以下の検証を行った．
第一に，一対の回転装置を並べた場合における，流れの方向による 2 つの回
転装置のトルク係数の違いを比較するため，一対の回転装置の軸同士を結んだ
ラインを y 軸に取り，それに垂直な x 軸とのなす角を 0 度，45 度，90 度となる
流れが当たる場合について計算を行った．結果として，0 度の場合には両装置
間に差異が見られず，45 度の場合には予想に反して下流側に位置する装置のト
ルク係数が上流側を上回り，90 度の場合は下流側の装置のトルク係数が著しく
低下した．この結果から，上流側の装置によって主流が曲げられたり渦が生じ
たりすることで，下流側の装置のパフォーマンスが向上する可能性があること
が示唆された．
第二に，一対の回転装置を並べた際に，その回転方向によって流れがどのよ
うに変化するか検証するため，同一方向に回転する場合と互いに逆方向に回転
する場合を比較検証した．その結果，装置の回転方向に関わらず，主流の方向
と装置の位置関係が効率的な運転に影響することが示唆された．
第三に装置の設置距離によって効率がどのように変化するか検証するため，
回転装置の半径の長さを R とし，その比で回転装置の回転軸間の距離が 3.1R
となる場合，5R となる場合，6R となる場合について計算を行った．結果とし
て，装置間距離が小さいときほど相互作用が大きく現れ，その相互作用は回転
効率に対してはプラスに働いていたため，装置同士の干渉を避けて装置同士を

ii

遠く離して設置するよりも，近い距離に設置する方が，装置同士の相互作用に
より効率が上がることが明らかとなった．
第四に， 一対の回転装置に位相差を設定した場合の振る舞いについても検討
するため，片方の装置に位相進みを持たせ，それぞれについて主流の方向を 5
方向に変化させて計算を行った．結果として，距離や主流の方向によって 2 つ
の装置間での相互作用が生じている場合，装置同士の位相差が効率に影響する
ことが確認できた．また，主流の方向によって効率に優位となる位相差がある
ことが確認できた．
最後に，装置を多数設置した場合の計算への拡張性の確認として，装置を 4
つ設置した場合の計算を行った．主流の方向が 0 度方向および 45 度方向の場
合の流れ場を表示したところ，装置間の結合部では異常値のようなものは見ら
れず，問題なく接続できていることが確認できた．結果として，より実際的な
条件としてさらに回転装置を増やした場合の計算や最適配置設計にも本手法が
適用可能であることを示唆し，実際に多くの装置を配置した計算を行うことの
有意性を示した．
本研究では，海流発電における装置の開発・設置に関する先駆けとなる，計
算手法の提案及び基礎的検討を行った．前述の結果から，装置間の相互作用を
考慮した最適な配置が存在することも示唆されるため，今後，本手法をさらに
拡張しより大規模なシミュレーションを行うことで，本研究は海流発電の今後
の発展に大きく寄与することが見込まれる．

iii

Numerical study on interaction of the flow
around multiple Savonius turbines
Abstract
Renewable energy is important as a solution to global warming and energy problems.
Wind energy is a typical example of renewable energy, and many wind power plants and
wind farms have been constructed in many parts of Japan. However, wind power, as
well as solar power, has the disadvantage of being affected by weather conditions. To
ensure a stable energy supply, it is important to increase the number of options for
obtaining renewable energy. One of the options that can cover the disadvantages of
wind and solar power is the use of ocean current energy. The energy of a fluid in motion
is proportional to its density, so the energy of seawater flow, which is approximately
1,000 times denser than air, is significantly greater than that of wind power.
Furthermore, the Kuroshio Current, one of the world's largest ocean currents, flows in
Japan's neighboring waters, and there are many areas with fast tidal currents. The use of
ocean currents can solve the disadvantage of small country with few places to build
wind turbines.
Since ocean currents are slow, there is a possibility of using a Savonius-type turbine,
which is a drag-type device with a simple structure. A Savonius-type turbine consists of
a circular cylinder divided in half by two blades, which are staggered and partially
overlapped. The two blades (or buckets) of the cylinder rotate due to the difference in
drag force received from the flow. When several of these rotating devices are installed
in the sea, they can be assembled into a single unit by connecting them with support
rods, etc. and rotating them in opposite directions, the rotational moments of the two
units will cancel each other out and the overall stability of the device will be improved.
In this case, in order to make the entire device small, the two devices must be installed
close to each other, and the interaction between the rotating devices cannot be ignored.
In this study, numerical simulations are performed to investigate the flow around
multiple independently rotating Savonius rotating devices for application to ocean
current power generation. To perform this simulation, a method for generating a grid for
Savonius-type rotating devices is proposed in this study, which accurately calculates the
flow around multiple rotating devices by combining multiple rotating coordinate system
grids with a stationary coordinate system.
In general, a rotating coordinate system is often used to analyze the flow around a
rotating object. However, when multiple objects rotate independently, it is difficult to
perform calculations in a single rotating coordinate system. However, when multiple

iv

objects rotate independently, it is difficult to calculate in a single rotational coordinate
system. Therefore, the entire computational domain is divided into multiple rectangular
regions that contain a single rotating object. These rectangular regions exchange data
through their respective rectangular edges. A rectangular region is divided into an inner
circular region and an outer rectangular region hollowed out in a circular shape. The
inner circular region uses a rotational coordinate system that matches the rotation of the
rotary device, while the outer region uses a stationary coordinate system. Data is passed
around the circumference between these rotational and stationary coordinate system
regions. By overlapping both regions by one grid, interpolation is performed only in the
circumferential direction. This method reduces computation time significantly and
improves the accuracy of the interpolation. In addition, to generate a grid along the
blade of the Savonius-type rotating device, the internal region of the rotating coordinate
system is divided into several regions. By matching the grids at the boundaries of the
divided regions, the data can be exchanged without interpolation.
In this method, the rotation coordinate system is independent for each device area, so
the rotation direction, rotation speed, etc. can be freely changed for each device. In
addition, this method can be applied regardless of the number of rotating devices
installed. Using the grid generated by the proposed method, calculations were
performed by changing various parameters such as the direction of the mainstream
toward the device, the direction of rotation of the rotating devices, and the distance
between the rotating devices. The following effects on torque and power were verified
in conjunction with analysis of the flow field.
First, in order to compare the differences in torque coefficients between the two
rotating devices depending on the direction of flow, calculations were performed for
three different cases: when the flow strikes the line connecting the axes of the two
rotating devices perpendicularl (0 deg.), when the flow strikes them diagonally (45 deg.),
and when the flow strikes them parallel (90 deg.). As a result, at 0 degrees, there was no
difference between the two devices in the case of 0 deg. flow. In the case of 45 degrees,
the torque coefficient of the device located downstream exceeded that of the upstream
device, and in the case of 90 degrees, the torque coefficient of the device located
downstream was significantly lower.
Second, to verify how the flow changes depending on the direction of rotation when a
pair of rotating devices are placed side by side, a comparison was made between cases
in which the devices rotate in the same direction and cases in which they rotate in
opposite directions.

v

Third, to verify how the efficiency varies depending on the installation distance of the
devices, calculations were performed by changing the distance between the rotating
axes of the rotating devices. As a result, the interaction was larger when the distance
between the devices was smaller, and the interaction had a positive effect on the
rotational efficiency.
Fourth, to verify the effect of a phase difference between a pair of rotating devices,
calculations were performed for one of the devices with a phase advance, and the
direction of the mainstream was changed in five directions. As a result, it was confirmed
that the phase difference between the two devices affects the efficiency when the
interaction between the two devices is caused by the distance and the direction of the
mainstream. In addition, it was confirmed that there is a phase difference that becomes
dominant in the efficiency depending on the direction of the mainstream.
Finally, to confirm the scalability of the calculation when many devices are installed,
we performed the calculation when four devices are installed. When the mainstream
direction was 0 degrees or 45 degrees, no abnormality was observed in the flow field at
the connection of the divided areas, and it was confirmed that they were connected
without any problems. The results suggest that the method can be applied to the
calculation and optimal layout design of more rotating devices for more practical
conditions, and showed the significance of simulating the actual placement of a large
number of devices.
In this study, a computational method to analyze the flow around multiple rotating
devices was proposed and fundamentally examined for the development and installation
of rotating devices for ocean current power generation. The results suggest that there is
an optimal arrangement that takes into account the interaction between devices.
Therefore, this study is expected to make a significant contribution to the future
development of ocean current power generation by further extending this method and
conducting larger-scale simulations.

vi

目次
要旨 ................................................................ i
Abstract ........................................................... iv
第1章

序論 ........................................................ 1

1.1. 研究背景 ..................................................... 1
1.2. 発電用回転装置の形状について ................................. 5
1.3. サボニウス型回転装置及び関連先行研究について ................. 7
第2章

計算領域の設計 ............................................. 10

2.1. モデル化 .................................................... 10
2.2. サボニウス型回転装置用差分格子の生成 ........................ 12
2.3. サボニウス型回転装置用差分格子による計算 .................... 15
2.3.1. 回転領域と静止領域の接続について ......................... 15
2.3.2. 回転領域内部の接続について ............................... 15
2.3.3. 補間精度と計算負荷について ............................... 15
第3章

流れ場の計算方法 ........................................... 17

3.1. 非圧縮性ナビエ・ストークス方程式 ............................ 17
3.2. 基礎方程式 .................................................. 19
3.3. 計算条件 .................................................... 21
3.3.1. 境界条件 ................................................. 21
3.3.2. 計算パラメータ ........................................... 22
3.4. フラクショナルステップ法 .................................... 23
3.5. 差分法 ...................................................... 25
3.5.1. 中心差分 ................................................. 25
3.5.2. 前進差分 ................................................. 25
3.5.3. 後退差分 ................................................. 25
3.5.4. 上流差分法 ............................................... 26
3.6. 一般座標変換 ................................................ 28
3.6.1. 1 次元座標変換 ........................................... 28
3.6.2. 2 次元座標変換 ........................................... 29
第4章

サボニウス型回転装置用差分格子の検証 ....................... 33

4.1. 評価に使用する係数 .......................................... 33
4.2. トルクの算出方法 ............................................ 35

vii

4.3. 流れ場の観察 ................................................ 37
4.3.1. 2 つの装置間の流れ場 ..................................... 37
4.3.2. ブレード重なり領域の流れ場 ............................... 39
4.3.3. 2 つの装置周辺の流れ場 ................................... 41
4.4. パワー係数の検証 ............................................ 42
第5章

回転装置の動特性に対する 各種パラメータの依存性 ............ 44

5.1. 主流の方向についての検討 .................................... 45
5.1.1. 2 つの回転装置周りの流れ ................................. 46
5.1.2. トルク ................................................... 50
5.1.3. 本節のまとめ ............................................. 53
5.2. 回転方向についての検討 ...................................... 54
5.2.1. 2 つの回転装置周りの流れ ................................. 55
5.2.2. トルク ................................................... 60
5.2.3. 本節のまとめ ............................................. 64
5.3. 装置間の距離についての検討 .................................. 65
5.3.1. 流れ場 ................................................... 66
5.3.2. トルク ................................................... 70
5.3.3. 本節のまとめ ............................................. 74
5.4. 装置の回転位相差についての検討 .............................. 75
5.4.1. 流れ場 ................................................... 77
5.4.2. トルク ................................................... 84
5.4.3. パワー係数 ............................................... 89
5.4.4. 本節のまとめ ............................................. 91
5.5. 装置の設置台数を増やす場合についての検討 .................... 92
5.5.1. 流れ場 ................................................... 93
5.5.2. 圧力 ..................................................... 96
5.5.3. トルク ................................................... 99
5.5.4. 本節のまとめ ............................................ 108
第6章

総括 ...................................................... 109

謝辞 .............................................................. 111
参考文献 .......................................................... 112
研究業績 .......................................................... 115

viii

図目次
Fig.1-1 Changes in domestic supply of primary energy from Energy White Paper 2022 Part 2
Chapter 1 .............................................................................................................................. 2
Fig.1-2 Dependence of major countries on fossil energy from Energy White Paper 2022 Part 2
Chapter 1 .............................................................................................................................. 2
Fig.1-3 Domestic supply composition of primary energy and self-sufficiency ratio from Energy
White Paper 2022 Part 2 Chapter 1 ...................................................................................... 3
Fig.1-4 Classification of wind turbine (Source: ........................................................................... 6
Fig.1-5 Characteristics of various wind turbines.......................................................................... 6
Fig.1-6 Savonius turbine .............................................................................................................. 7
Fig. 2-1 Schematic diagram of two Savonius turbines ............................................................... 10
Fig. 2-2 Schematic diagram of four Savonius turbines ............................................................. 11
Fig. 2-3 Computational region of two Savonius turbines (whole) ............................................. 13
Fig. 2-4 Computational region of Savonius turbines, left : outer region (stationary coordinate
system), right : inner region (rotational coordinate system) ............................................... 13
Fig. 2-5 Computational region of four Savonius turbines .......................................................... 14
Fig. 2-6 Overlapping grids between inner and outer regions .................................................... 16
Fig. 2-7 Enlarged detail of overlap grids.................................................................................... 16
Fig. 3-1 Coordinate system ........................................................................................................ 19
Fig. 3-2 1st-Order Accurate Upstream Finite Difference ........................................................... 26
Fig. 3-3 3rd-Order Accurate Upstream Finite Difference .......................................................... 27
Fig. 3-4 2-Dimensional Coordinate Transformation .................................................................. 29
Fig. 4-1 Torque Calculation........................................................................................................ 35
Fig. 4-2 Flow field between two turbines (45 degrees flow, 1600step) ..................................... 37
Fig. 4-3 Flow field between two turbines (45 degrees flow, 1600step) ..................................... 38
Fig. 4-4 Flow field between two turbines (45 degrees flow, 1800step) ..................................... 38
Fig. 4-5 Flow inside the blade (rotational region) ...................................................................... 39
Fig. 4-6 Flow inside the blade (Upper: Whole region, Lower: Close-up of center) .................. 40
Fig. 4-7 Flow field (contour line of pressure, 0 deg. flow) ...................................................... 41
Fig. 4-8 Power coefficient of turbine01 and experimental results ............................................. 42
Fig. 5-1 Diagram of calculation condition: flow direction ......................................................... 45

ix

Fig. 5-2 Flow around two Savonius turbines: 0 degrees flow (θ=1080°) .................................. 46
Fig. 5-3 Flow around two Savonius turbines: 45 degrees flow (θ=1080°) ................................ 47
Fig. 5-4 Flow around two Savonius turbines: 90 degrees flow (θ=598°,648°) .......................... 48
Fig. 5-5 Flow around two Savonius turbines: 90 degrees flow (θ=756°) .................................. 49
Fig. 5-6 The rotation angle dependence of the torque acting on the two blades and the total
value of turbine01 (0 degrees flow) .................................................................................... 50
Fig. 5-7 The rotation angle dependence of the torque of turbine01 and the total value of the two
turbines (0 degrees flow) .................................................................................................... 51
Fig. 5-8 The rotation angle dependence of the torque of the two turbines (45 degrees flow) .... 51
Fig. 5-9 The rotation angle dependence of the torque of the two turbines (90 degrees flow) .... 52
Fig. 5-10 Integrated value of torque with respect to rotation angle (angle of attack: 0,45,90
degrees)............................................................................................................................... 53
Fig. 5-11 Schematic diagram of two Savonius turbines ............................................................. 54
Fig. 5-12 Flow field (0 degrees flow, θ=495°) (a) Same direction (b) Opposite direction ........ 55
Fig. 5-13 Flow field (45 degrees flow, θ=630°) (a) Same direction (b) Opposite direction ....... 56
Fig. 5-14 Flow field (90 degrees flow, Same direction, θ=558,594, 648, 711) .......................... 58
Fig. 5-15 Flow field (90 degrees flow, Opposite direction, θ=558,594, 648, 711) .................... 59
Fig. 5-16 Time history of the torque coefficient (0 degrees flow, same direction ) (a) turbine1
(b)turbine2 .......................................................................................................................... 61
Fig. 5-17 Time history of the torque coefficient (0 degrees flow, opposite direction) (a)
turbine1 (b)turbine2 ............................................................................................................ 61
Fig. 5-18 Time history of the torque coefficient (45 degrees flow, same direction) (a) turbine1
(b)turbine2 .......................................................................................................................... 62
Fig. 5-19 Time history of the torque coefficient (45 degrees flow, opposite direction) (a)
turbine1(b)turbine2 ............................................................................................................. 62
Fig. 5-20 Time history of the torque coefficient (90 degrees flow, same direction) (a) turbine1
(b)turbine2 .......................................................................................................................... 63
Fig. 5-21 Time history of the torque coefficient (90 degrees flow, same direction) (a) turbine1
(b)turbine2 .......................................................................................................................... 63
Fig.5-22 Schematic diagram of two Savonius turbines .............................................................. 65
Fig.5-23 Flow field (0 degrees flow, distance between turbines: 3.1R , θ=1899°) ..................... 67
Fig.5-24 Flow field (0 degrees flow , distance between turbines: 5R , θ=1899°) ....................... 67

x

Fig.5-25 Flow field (45 degrees flow, distance between turbines: 3.1R , θ=1899°) .................. 68
Fig.5-26 Flow field (45 degrees flow, distance between turbines: 3.1R, θ= 1962°) .................. 68
Fig.5-27 Flow field (45 degrees flow, distance between turbines: 5R, θ=1899°) ....................... 69
Fig.5-28 Flow field (45 degrees flow , distance between turbines: 5R , θ=1962°) ..................... 69
Fig.5-29 Time history of the torque coefficient (45 degrees flow, distance between turbines:
3.1R) (a) turbine1, (b)turbine2, (c) turbine1+turbine2 ...................................................... 71
Fig.5-30 Time history of the torque coefficient (45 degrees flow, distance between turbines: 5R)
(a) turbine1(b)turbine2 (c) turbine1+turbine2 .................................................................... 72
Fig.5-31 Schematic diagram of four Savonius turbines ............................................................. 75
Fig.5-32 Phase difference between two turbines........................................................................ 76
Fig.5-33 Flow field (0 degrees flow, phase difference: 0 deg., θ= 1440+ 90, 135) .................. 78
Fig.5-34 Flow field (0 degrees flow, phase difference: 90 deg., θ= 1440+ 90, 135) ................. 79
Fig.5-35 Flow field (45 degrees flow, phase difference: 0 deg., θ= 1440+ 90, 135) .................. 80
Fig.5-36 Flow field (45 degrees flow, phase difference: 90 deg., θ= 1440+ 90, 135) ................ 81
Fig.5-37 Flow field (90 degrees flow, phase difference: 0 deg., θ= 1440+ 90, 135) .................. 82
Fig.5-38 Flow field (90 degrees flow, phase difference: 90 deg., θ= 1440+ 90, 135) ................ 83
Fig.5-39 Time history of the torque coefficient of turbine01 (phase difference: 0 deg.) ........... 85
Fig.5-40 Time history of the torque coefficient of turbine02 (phase difference: 0 deg.) ........... 85
Fig.5-41 Time history of the torque coefficient of two turbines (phase difference: 0 deg.) ...... 85
Fig.5-42 Integrated value of the torque of turbine01 with respect to rotation angle (phase
difference: 0 deg.) ............................................................................................................... 86
Fig.5-43 Integrated value of the torque of turbine02 with respect to rotation angle (phase
difference: 0 deg.) ............................................................................................................... 86
Fig.5-44 Integrated value of the torque of two turbines with respect to rotation angle (phase
difference: 0 deg.) ............................................................................................................... 86
Fig.5-45 Time history of the torque coefficient of turbine01 (phase difference: 45 deg.) ......... 87
Fig.5-46 Time history of the torque coefficient of turbine02 (phase difference: 45 deg.) ......... 87
Fig.5-47 Time history of the torque coefficient of two turbines ( phase difference: 45 deg.) .... 87
Fig.5-48 Integrated value of the torque of turbine01 with respect to rotation angle (45 degrees
flow, with phase difference) ............................................................................................... 88
Fig.5-49 Integrated value of the torque of turbine02 with respect to rotation angle (45 degrees
flow, with phase difference) ............................................................................................... 88

xi

Fig.5-50 Integrated value of the torque of two turbines with respect to rotation angle (45
degrees flow, with phase difference) .................................................................................. 88
Fig.5-51 Power coefficient with flow direction and phase difference between two devices ..... 90
Fig.5-52 Schematic diagram of four Savonius turbines ............................................................. 92
Fig.5-53 Flow field around four turbines (0 degrees flow) ........................................................ 94
Fig.5-54 Flow field around four turbines (45 degrees flow) ...................................................... 95
Fig.5-55 Contour line of pressure around four turbines (0 degree flow) ................................... 97
Fig.5-56 Contour line of pressure around four turbines (45 degrees flow) ................................ 98
Fig.5-57 Time history of the torque coefficient (Turbine01, 0 degrees flow) .......................... 100
Fig.5-58 Time history of the torque coefficient (Turbine01, 45 degrees flow) ........................ 100
Fig.5-59 Time history of the torque coefficient (Turbine01) ................................................... 101
Fig.5-60 Total value of the Torque Coefficient ( Turbine01) ................................................... 102
Fig.5-61 Time history of the torque coefficient (Turbine01) ................................................... 103
Fig.5-62 Total value of the Torque Coefficient ( Turbine01) ................................................... 103
Fig.5-63 Time history of the torque coefficient (0 degrees flow) ............................................ 105
Fig.5-64 Time history of the torque coefficient (45 degrees flow) .......................................... 105
Fig.5-65 Time history of the torque coefficient (0 degrees flow) ............................................ 106
Fig.5-66 Time history of the torque coefficient (45 degrees flow) .......................................... 106
Fig.5-67 Total value of the torque coefficient .......................................................................... 107
Fig.5-68 Total value of the torque coefficient of four turbines ................................................ 108

表目次
Table 1

Average value of torque coefficient of two turbines.................................................... 73

Table 2

Total value of power coefficient with fixed phase difference..................................... 90

xii

第1章 序論
1.1.

研究背景

現在の我々の生活はエネルギーに支えられて成り立っている．世界のエネル
ギー消費量は産業および経済の発展とともに増加し続けており，主要な資源で
ある化石燃料の有限性の問題やエネルギー生産時の環境への影響の問題等は地
球規模の大きな課題となっている．異常気象や気候変動の原因となる化石燃料
由来の二酸化炭素の削減は喫緊の課題である．人間活動が引き起こす地球温暖
化を防ぐこと及びこれによって生じる問題を解決することを目的として 1992
年に国連気候変動条約（United Nations Framework Convention on Climate Change,
UNFCCC）が国連で採択された．この条約に基づき，1995 年から毎年，気候変
動枠組条約締約国会議（Conference of the Parties, COP ）が開催されており，各
国が国連気候変動条約に基づく気候変動対策を協議し，共通の方針を策定して
いる．世界各国の温室効果ガス削減目標は，国や地域によって異なるが，日本
は 2030 年度に温室効果ガスを 2013 年度から 46％削減することを目指すこと，
さらに 50%の高みに向け挑戦を続けることを表明している[1]．2030 年に向け
た各国目標は，アメリカ合衆国 50～52%削減（2005 年比），中国 60～65％削減
（2005 年比），フランス・ドイツ・イタリア・欧州連合（EU）55%以上削減
（1990 年比）等である．EU は，各国が一体となって取り組むことで，温室効
果ガス削減を実現しようとする地域的な取り組みを進めている．
主な温室効果ガスの発生原因として，石油や石炭などの燃料を使用したエネ
ルギー生産，工業製品や建設材料の生産，畜産や農業，森林伐採や森林破壊，
建設や道路建設による土地利用の変化等があるが，日本における温室効果ガス
の 9 割はエネルギー起源の二酸化炭素であり，そのうちの 50％が発電時の排出
に起因するものである[2]． 1960 年代以降急速に増大した日本のエネルギー供
給は国産石炭から中東地域で生産される石油へと変化し，1970 年代の石油危機
以降，石油に代わるエネルギーとして原子力，天然ガス，石炭の導入を進めた
結果，エネルギー源の多様化が図られた．しかし，温室効果ガスを排出する化

１

石エネルギー依存度は 88.3%（2019 年）となっており，他の主要国と比較して
高い状況となっている（Fig.1-1, Fig.1-2）[2]．
【第211-3-1】一次エネルギー国内供給の推移

（注 1）
「総合エネルギー統計」は，1990 年度以降，数値について算出方法が変更されている．
（注 2）
「再生可能エネルギー等（水力除く）
」とは，太陽光，風力，バイオマス，地熱等のこと
（以下同様）
．
資料：資源エネルギー庁「総合エネルギー統計」を基に作成

Fig.1-1 Changes in domestic supply of primary energy from Energy White Paper 2022 Part 2
Chapter 1
【第 211-3-2】主要国の化石エネルギー依存度（2019 年）

(注)化石エネルギー依存度(%)＝(一次エネルギー供給のうち原油・石油製品，石炭，天然ガス
の供給)/(一次エネルギー供給)×100．
資料:IEA「World Energy Balances 2021 Edition｣を基に作成

Fig.1-2 Dependence of major countries on fossil energy from Energy White Paper 2022 Part 2
Chapter 1

2

【第 211-4-1】一次エネルギー国内供給構成及び自給率の推移

(注 1) IEA は原子力を国産エネルギーとしている．
(注 2)エネルギー自給率(%)＝国内産出/一次エネルギー供給×100．
出典: IEA「World Energy Balances 2020 Edition｣，資源エネルギー庁「総合エネルギー統
計」を基に作成

Fig.1-3 Domestic supply composition of primary energy and self-sufficiency ratio from
Energy White Paper 2022 Part 2 Chapter 1

1980 年代からは原子力の活用も進められ，エネルギー国内供給構成に占める割
合が増えてきたが，2011 年に発生した東日本大震災とその後の原子力発電所の
停止により，原子力に代わる発電燃料として天然ガスや石炭，再生可能エネル
ギーの割合が増加した（ Fig.1-3 ） [2] ．そのうち，液化天然ガス(Liquid Natural
Gas, LNG)は石油や石炭といった化石燃料と比べて燃焼時の二酸化炭素排出量
が少なく，液化プロセス中に不純物が除去されるため硫黄酸化物やばい煙も発
生しないクリーンなエネルギーであり，現在のエネルギー事情にかなったエネ
ルギー源として重要性を増しつつある．日本に輸入されている LNG は，オー
ストラリアやマレーシア，ロシア，ブルネイ，インドネシアといったアジア大
洋州その他の地域からの輸入が約 7 割（71.4％）を占める．しかし，LNG 生産
の主要国であるロシアが 2022 年 2 月にウクライナに侵攻したことにより，世界
の LNG 市場に多大な影響が生じている．
以上のような状況から，再生可能エネルギーの利用は以前にも増して重要に
なっている．自然由来の再生可能エネルギーを効率的に得る取り組みは進めら
れており，中でも風力エネルギーは再生可能エネルギーの代表格であり，多く
の風力発電所やウィンドファームが日本各地で建設されている．また，太陽エ
ネルギーを利用して電力を生み出す太陽光発電ファームの建設も進んでいる．
風力発電や太陽光発電は，地球温暖化や大気汚染を招く石油や炭素を使用する
発電よりも，環境負荷が少ないという特徴がある一方，天候に左右されやすい

3

という欠点があり，建設のための土地利用にも課題が多い．エネルギーの安定
供給のためには，再生可能エネルギーの獲得方法を増やし，選択肢を増やして
いくことが重要である．その一つで風力や太陽光の欠点をカバーできるものと
して，海流エネルギーの利用がある．運動する流体が持つエネルギーはその流
体の密度に比例するため，空気の密度の約 1000 倍である海水の流れが持つエ
ネルギーは，文字通り風力のエネルギーよりも桁違いに大きい．さらに日本に
は近海に世界最大級の海流である黒潮が流れているほか，潮流の速い海域も多
く存在する．そのため，狭い国土で風車を建設できる場所が少ないという風力
発電のデメリットを克服することができる．
海流は低速であるため抗力型で構造が簡単なサボニウス型回転装置[3]が利用
できる可能性がある[4]．本研究では海流発電への適用を想定し，サボニウス型
回転装置の動特性を数値シミュレーションにより解析する．

4

1.2.

発電用回転装置の形状について

風車や水車のような発電用回転装置の形状は流れの向きと回転軸の関係から
水平軸型と垂直軸型の 2 種類に分類される（Fig.1-4）[5]．水平軸型は流れの方
向に対して回転軸が平行になっているもので，尾翼などの働きでその回転軸を
流れの向きと同じ方向に制御する必要がある．垂直軸型は流れの方向に対して
回転軸が垂直になっているもので，流れの向きに無関係に回転することが可能
である．また，動作する力の原理から揚力型と抗力型に分類される．揚力型は
物体が流体から受ける揚力を利用するもので，流速より速く回転できるという
特徴があるが，トルクは小さい．代表例として全国各地に設置されているプロ
ペラ型風車がある．抗力型は物体が流体から受ける抗力を利用するもので，流
速より速く回転できないがトルクが大きいという特徴がある（Fig.1-5）[6]．サ
ボニウス風車やクロスフロー風車が代表例である．
風車の回転速度は変速機を用いて変化させることが可能であるが，エネルギ
ーロスが大きい．したがって，発電には高速回転する風車を用いるのが効率的
であるため，現在風力発電ではプロペラ型が主流になっている．それに対して
海流は流速が小さいため，揚力型は不向きである．それとともに，海中でプロ
ペラを高速回転させると，キャビテーションが発生し，著しいエネルギーロス
があるだけでなく回転体にもダメージを与えるという問題もある．したがって，
海流発電には抗力型が適切であると考えられる．
以上のような背景を踏まえて，本報告では，海流発電の実用化に向け，抗力
型の回転装置であるサボニウス型に着目した．

5

Fig.1-4 Classification of wind turbine

Fig.1-5 Characteristics of various wind turbines

6

1.3. サボニウス型回転装置及び関連先行研究について
サボニウス型回転装置は Fig.1-6 に示すように，縦方向に置いたドラム缶の
ような中空の円筒を軸を含む面で 2 つに割って，それらを重なりをもつように
横方向にずらした形状をした抗力利用の垂直軸風車である[3]．フィンランド人
技師 Savonius によって考案され 1924 年に特許がとられているため，サボニウ
ス風車と呼ばれる．サボニウス風車で重なり部分をなくした場合は，上から見
るとアルファベットの S の形をしているため特に S 字型風車と呼ばれる．

Fig.1-6 Savonius turbine

サボニウス型回転装置は元々風車として発明されたため，風力エネルギーの
分野において理論的および実験的に様々な研究が行われてきた．サボニウス型
回転装置の形状に関する研究として，ブレードのオーバーラップや相対するブ
レードの間隔，ブレード形状などの諸因子の影響を調べたもの[10][11][12]，円
弧の数の影響を調べたもの[13]，有限体積法を用いて調べたもの[14]，逆向きの
トルクの発生を抑えるため縦方向にねじりを加えたもの[15] 等がある．また，
同じ円弧の組み合わせではない特殊な形状を用いたものとして，抗力を向上さ
せるためにタンデムブレードを追加した形状をデザインしたもの[16]，形状最
適化ソルバーを用いて設計したもの[17] がある．さらに，サボニウス型回転装
置を縦方向に重ねて効率向上を狙った研究も行われている[18][19]．一方，サボ
ニウス型回転装置は 2 枚のブレードに当たる流れの圧力差によって回転が生じ
るため，回転装置そのものの設計ではなく，回転装置上流に変流板を置くこと

7

により回転装置周辺の流れを制御することによって効率向上を図った研究も行
われている[20][21][22][23]．
これらの研究事例はいずれも単体のサボニウス回転装置の効率を向上させる
ことに焦点を当てていた．複数のサボニウス回転装置を対象とした研究では，
装置の位置関係や距離によっては効率が向上する条件が存在することを実験に
より見出したもの[24]，また風の流れを可視化する手法として粒子画像流速測
定法を用い，配置や回転位相差の影響を調査した実験もある[25]．近年では回
転装置を 2 つあるいは 3 つ並べた場合について数値計算を用いて検証し，風力
発電における最適な配置を模索した研究も行われている[26][27] ．また，海流
発電を想定して複数の垂直軸型回転装置を対象としたものがあるが[28]，サボ
ニウス型の特徴であるブレードのオーバーラップがない S 字型回転装置を対象
としている．
サボニウス型回転装置は，見かけは簡単な形状であるが，ブレードで受けた
流れの一部は重なりの隙間を通ってもう一方のブレードに流れ込み，回転装置
外へと流出するが，ブレードの隙間を通らずにブレードにあたってそのまま回
転装置外へ出る流れもある．2 枚のブレードは流れを受けて力がかかるが，流
れに対して凸面のブレードと凹面のブレードの受ける力の差により，風車は回
転する．このような複雑な流れを解析するためには回転装置内の形状を考慮し
て領域を分割する必要がある．
発電用の回転装置の性能を見積もる上では，その装置が回転しているときの
まわりの流れを調べることは必要不可欠である．最終的には模型を作って直接
トルクを測定するとしても，流れを十分に理解した上で，系統的に回転装置の
形を変化させていくのが効率がよい．そのような場合には数値シミュレーショ
ンが有用になる．
流体シミュレーションでは基礎方程式であるナビエ・ストークス方程式を，
数値的に近似的にコンピュータを使って解く．ナビエ・ストークス方程式は非
線形の連立偏微分方程式であり，代表的な数値解法として差分法と有限要素法
がある．後者は通常，計算領域を（２次元計算では）三角形の要素に分割する．
三角形であることから，複雑な領域でも要素分割が容易であることが最大の利
点である．しかし差分法に比べて計算時間がかかるとともに，ナビエ・ストー
クス方程式の非線形性に由来する計算不安定性を回避するための方法が使いに
くいため，特に実際の風車で想定されるレイノルズ数に対して適用が困難にな

8

る．差分法では，通常は計算領域を差分格子とよばれる四辺形の格子に分割す
る．形状表現能力は有限要素法に劣るが，計算時間が少なくてすむとともに高
レイノルズ数流れに対応しやすいという利点がある．
以上のことを踏まえて本研究では，シミュレーションに適した差分格子を用
いて，今回着目する流れの支配方程式である非圧縮性ナビエ・ストークス方程
式を，差分法を用いて近似的に解くことにより流れ場の数値シミュレーション
を行う．
実際にサボニウス型回転装置を海中に設置する場合，単独で設置すると装置
全体に回転力が加わり，静止させるのが難しい．しかし，2 台の装置を近接し
て設置し支持棒などでつないで，互いに逆方向に回転するようにすれば回転を
打ち消すことができるため，安定な設置が望める．装置周りの流れは相互に作
用するため，その影響を見積もることが大切になる．そこで，本研究では主と
して 2 台の逆回転しているサボニウス型回転装置に着目して装置の軸に垂直な
断面内における２次元流れの数値シミュレーションを行った．このとき 2 つの
回転装置の中心を結ぶ線に対して流れが当たる角度によって流れ場が大きく変
化すると予想される．そのため，流れが上記の線に対し平行な場合，垂直な場
合，45 度の角度をなす場合について計算を行った．

9

第2章
2.1.

計算領域の設計

モデル化

Fig. 2-1 に示すように，一定の角速度で逆回転する 2 つの同じ大きさのサボニウス型
回転装置（turbine01, turbine02）を配置した場合を想定する．

Fig. 2-1 Schematic diagram of two Savonius turbines

対象とするサボニウス型回転装置は，装置の径𝑑と重なり部分の長さ𝑠の比である
オーバーラップ比𝑠⁄𝑑 を 0.175 とし，互いに逆方向に回転する場合及び同方向に回転
する場合の計算を行った．
そして，装置の回転軸同士をつないだラインを y 軸に取り，それに垂直な x 軸との
なす角を，0 度，45 度，90 度，135 度，180 度とするような 5 方向の流れがあたるとし
て，計算を行った．

10

また，2 つの装置の回転軸間の距離を装置半径 R の 3.1 倍，5 倍，6 倍程度の 3 種類
にとって計算を行った．
さらに，両装置の回転の位相差を 0 度，45 度，90 度，135 度の 4 種類に設定して計
算を行った．
加えて，Fig. 2-2 に示すように，上述の 2 つの回転装置の組を 2 組横に並べ，計 4 つ
（turbine01, turbine02, turbine03, turbine04）を配置した場合も想定する．各回転装置間の上
下左右の距離は装置半径 R の 3 倍程度にとり，0 度，45 度の 2 方向の流れがあたると
して，計算を行った．

Fig. 2-2 Schematic diagram of four Savonius turbines

11

2.2.

サボニウス型回転装置用差分格子の生成

差分法で複雑な領域を格子分割する場合に通常とられる方法として，単一の格子で
分割するのではなく，もとの領域をいくつかの小領域に分割してそれらをつなぎ合わ
せるという方法がある．このとき領域の境界では格子点が一致していることが望まし
い．境界に一致させるのが困難な場合には，2 つの領域を，重なりをもつように重ね
合わせて，一方の境界での物理量を他方の領域の隣接格子点における物理量から補間
するという手続きがとられる．この場合も，補間の精度をあげるためには一方向の格
子線は両領域で一致しているのが望ましい．
一般に，回転物体まわりの流れを解析する場合，物体とともに回転する回転座標系
を使うことが多い．しかし複数の物体が回転するときには回転座標系のとり方が問題
になる．本研究では，流れの領域を回転装置に近接する回転領域と回転しない外部領
域とに分け，さらに回転領域をサボニウス型回転装置の形状の特徴を考慮して，ブレ
ード内部を流入／流出部分と重なり部分に分割する．このサボニウス型回転装置１つ
を含む装置領域を装置台数分接続し，全体の計算領域とすることで，複数のサボニウ
ス型回転装置まわりの流れの解析を可能とする．
この手法により回転装置が 2 つの場合に生成した回転装置領域の格子の例を Fig. 2-3,
Fig. 2-4 に示す．回転装置一つを含む個々の装置領域は，5 つの部分領域から成り，各
領域は入れ子状になっている．これらの領域は回転装置に近接する外縁が円形の回転
座標系の内部領域（Fig. 2-3 C, C’）と，内縁が円形の静止座標系の外部領域（Fig. 2-3 A,
B 及び A’, B’）に大別でき，内部領域の外縁と外部領域の内縁は共通の円とし，1 格子
分重ねて接合する．
内部領域は，サボニウス型装置のブレード内部である流入／流出領域（Fig. 2-4 D）
，
ブレード重なり領域（Fig. 2-4 E）及び外側の静止座標系領域と接する回転領域（Fig.
2-4 C）に分割され，入れ子状になっている．外部領域は，内部領域に接する内縁が
円形の接続領域 B, B’，および接続領域 B, B’部分を欠いた凹型の外部領域 A, A’である．
このように分割した各領域の境界部分では，各回転装置の外部領域 A, A’の接合部
（Fig. 2-3 での辺 FG）では格子を一致させている．また，A-B 間, A’-B’ 間の境界部分に
おいても格子を一致させている．さらに，入れ子状になっている内部領域の C-D 間
及び D-E 間では格子を一致させている．そのため，物理量の受け渡しで問題となる
のは回転座標系の内部領域と静止座標系の外部領域のつなぎ目である B-C 間のみで
ある．この境界を共通の円とし，1 格子分重ねて各つなぎ目を精度よくつなげて補間

12

する手法により，解析を可能としている．この補間手法の詳細は次節 2.3で述べる．

F

G

Fig. 2-3 Computational region of two Savonius turbines (whole)

Fig. 2-4 Computational region of Savonius turbines,
left : outer region (stationary coordinate system), right : inner region (rotational coordinate system)

13

この格子生成法を用いると，回転装置の台数を増やす場合には個々の装置領域を増
やすことにより対応可能である．回転装置を 4 台にした場合の計算格子の生成例を
Fig. 2-5 に示す．各回転装置の外部領域の接合部（Fig. 2-5 での辺 HI及び辺 JK）では格
子を一致させている．

J
A1

A2

H

I

A3

A4

K
Fig. 2-5 Computational region of four Savonius turbines

14

2.3. サボニウス型回転装置用差分格子による計算
前節のようにして生成したサボニウス型回転装置用差分格子では回転領域と静止領
域の接続部分によって，以下のように各領域の境界部分を精度よくつなげて計算を行
う．
2.3.1. 回転領域と静止領域の接続について
回転領域（内部領域）と静止領域（外部領域）は Fig. 2-4 で示したように共通の円
の 1 格子分を重ねることにより，各領域間のデータの受け渡しを行う．
2.3.2. 回転領域内部の接続について
回転領域内部は Fig. 2-4 右のように 3 つの領域に分割しているが，各領域の境界部
分では格子を一致させているため補間は不要である．
2.3.3. 補間精度と計算負荷について
一般に，格子が一致しない 2 つの領域において，一方の境界上の格子点の物理量の
値を他方から決めるとき，2 次元の場合は隣接した 4 点からの補間が必要になる．補
間では誤差が避けられないため，補間が少ないほど良い．
Fig. 2-6 は Fig. 2-3 右の内部領域の拡大図であり，領域の接続部分の格子が回転する
様子を示している．また，Fig. 2-7 は Fig. 2-6 をさらに拡大し格子の詳細を示したもの
である．これらの図に示すように内部領域 C の回転に伴って B と C の共通の格子は
周方向にずれていく．周と交差する方向の格子はどちらの領域でも常に一致している
ため，周方向だけの線形補間によって，回転領域境界（Fig. 2-7 での点 a） 上の物理量
は非回転領域境界の一つ内側の格子点（同点 b および点 c） の値から，また，非回転
領域境界（同点 a'） 上の物理量は回転領域境界の一つ内側の格子点（同点 b' および点
c'） の値から決めることができる．このように提案格子では隣接した 2 点からの線形
補間だけで済むことから，通常の方法よりも精度が良いと考えられる．
また，回転等によって格子点の座標が時間的に変化する場合には，毎回補間をする
必要があり，隣接点を探すための計算負荷が大きくなる．本手法では，前述のように
周方向の隣接した 2 点を用いるため，計算時間の点でもメリットが大きい．
さらに，回転座標系のみを用いた場合には，本論文中の基礎方程式 Eq.(3.12)（3.2 節
にて後述）の中に X と Y が含まれていることからもわかるように，領域を大きくと

15

ると，X と Y の絶対値が非常に大きくなるため計算が難しくなる．本手法であれば回
転座標の領域を小さくとれるため，その点でも有利である．
以上のような理由から，本手法は，回転装置が多数ある場合においても，精度を保
ちつつ計算負荷を抑えて計算することができると言える．

B
C

D

D

E
rotation

Fig. 2-6 Overlapping grids between inner and outer regions

Fig. 2-7 Enlarged detail of overlap grids

16

第3章

流れ場の計算方法

3.1. 非圧縮性ナビエ・ストークス方程式
多くの液体の流れのように流体が縮まないとみなせる場合，あるいは気体の流れで
も流速が音速に比べて小さい場合は，流体の運動は以下の非圧縮性ナビエ・ストーク
ス方程式に支配される．
連続の式：
∇⋅𝑉 =0

(3.1)

𝜕𝑉
1
𝜇
+ (∇ ∙ 𝑉) ⋅ 𝑉 = − ∇𝑝 + ∆𝑉
𝜕𝑡
𝜌
𝜌

(3.2)

運動方程式：

ここで，∇:勾配演算子，𝑉:速度ベクトル，𝑡:時間，𝜌:密度，𝑝:圧力，𝜇:粘性率，
∆(= ∇2):ラプラシアンを表す．粘性率は場所によらず一定であるとした．
Eq.(3.1)の連続の式であるが，対象の流体を非圧縮性と仮定すると，左辺は流体があ
る領域から流出する量を表すため，その値は 0 でなければならない．つまり，質量保
存を表している．
次に Eq.(3.2)の運動方程式はニュートンの運動方程式を流体に適用し両辺を質量で
割ったものである．右辺の第１項は圧力差による力を表している．また，流体は粘性
をもっているので拡散があるが，それを表すのが第２項で𝜇 ⁄𝜌は動粘性係数である．
これらの式は代表的なスケールを用いて無次元化することにより，様々な場合 の
取り扱いが容易になる．すなわち，流れの代表的な長さを𝐿，流れの代表的な速度を
𝑈，代表速度から得られる動圧(1⁄2)𝜌𝑈 2 ，および𝐿と𝑈からつくられる代表時間を用
いて

17

𝑥 = 𝐿𝑥̃,

𝑉 = 𝑈𝑉̃ , 𝑡 = (𝐿⁄𝑈)𝑡̃,

𝑝 = 𝜌𝑈 2 𝑝̃

(3.3)

とおけば，𝑥̃，𝑉̃ ，𝑡̃，𝑝̃ は無次元量となる．Eq.(3.3) を Eq.(3.1), (3.2) に代入すると流れ
場を支配する無次元方程式は以下の 2 式となる．
̃ ⋅ 𝑉̃ = 0
∇

(3.4)

𝜕𝑉̃
1
̃) ⋅ 𝑉̃ = −∇
̃𝑝̃ +
+ (𝑉̃ ∙ ∇
∆̃𝑉̃
𝜕𝑡
𝑅𝑒

(3.5)

̃は 2 次元の場合
ここで，∇
𝜕
𝜕
̃2
+𝑗
, ∆̃= ∇
𝜕𝑥̃
𝜕𝑦̃
で定義される．Eq.(3.5) において Re はレイノルズ数とよばれ
̃= 𝑖
∇

𝑅𝑒 =

𝜌𝑈𝐿
𝜇

(3.6)

で 定 義 さ れ る 無 次 元の パ ラ メ ー タ で あ る ． 𝜇 ⁄𝜌 を 𝜈 （ 動 粘 性 率 ）と し て
𝑈𝐿
𝑅𝑒 =
𝜈
と表記することも多い．無次元方程式 Eq. (3.4), (3.5)はパラメータがレイノルズ数 Re た
だ一つ現れるため，非圧縮性流れは外力がない場合，レイノルズ数に応じて決定され
る．すなわち，代表長さ𝐿，代表速度𝑉，流体の動粘性率𝜈（または𝜇 ⁄𝜌）から決定さ
れる．Re が同じ値である幾何学的に相似な領域での 2 つの流れ場は，同じ無次元方
程式に支配されるので，同じ無次元解をもつ．このことを 2 つの流れ場は力学的に相
似であるという．相似とは，滑らかに流れたり渦が発生したりといった現象が共通し
て起こり，一方の流れの寸法を拡大／縮小してももう一方の流れに一致するというこ
とである．力学的相似の概念により，流れの様子を考える際は気体か液体かを区別す
る必要はない．その場合は両方を含む概念である「流体」という言葉を使う．今後，
特に断らない限り，方程式は無次元形式で書かれているとし，無次元量を表す「 ˜ 」
は省略して
∇⋅𝑉 =0

(3.7)

𝜕𝑉
1
+ (𝑉 ∙ ∇) ⋅ 𝑉 = −∇𝑝 +
∆𝑉
𝜕𝑡
𝑅𝑒

(3.8)

のように記す．

18

3.2. 基礎方程式
3.1 節で述べた非圧縮性ナビエ・ストークス方程式は静止座標系における運動方程
式であり，V は静止座標系での速度である．装置近傍の領域では，回転装置に固定さ
れた格子上での物理量を取り扱うため，空間に関する微分は静止座標よりも回転座標
で表現する方が扱いやすい．

𝜔: angular velocity
Fig. 3-1 Coordinate system

静止座標系での座標値を(𝑥, 𝑦)，速度成分を(𝑢, 𝑣)とすると，静止座標系と回転座
標系における位置(𝑋, 𝑌)及び速度(𝑈, 𝑉)との関係は，静止状態から図った角度を
𝜃(= 𝜔𝑡，𝜔: 装置の回転角速度) とすると以下のように表される．
𝑥 = 𝑋 cos 𝜃 + 𝑌 sin 𝜃

𝑋 = 𝑥𝑐𝑜𝑠𝜃 − 𝑦𝑠𝑖𝑛𝜃

𝑦 = −𝑋 sin 𝜃 + 𝑌 cos 𝜃

𝑌 = 𝑥𝑠𝑖𝑛𝜃 + 𝑦𝑐𝑜𝑠𝜃

𝑢 = 𝑈𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑉𝑠𝑖𝑛𝜃 + 𝜔𝑦

𝑈 = 𝑢𝑐𝑜𝑠𝜃 − 𝑣𝑠𝑖𝑛𝜃 − 𝜔𝑌

𝑣 = −𝑈𝑠𝑖𝑛𝜃 + 𝑉𝑐𝑜𝑠𝜃 − 𝜔𝑥

𝑉 = 𝑢𝑠𝑖𝑛𝜃 + 𝑣𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝜔𝑋

流体に関する基礎方程式として，静止座標系と回転座標系における連続の式とナビ
エ・ストークス方程式を用いる．静止座標系および回転座標系で表した 2 次元での連
続の式及び非圧縮性ナビエ・ストークス方程式は以下の通りである．

19

連続の式（静止座標系）：
𝜕𝑢 𝜕𝑣
+
=0
𝜕𝑥 𝜕𝑦

(3.9)

非圧縮性ナビエ・ストークス方程式（静止座標系）：
𝜕𝑢
𝜕𝑢
𝜕𝑢
𝜕𝑝
1 𝜕 2𝑢 𝜕 2𝑢
+𝑢
+𝑣
=−
+
(
+
)
𝜕𝑡
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑥 𝑅𝑒 𝜕𝑥 2 𝜕𝑦 2

(3.10)

𝜕𝑣
𝜕𝑣
𝜕𝑣
𝜕𝑝
1 𝜕 2𝑣 𝜕 2𝑣
+𝑢
+𝑣
=−
+
(
+
)
𝜕𝑡
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑦 𝑅𝑒 𝜕𝑥 2 𝜕𝑦 2
連続の式（回転座標系）：
𝜕𝑈 𝜕𝑉
+
=0
𝜕𝑋 𝜕𝑌

(3.11)

非圧縮性ナビエ・ストークス方程式（回転座標系）：
𝜕𝑈
𝜕𝑈
𝜕𝑈
𝜕𝑝
1 𝜕 2𝑈 𝜕 2𝑈
+𝑈
+𝑉
− 𝜔2 𝑋 + 2𝜔𝑉 = −
+
(
+
)
𝜕𝑡
𝜕𝑋
𝜕𝑌
𝜕𝑋 𝑅𝑒 𝜕𝑋 2 𝜕𝑌 2

(3.12)

𝜕𝑉
𝜕𝑉
𝜕𝑉
𝜕𝑝
1 𝜕 2𝑉 𝜕 2𝑉
2
+𝑈
+𝑉
− 𝜔 𝑌 − 2𝜔𝑈 = −
+
(
+
)
𝜕𝑡
𝜕𝑋
𝜕𝑌
𝜕𝑌 𝑅𝑒 𝜕𝑋 2 𝜕𝑌 2
これらの基礎方程式を一般座標に変換した上で，フラクショナルステップ法[30]で解
く．

20

3.3. 計算条件
3.3.1. 境界条件
以下は静止座標系での表記であり，回転部分はプログラム上では回転座標系に変換
している．
（１） 遠方境界：一様流
回転装置から充分な遠方では一様な流れであることを仮定した．
𝑢 = 1.0，𝑣 = 0.0
圧力はすべての境界において，法線方向への微分𝜕𝑝/𝜕𝑛をゼロとした．
𝜕𝑝
𝜕𝑝
= 0.0，
= 0.0
𝜕𝑥
𝜕𝑦

（２） 回転装置上：粘着条件
装置ブレード上では，周りの流体はブレード上と一緒に回転する．すなわち，装置
ブレード上の流体の相対速度は 0 になり，絶対速度はブレードの回転速度に等しい．
よって静止座標系に対し，以下のように表される．
𝑢 = ω𝑦，𝑣 = −ω𝑥
圧力はすべての境界において，法線方向への微分をゼロとした．
𝜕𝑝
= 0.0
𝜕𝑛
ただし，𝜕/𝜕𝑛 は境界上での法線方向微分を表す．
（３） 回転領域と静止領域の境界
回転領域と静止領域の境界では補間によって圧力と速度を決めた．ただし速度を補
間する場合には回転系と非回転系の速度の変換が必要になる．
（４） 各装置領域の境界
２つの外部領域の接触面では同じ種類の格子を用いているため，物理量はそれぞれ
ひとつ内側の格子点の平均値をとった上で接触面の格子の位置に合わせて補間して決
めた．

21

3.3.2. 計算パラメータ
（１） 装置の周速比
装置の周速比 𝜆 （定義は 4.1 節）は一回の計算実行中は固定とする．主として 𝜆 =
0.5 として実行した．
（２） 流れの方向
装置の中心を結ぶ線に対し，迎角 0 度，45 度，90 度，135 度，180 度で当たってい
るとした．
（３） レイノルズ数
レイノルズ数は格子の解像度を考慮して 20000 とした．
（４） 計算時間
計算時間は装置 10 回転分とした．

22

3.4. フラクショナルステップ法
ここでは本研究で用いたフラクショナルステップ法[30]について説明する．
フラクショナルステップ法は，中間速度（仮の速度）を導入することにより，圧力
項と粘性項とを分離して解く分離型解法の一つである．
まず，Eq.(3.8) の Navier-Stokes 方程式から圧力項（右辺第１項）を取り除いた式を考
える．この式の時間微分を前進差分（3.5.2 にて後述）を用いて近似すると
𝑣∗ − 𝑣𝑛
1
+ (𝑣 𝑛 ∙ ∇) ⋅ 𝑣 𝑛 =
∆𝑣 𝑛
𝛥𝑡
𝑅𝑒

(3.13)

となり
𝑣 ∗ = 𝑣 𝑛 + 𝛥𝑡 {−(𝑣 𝑛 ∙ ∇) ⋅ 𝑣 𝑛 +

1
∆𝑣 𝑛 }
𝑅𝑒

(3.14)

という式が得られる．この方程式を解いて得られる速度は，圧力項を無視したため
物理的に正しい速度にはなっていない．すなわち，左辺は仮の速度という意味で ∗印
を付けている．Eq.(3.8) を Eq.(3.13) 同様に離散化すると，
𝑣 𝑛+1 = 𝑣 𝑛 + 𝛥𝑡 {−(𝑣 𝑛 ∙ ∇) ⋅ 𝑣 𝑛 − ∇𝑝 +

1
∆𝑣 𝑛 }
𝑅𝑒

(3.15)

Eq.(3.15) から Eq.(3.14) を辺々引いて整理すると
𝑣 𝑛+1 = 𝑣 𝑛 − 𝛥𝑡∇𝑝

(3.16)

∇ ⋅ 𝑣 𝑛+1 = ∇ ⋅ 𝑣 ∗ − 𝛥𝑡∆𝑝

(3.17)

Eq.(3.16) の両辺の発散をとると

連続の式 Eq.(3.7) より，左辺 ∇ ⋅ 𝑣 𝑛+1 =0 となるため，
∇ ⋅ 𝑣∗
∆𝑝 =
𝛥𝑡

(3.18)

圧力はこの Eq.(3.14) の仮の速度 𝑣 𝑛 を用いて，Eq.(3.18) のポアソン方程式を解くこと
により求める．
さらに，次の時間ステップでの速度 𝑣 𝑛+1 は，求めた圧力および仮の速度 𝑣 𝑛 から
Eq.(3.16) により決定する．

23

以上を整理すると，Eq.(3.14) から，ある時間ステップでの速度を用いて仮の速度
𝑣 ∗ を求め，次に Eq.(3.18) のポアソン方程式により圧力を計算し，仮の速度 𝑣 𝑛 と圧
力 𝑝 から，Eq.(3.16) を用いて次の時間ステップでの速度 𝑣 𝑛+1 を得る．
初期条件として 𝑣 0 を与えれば，この手順を時間発展的に繰り返すことで，
Eq.(3.14)

𝑣0 →

Eq.(3.18)

𝑣∗ →

Eq.(3.16)

𝑝0 →

Eq.(3.14)

𝑣1 →

Eq.(3.18)

𝑣∗ →

Eq.(3.16)

𝑝1 →

⋯

として各時刻 n における速度 𝑣 𝑛 と圧力 𝑝𝑛 を順次解くことが可能である．

24

3.5. 差分法
流体の挙動を表す支配方程式は，連続な時間と空間の変数を独立変数とする偏微分
方程式である．これをコンピュータで計算するためには，一般に時間・空間領域にお
ける有限個の点上での解を未知パラメータとする代数方程式に変換する必要がある．
離散化手法の主なものとして，空間の離散化に対しては有限差分法（差分法）
・有限
要素法・有限体積法・粒子法などがある．時間の離散化に対しては差分法が一般的に
用いられる[31]．
本研究では，フラクショナルステップ法により得られた偏微分方程式を，差分法を
用いて計算した．非線形項は３次精度の上流差分を，その他には中心差分用いた．本
節では計算において使用した上流差分法，中心差分法等について記述する．
3.5.1. 中心差分
１階微分
𝑑𝑢 𝑢𝑖+1 − 𝑢𝑖−1
=
𝑑𝑥
2∆𝑥
２階微分
𝑑2 𝑢 𝑢𝑖+1 + 2𝑢𝑖 − 𝑢𝑖−1
=
(∆𝑥)2
𝑑𝑥 2

3.5.2. 前進差分

𝑑𝑢 𝑢𝑖+1 − 𝑢𝑖
=
𝑑𝑥
∆𝑥

3.5.3. 後退差分

𝑑𝑢 𝑢𝑖 − 𝑢𝑖−1
=
𝑑𝑥
∆𝑥

25

3.5.4. 上流差分法
海流のようにレイノルズ数の大きい流れを比較的粗い格子を用いて計算する場合，
非線形項を計算する際に数値的に不安定になる．安定して解を得るためには，非線形
項を上流差分法によって近似する方法がしばしば用いられる．
１次精度上流差分法では，Eq.(3.13) の左辺第１項について，以下のように近似する．
𝑢𝑖 − 𝑢𝑖−1
𝑓
, 𝑓≥0
𝜕𝑢
∆𝑥
𝑓
={ 𝑢
𝑖+1 − 𝑢𝑖
𝜕𝑥
𝑓
, 𝑓<0
∆𝑥

(3.19)

これは物理的に情報が上流方向から伝わることを考慮した差分法であり，f ≥0 のと
きは負の側から情報が伝わるため，着目点の負の側に重点をおいた後退差分を，f < 0
のときには正の側から情報が伝わるため，着目点の正の側に重点をおいた前進差分を
用いる．また，この Eq.(3.13)は絶対地の定義から次のように 1 つの式にまとめること
ができる．
𝑓

𝜕𝑢
𝑢𝑖+1 − 𝑢𝑖−1 |𝑓|∆𝑥 𝑢𝑖+1 + 2𝑢𝑖 + 𝑢𝑖−1
=𝑓
−
(∆𝑥)2
𝜕𝑥
2∆𝑥
2

(3.20)

Fig. 3-2 1st-Order Accurate Upstream Finite Difference

同様に，上流側に重みをつけ，格子点として上下に合計 5 点を用いて表現するのが
３次精度上流差分法である[32]．

26

𝑓(2𝑢𝑖+1 + 3𝑢𝑖 − 6𝑢𝑖−1 + 𝑢𝑖−2 )
, 𝑓≥0
𝜕𝑢
6∆𝑥
𝑓
={
𝑓(−𝑢𝑖+2 + 6𝑢𝑖+1 − 3𝑢𝑖 + 2𝑢𝑖−1 )
𝜕𝑥
, 𝑓<0
6∆𝑥

(3.21)

すなわち
𝑓

𝜕𝑢
−𝑢𝑖+2 + 8(𝑢𝑖+1 − 𝑢𝑖−1 ) + 𝑢𝑖−2
|
=𝑓
𝜕𝑥 𝑥=𝑥𝑖
12∆𝑥
|𝑓| 3 𝑢𝑖+2 − 4𝑢𝑖+1 + 6𝑢𝑖 − 4𝑢𝑖−1 + 𝑢𝑖−2
+
∆𝑥
(∆𝑥)4
12

(3.22)

と書ける．ただし，𝑢𝑖 は 𝑥 = 𝑥𝑖 地点における 𝑢 の値を意味する（）
．

Fig. 3-3 3rd-Order Accurate Upstream Finite Difference

ここで，Eq.(3.15)について，𝑢𝑖+2 などを点𝑥𝑖 のまわりにテイラー展開して調べると，
右辺第１項は
𝑓

𝜕𝑢
+ 𝒪((∆𝑥)4 )
𝜕𝑥

(3.23)

となり，同様に右辺第２項は
|𝑓|
𝜕 4𝑢
3
(∆𝑥)
−
+ 𝒪((∆𝑥)5 )
12
𝜕𝑥 4

(3.24)

となる．この場合の誤差の主要項は Eq.(3.24) の (∆𝑥)3を含む項（３次精度）である．

27

3.6. 一般座標変換
単純な矩形で囲まれた領域ではなく，複雑な形状の領域における流れを取り扱う場
合，等間隔の矩形格子を用いると，曲線境界が階段状に近似され，境界上に格子点が
のらないことになるため，境界条件を正確に課すことが困難になる．一方，境界に沿
った曲線格子を用いれば，正確な境界条件を課すことや，物体まわりの境界層内に多
くの格子を集めることが容易になるため，より精度のよい計算結果が期待できる．本
研究では，そのような格子を設定するにあたって，座標変換に基づき差分近似式を構
成する方法[33] を用いた．以下に，一般の曲線形状に対する座標変換について記す．
3.6.1. 1 次元座標変換
ここでは１次元の座標変換として
𝜉 = 𝜉(𝑥)

(3.25)

を用いることとする．これによる，１ 階微分に対する変換は
𝑑𝑓 𝑑𝑓 𝑑𝜉 𝑑𝑓 𝑑𝑥
=
= ⁄
𝑑𝑥 𝑑𝜉 𝑑𝑥 𝑑𝜉 𝑑𝜉

(3.26)

となる．このとき，変換関数としては，Eq.(3.25) のかわりにその逆関数
𝑥 = 𝑥(𝜉)

(3.27)

を用いる．同様に考えれば，2 階微分は
𝑑2𝑓
𝑑 𝑑𝑓 𝑑𝑥 𝑑𝜉 𝑑 2 𝑓 𝑑𝜉 2 𝑑 2 𝑥 𝑑𝑓 𝑑𝑥 3
( ⁄ )
=
=
⁄( ) − 2 ⁄( )
𝑑𝑥 2 𝑑𝜉 𝑑𝜉 𝑑𝜉 𝑑𝑥 𝑑𝜉 2 𝑑𝑥
𝑑𝜉 𝑑𝜉 𝑑𝜉

(3.28)

と変換できる．
ここで，Eq.(3.26)，Eq.(3.28) の微分はすべて 𝜉 に関するものになっているため，各格
子点における𝑑𝑥⁄𝑑𝜉 ，𝑑 2 𝑥 ⁄𝑑𝜉 2 が計算できれば，変換された領域において方程式を
解くことができる．ただし，実際の計算では，これらの関数の形は不要であり，格子
点における の値を用いて，以下のような式から計算する．
𝑑𝑥 𝑥(𝜉 + ∆𝜉) − 𝑥(𝜉 − ∆𝜉)
=
𝑑𝜉
2∆𝜉
2
𝑑 𝑢 𝑥(𝜉 − ∆𝜉) − 2𝑥(𝜉) + 𝑥(𝜉 + ∆𝜉)
=
(∆𝜉)2
𝑑𝑥 2

28

3.6.2. 2 次元座標変換
以下の 2 次元座標変換を考える[29]．
𝑥 = 𝑥(𝜉, 𝜂)
{
𝑦 = y(𝜉, 𝜂)

𝜉 = 𝜉(𝑥, 𝑦)
{
𝜂 = 𝜂(𝑥, y)

(3.27)

Fig. 3-4 2-Dimensional Coordinate Transformation

この変換によって Fig. 3-4 に示すように xy 平面（物理面）の曲線で囲まれた領域が𝜉𝜂
平面（計算面）の長方形領域に変換されたとする．このとき 𝜉𝜂 平面では直交等間隔
格子を用いて差分計算できるため，Eq.(3.27) によって解くべき方程式を変換して𝜉𝜂面
で差分近似する．
以下，写像関数 Eq.(3.27) が与えられているとして，1 階微分，2 階微分がそれぞれ
どのように変換されるかを示す．
1 次元の場合と同様に，以下の偏微分の変数変換の関係式を基礎とする．
𝜕𝑓 𝜕𝑓 𝜕𝜉 𝜕𝑓 𝜕𝜂
=
＋
𝜕𝑥 𝜕𝜉 𝜕𝑥 𝜕𝜂 𝜕𝑥

(3.28)

𝜕𝑓 𝜕𝑓 𝜕𝜉 𝜕𝑓 𝜕𝜂
=
＋
𝜕𝑦 𝜕𝜉 𝜕𝑦 𝜕𝜂 𝜕𝑦

(3.29)

しかし，右辺には x や y に関する微分が含まれるため，このままの形では変換後に
おける 𝜉 や 𝜂 に関する微分の評価に使用できない．そこで，Eq.(3.28) の f に x および y
を代入すると，𝜕𝑥/𝜕𝑥 = 1，𝜕𝑦/𝜕𝑥 = 0 より，

29

𝜕𝑥 𝜕𝜉 𝜕𝑥 𝜕𝜂
＋
=1
𝜕𝜉 𝜕𝑥 𝜕𝜂 𝜕𝑥
𝜕𝑦 𝜕𝜉 𝜕𝑦 𝜕𝜂
＋
=0
𝜕𝜉 𝜕𝑥 𝜕𝜂 𝜕𝑥
となる．これらを𝜕𝜉/𝜕𝑥，𝜕𝜂/𝜕𝑥 を決める方程式とみなしてこれらについて解けば，
𝜕𝜉 1 𝜕𝑦 𝜕𝜂
1 𝜕𝑦
=
,
=−
𝜕𝑥 𝐽 𝜕𝜂 𝜕𝑥
𝐽 𝜕𝜉

(3.30)

を得る．ただし，
𝐽=

𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑦 𝜕𝑥
−
𝜕𝜉 𝜕𝜂 𝜕𝜉 𝜕𝜂

(3.31)

である．
同様の手順によって Eq.(3.29) から𝜕𝜉/𝜕𝑦，𝜕𝜂/𝜕𝑦も得られ，
𝜕𝜉
1 𝜕𝑥
=−
,
𝜕𝑦
𝐽 𝜕𝜂

𝜕𝜂 1 𝜕𝑥
=
𝜕𝑦 𝐽 𝜕𝜉

(3.32)

となる．これらにより，Eq.(3.28)， (3.29) は以下のように書かれる．
𝜕𝑓 1 𝜕𝑦 𝜕𝑓 𝜕𝑦 𝜕𝑓
),
= (
−
𝜕𝑥 𝐽 𝜕𝜂 𝜕𝜉 𝜕𝜉 𝜕𝜂

𝜕𝑓 1
𝜕𝑥 𝜕𝑓 𝜕𝑥 𝜕𝑓
)
= (−
+
𝜕𝑦 𝐽
𝜕𝜂 𝜕𝜉 𝜕𝜉 𝜕𝜂

(3.33)

これは，計算面の独立変数 𝜉と𝜂に関する微分だけが表れる形であるため，差分法を
用いて計算可能となる．
2 階微分については，
𝜕 2 𝑓 𝜕𝜉 𝜕 𝜕𝑓
𝜕𝜂 𝜕 𝜕𝑓
( )+−
( )
=
2
𝜕𝑥
𝜕𝑥 𝜕𝜉 𝜕𝑥
𝜕𝑥 𝜕𝜂 𝜕𝑥
であることと，Eq.(3.33) を代入してまとめると以下のように求められる．
𝜕 2 𝑓 1 𝜕𝑦 2 𝜕 2 𝑓
𝜕𝑦 𝜕𝑦 𝜕 2 𝑓
𝜕𝑦 2 𝜕 2 𝑓
= (( )
−2
+( )
)
𝜕𝑥 2 𝐽2 𝜕𝜂 𝜕𝜉 2
𝜕𝜉 𝜕𝜂 𝜕𝜉𝜕𝜂
𝜕𝜉 𝜕𝜂2
1 𝜕𝑦 2 𝜕 2 𝑦
𝜕𝑦 𝜕𝑦 𝜕 2 𝑦
𝜕𝑦 2 𝜕 2 𝑦 𝜕𝑥 𝜕𝑓 𝜕𝑥 𝜕𝑓
)
+ 3 (( )
−2
+( )
)(
−
𝐽
𝜕𝜂 𝜕𝜉 2
𝜕𝜉 𝜕𝜂 𝜕𝜉𝜕𝜂
𝜕𝜉 𝜕𝜂2 𝜕𝜂 𝜕𝜉 𝜕𝜉 𝜕𝜂
1 𝜕𝑦 2 𝜕 2 𝑥
𝜕𝑦 𝜕𝑦 𝜕 2 𝑥
𝜕𝑦 2 𝜕 2 𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑓 𝜕𝑦 𝜕𝑓
)
+ 3 (( )
−2
+( )
)(
−
𝐽
𝜕𝜂 𝜕𝜉 2
𝜕𝜉 𝜕𝜂 𝜕𝜉𝜕𝜂
𝜕𝜉 𝜕𝜂2 𝜕𝜉 𝜕𝜂 𝜕𝜂 𝜕𝜉

30

同様にして，
𝜕 2𝑓
1 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕 2 𝑓 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕 2 𝑓 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕 2 𝑓
)
)
= 2 ((
+
−
−
𝜕𝑥𝜕𝑦 𝐽
𝜕𝜉 𝜕𝜂 𝜕𝜂 𝜕𝜉 𝜕𝜉𝜕𝜂 𝜕𝜉 𝜕𝜉 𝜕𝜂2 𝜕𝜂 𝜕𝜂 𝜕𝜉 2
𝜕𝑓 1 𝜕𝑥 𝜕 2 𝑦 𝜕𝑥 𝜕 2 𝑦
1 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝐽 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝐽
(
))
+ ( 2(
−
)
+
−
𝜕𝜉 𝐽 𝜕𝜉 𝜕𝜂2 𝜕𝜂 𝜕𝜉𝜕𝜂
𝐽3 𝜕𝜂 𝜕𝜂 𝜕𝜉 𝜕𝜉 𝜕𝜂 𝜕𝜂
𝜕𝑓 1 𝜕𝑥 𝜕 2 𝑦 𝜕𝑥 𝜕 2 𝑦
1 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝐽 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝐽
(
))
+ ( 2(
−
)
+
−
𝜕𝜂 𝐽 𝜕𝜂 𝜕𝜉 2 𝜕𝜉 𝜕𝜉𝜕𝜂
𝐽3 𝜕𝜉 𝜕𝜉 𝜕𝜂 𝜕𝜂 𝜕𝜉 𝜕𝜉
𝜕 2 𝑓 1 𝜕𝑥 2 𝜕 2 𝑓
𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕 2 𝑓
𝜕𝑥 2 𝜕 2 𝑓
= (( )
−2
+( )
)
𝜕𝑦 2 𝐽2 𝜕𝜂 𝜕𝜉 2
𝜕𝜉 𝜕𝜂 𝜕𝜉𝜕𝜂
𝜕𝜉 𝜕𝜂2
1 𝜕𝑥 2 𝜕 2 𝑦
𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕 2 𝑦
𝜕𝑥 2 𝜕 2 𝑦 𝜕𝑥 𝜕𝑓 𝜕𝑥 𝜕𝑓
)
+ 3 (( )
−2
+( )
)(
−
𝐽
𝜕𝜂 𝜕𝜉 2
𝜕𝜉 𝜕𝜂 𝜕𝜉𝜕𝜂
𝜕𝜉 𝜕𝜂2 𝜕𝜂 𝜕𝜉 𝜕𝜉 𝜕𝜂
1 𝜕𝑥 2 𝜕 2 𝑥
𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕 2 𝑥
𝜕𝑥 2 𝜕 2 𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑓 𝜕𝑦 𝜕𝑓
)
(
)
)
+ 3 ((
−2
+
)(
−
𝐽
𝜕𝜂 𝜕𝜉 2
𝜕𝜉 𝜕𝜂 𝜕𝜉𝜕𝜂
𝜕𝜉 𝜕𝜂2 𝜕𝜉 𝜕𝜂 𝜕𝜂 𝜕𝜉
これらの式から，2 次元のラプラシアンの一般座標表現が
∆𝑓 =

1
𝜕 2𝑓
𝜕2𝑓
𝜕 2𝑓
(𝛼
−
2𝛽
+
𝛾
)
𝐽2
𝜕𝜉 2
𝜕𝜉𝜕𝜂
𝜕𝜂2
1
𝜕 2𝑥
𝜕 2𝑥
𝜕 2 𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑓 𝜕𝑦 𝜕𝑓
)
+ 3 (𝛼 2 − 2𝛽
+ 𝛾 2) (
−
𝐽
𝜕𝜉
𝜕𝜉𝜕𝜂
𝜕𝜂
𝜕𝜉 𝜕𝜂 𝜕𝜂 𝜕𝜉
1
𝜕 2𝑥
𝜕 2𝑦
𝜕 2 𝑦 𝜕𝑥 𝜕𝑓 𝜕𝑥 𝜕𝑓
)
+ 3 (𝛼 2 − 2𝛽
+ 𝛾 2) (
−
𝐽
𝜕𝜉
𝜕𝜉𝜕𝜂
𝜕𝜂
𝜕𝜂 𝜕𝜉 𝜕𝜉 𝜕𝜂

のように得られる．ただし，𝛼，𝛽，𝛾 は以下の通りである．
𝜕𝑥 2
𝜕𝑦 2
𝛼 =( ) +( )
𝜕𝜂
𝜕𝜂
𝛽=

𝜕𝑦 𝜕𝑓 𝜕𝑦 𝜕𝑓
+
𝜕𝜉 𝜕𝜂 𝜕𝜉 𝜕𝜂

𝜕𝑥 2
𝜕𝑦 2
𝛾 =( ) +( )
𝜕𝜉
𝜕𝜉
また， 2 次元のラプラシアンは次の形で表すことができる．
∆𝑓 = 𝑐1

𝜕 2𝑓
𝜕 2𝑓
𝜕 2𝑓
𝜕𝑓
𝜕𝑓
+
𝑐
+
𝑐
+ 𝑐4
+ 𝑐5
2
3
2
2
𝜕𝜉
𝜕𝜉𝜕𝜂
𝜕𝜂
𝜕𝜉
𝜕𝜂

31

ここで
𝑐1 =

𝛼
𝐽2

𝑐2 = −2
𝑐3 =
𝑐4 =
𝑐5 =

𝛽
𝐽2

𝛾
𝐽2

1
𝜕 2𝑦
𝜕 2𝑦
𝜕 2 𝑦 𝜕𝑥
𝜕 2𝑥
𝜕 2𝑥
𝜕 2 𝑥 𝜕𝑦
{(𝛼
−
2𝛽
+
𝛾
)
−
(𝛼
−
2𝛽
+
𝛾
) }
𝐽3
𝜕𝜉 2
𝜕𝜉𝜕𝜂
𝜕𝜂2 𝜕𝜂
𝜕𝜉 2
𝜕𝜉𝜕𝜂
𝜕𝜂2 𝜕𝜂

1
𝜕 2𝑦
𝜕 2𝑦
𝜕 2 𝑦 𝜕𝑥
𝜕 2𝑥
𝜕2𝑥
𝜕 2 𝑥 𝜕𝑦
{−
(𝛼
−
2𝛽
+
𝛾
)
−
(𝛼
−
2𝛽
+
𝛾
) }
𝐽3
𝜕𝜉 2
𝜕𝜉𝜕𝜂
𝜕𝜂2 𝜕𝜉
𝜕𝜉 2
𝜕𝜉𝜕𝜂
𝜕𝜂2 𝜕𝜉

である．
以上の関係式をデカルト座標で表された基礎方程式に代入することにより，一般座
標系における方程式を得ることができる．
本研究では，上記のような手順で𝑥 − 𝑦方向に 2 次元の座標変換を行った．

32

第4章
サボニウス型回転装置用差分格子
の検証
本研究では 2 次元性を仮定し，実際より 1 桁程度小さいレイノルズ数で計算をおこ
なった．そのため，本研究で開発したサボニウス型回転装置用差分格子の生成方式に
よる計算精度の検証及びこのことがどの程度シミュレーションに影響を及ぼすかを検
証する．流れ場の観察や，単一の回転装置を設置したとみなした場合の先行研究との
パワー係数の比較等を行った．

4.1.

評価に使用する係数

回転装置の性能を評価する場合，以下のような一般性のある無次元の特性係数が用
いられる．
⚫

周速比：λ
周速比 λ は流速に対する回転装置先端の速度として定義される．今回解析する
ような抗力型の垂直軸型回転装置は，この周速比 λ が 1.5 程度を上回らないとい
う特徴がある[14]．

λ=

𝑅𝜔
𝑢∞

𝑅 : 回転装置半径[m]

𝜔 : 角速度

𝑢∞: 流速[m/s]
⚫

計算から得られるトルク: 𝑻
計算から得られるトルクとは，回転装置が回転する力のことであり，回転装

33

置に加わる力と回転軸の中心から力の働く作用点までの距離とを掛け合わせた
ものである．
𝑻＝ｒ × 𝑭

ｒ : 回転軸中心から作用点までの位置ベクトル[m]
𝑭 : 回転装置に加わる力[N]
⚫

トルク係数：𝑪𝒕
トルク係数とは，トルクを回転装置の大きさで無次元化したものであり，こ
れにより回転装置の大きさによらずに性能を比較することができる．
|𝑻|
𝑪𝒕 ＝
𝑞𝑅𝐴
𝑻 :トルク
𝑞 : 動圧（= 𝜌𝑢∞2 ⁄2）[kg/m3]

𝜌 : 流体の密度[kg/m3]

𝐴 : 回転装置の掃過面積（= 2𝑅𝐻）[m2]
𝑅 : 回転装置半径[m]
⚫

𝐻 : 回転装置高さ[m]

パワー係数：𝑪𝒑
風車の受風面積から得られる風のパワーを基準として風車から取り出せるパ
ワーとの割合を示す．トルク係数に周速比をかけて算出可能である．
𝑪𝒑 ＝

𝑻𝜔
＝ λ𝑻
𝑞𝑢∞𝐴

𝑻 :トルク
𝜔 : 回転角速度
𝑢∞: 流速[m/s]
𝑞 : 動圧（= 𝜌𝑢∞2 ⁄2）[kg/m3]

𝜌 : 流体の密度[kg/m3]

𝐴 : 回転装置の掃過面積（= 2𝑅𝐻）[m2]
𝑅 : 回転装置半径[m]

𝐻 : 回転装置高さ[m]

34

4.2.

トルクの算出方法

トルク 𝑻 はブレード上の微小要素ごとにトルクを計算し，それらの和を取ること
によって得られる．

(a)

(b)

(c)

Fig. 4-1 Torque Calculation

Fig. 4-1 (a)に示す回転装置上の微小領域𝛥𝑆にかかる力𝑭(𝐹𝑥 , 𝐹𝑦 ) は Fig. 4-1 (b)に示すブ

レードの内側の圧力𝑃𝑖𝑛 ，ブレード外側の圧力𝑃𝑜𝑢𝑡 ，𝛥𝑆の垂直方向の単位ベクトル𝒏
を用いて次のように表せる．
𝑭＝(𝑃𝑜𝑢𝑡 − 𝑃𝑖𝑛 ) 𝛥𝑆 𝒏

(4.1)

トルク T は物体に加わる力 F と回転軸からみた力の加わる点までの距離（位置ベク
トル）𝒓の積（外積）で表される量（モーメント）であり，下記のように表せる．
⃗⃗
𝑖⃗
𝑗⃗
𝑘
𝑥 + 𝑥2
𝑦1 + 𝑦2
𝑥 + 𝑥2 𝑦1 + 𝑦2
⃗⃗ ( 1
(4.2)
𝜟𝑻＝ 𝒓 × 𝑭 = || 1
∙ 𝐹𝑦 −
∙ 𝐹𝑥 )
0 || = 𝑘
2
2
2
2
𝐹𝑥
𝐹𝑦
0
⃗⃗ )は単位ベクトルを示す．
ここで(𝑥1 , 𝑦1 ), (𝑥2 , 𝑦2 )は微小部分𝛥𝑆の両端の座標，(𝑖⃗, 𝑗⃗, 𝑘
Fig. 4-1 (c)に示すように微小部分と水平方向とのなす角を𝜃とすると，𝛥𝑆の垂直方向の

単位ベクトル𝒏の成分は
(sin 𝜃 , cos 𝜃) = (

𝑦2 − 𝑦1 𝑥1 − 𝑥2
,
)
ΔS
ΔS

35

(4.3)

と表すことができる。したがって微小部分のトルクは以下のように求められる．
𝑥1 + 𝑥2 𝑥1 − 𝑥2
𝑦1 + 𝑦2 𝑦2 − 𝑦1
(𝑃𝑜𝑢𝑡 − 𝑃𝑖𝑛 ) 𝛥𝑆 −
(𝑃𝑜𝑢𝑡 − 𝑃𝑖𝑛 ) 𝛥𝑆
𝛥𝑇 =
∙
∙
2
𝛥𝑆
2
𝛥𝑆
1
(4.4)
= (𝑥1 2 − 𝑥2 2 − 𝑦1 2 + 𝑦2 2 )(𝑃𝑜𝑢𝑡 − 𝑃𝑖𝑛 )
2
ブレード全体にかかるトルクは微小部分のトルクの和として求められるので，Eq.(4.4)
を積分して次のように求められる。
1
∑ ( (𝑥1 2 − 𝑥2 2 − 𝑦1 2 + 𝑦2 2 )(𝑃𝑜𝑢𝑡 − 𝑃𝑖𝑛 ))
2

(4.5)

このようにブレード上の各格子点におけるトルクを求め, 回転装置上で積分し，全体
のトルク T を求めた．

36

4.3.

流れ場の観察

サボニウス型回転装置用差分格子を用いた計算結果の妥当性を確認するために注目
すべき点の 1 つとして，回転領域と非回転領域のつなぎ目において流速などの物理量
の受け渡しが意図どおりに働いているか，ということが挙げられる．ここでは各領域
における流れ場の観察を行った．

4.3.1. 2 つの装置間の流れ場
2 つの回転装置に挟まれた領域での流れ場の計算結果の例を Fig. 4-2 ～Fig. 4-4 に示す．
これらの図は装置間距離が 3.1R，主流の方向が斜め 45 度の場合であり，速度ベクト
ルとともに，補間に用いた回転領域と非回転領域の重なり部分近辺の格子を示してい
る．Fig. 4-2 を拡大したものが Fig. 4-3 であり，そこから時間が進んだ状態が Fig. 4-4 であ
る．Fig. 4-4 では回転に伴って回転領域と非回転領域の重なり部分の格子のずれを観察
することができる．これらの図から速度ベクトルに不自然な点は見られず，補間が成
功していることがわかる．

Fig. 4-2 Flow field between two turbines (45 degrees flow, 1600step)

37

Fig. 4-3 Flow field between two turbines (45 degrees flow, 1600step)

Fig. 4-4 Flow field between two turbines (45 degrees flow, 1800step)

38

4.3.2. ブレード重なり領域の流れ場
ここではサボニウス型回転装置の特徴である重なり領域に着目し，ブレード内部の
流れの様子を Fig. 4-3 に示す．また，回転による時系列の変化を Fig. 4-6 に示す．0 度
の主流（流れは左から右）により逆方向に独立して回転する 2 台の回転装置のうち，
ここでは回転装置１が 1回転した後の速度ベクトル（𝜃 = 360 + 𝛼°）を示す．
回転領域内の速度ベクトルに不自然な点は見られず，回転領域内の各領域間で一致
させた格子によって物理量の受け渡しが成功していることがわかる．
なお, 重なり領域内の流れは，回転角度が(a)およそ～135 度のとき増加し，(b)135
度近辺で最大となり，135 度を超えると減少した．(c)180 度近辺では流入，流出とも
に速度が最小となる様子が見られた．その後(d)重なり領域内の流れの向きは逆転し，
(e)逆側のブレードからの流入が増加するにつれブレードに沿って流出する流れが速く
なる様子が見られた．(f)360 度近辺で最小となり，以降，再び重なり領域内の流れの
向きは逆転した．

Fig. 4-5 Flow inside the blade (rotational region)

39

(a) θ=360+81°

(b) θ=360+135°

(c) θ=360+189°

(d) θ=360+243°

(e) θ=360+297°

(f) θ=360+360°

Fig. 4-6 Flow inside the blade (Upper: Whole region, Lower: Close-up of center)

40

4.3.3. 2 つの装置周辺の流れ場
2 つの装置を周速比𝜆 = 0.5 で互いに逆回転させた場合の回転装置近傍の流れ場を
Fig. 4-7 に示す．この図は流れの迎角が 0 度，すなわち流れが図の左から右に向かっ

て流れている場合の２つの装置周りの等圧線を表している．各等圧線において，各
小領域の境界において折れ曲がるなどの不自然さはなく，領域間のデータの受け渡
しに問題がなかったことがわかる．

Fig. 4-7 Flow field (contour line of pressure, 0 deg. flow)

41

4.4.

パワー係数の検証

パワー係数は 4.1 節で述べたとおりトルク係数に周速比をかけて算出可能である．
4.2 節で述べた格子生成法によってトルク係数の計算結果をもとにパワー係数を算出
し，既存の実験結果[11][14]と比較検証した．以下の計算条件により算出したパワー係
数及び既存の実験結果を Fig. 4-8 に示す．
装置：2 台
主流の迎角：0 度
装置間の距離：3.1R
装置の位相差：なし
装置の周速比：計算範囲 0.2≦ 𝜆 ≦1（0.1 刻み）
レイノルズ数：20000

Power coefficient

Cp

0.25

0.2

0.15

0.1

0.05

0
0

0.5

1

tip speed ratio

装置１
Turbin01

Li et al. 2005
実験値(李2005)
Ogawa et al. 1986
実験値(小川1986)

Fig. 4-8 Power coefficient of turbine01 and experimental results

42

1.5

λ

ここで，横軸は周速比 𝜆 ，縦軸はパワー係数𝐶𝑝 を表す．図中，もっとも上にある曲
線は単独のサボニウス風車の実験結果[11]，もっとも下にあるのは 2 台のサボニウス
風車が近接して配置された場合の実験結果[14]である．ただし，後者の風車間距離は
風車直径の 1.3 倍と本研究よりはずっと短い．なお，実験ではサボニウス風車の直径
と高さの比は小さく，性能向上のため，回転軸方向の両端には風漏れを防ぐための円
形の端板がとりつけられている．本研究の計算結果はちょうど 2 つの曲線の中間に位
置しており，曲線の形も似ているため，本研究で得られた計算の結果は妥当であると
いえる．

43

第5章
回転装置の動特性に対する
各種パラメータの依存性
本章では，装置同士の干渉の影響を確認するため，装置設置に関する各種パラメー
タを変化させて，それが装置の動特性に対する影響を確認する．
まず，装置 2 台に対して以下のパラメータが動特性に及ぼす影響を検討する．
1.

主流の方向
装置の回転軸同士をつないだラインを y 軸に取り，それに垂直な x 軸とのなす
角を，0 度，45 度，90 度とするような 3 方向の流れがあたるとして検討する．

2.

回転方向
互いに逆方向に回転する場合，同方向に回転する場合について検討する．

3.

装置間の距離
2 台の装置の回転軸同士の距離が装置直径 R の 3.1 倍, 5 倍, 6 倍の場合について
検討する．

4.

装置の回転位相差
2 台の装置の回転に位相差がある場合について検討する．回転の位相差は 0 度,
45 度, 90 度, 135 度の 4 通りについて検討する．

さらに，装置の設置台数を増やす場合については以下の通りとする．

5.

装置台数を 4 台とした場合
装置の回転軸同士をつないだラインを y 軸に取り，それに垂直な x 軸とのなす
角を，0 度，45 度とするような 2 方向の流れが当たるとして検討する．

44

5.1.

主流の方向についての検討

本節では流れの方向の変化が装置同士の作用にどのような影響があるかを確認する
ため，主流の方向を変化させる場合について検討した[35]．装置の回転軸同士をつな
いだラインを y 軸に取り，それに垂直な x 軸とのなす角を，0 度，45 度，90 度とする
ような 3 方向の流れがあたるとして計算を行った．

Fig. 5-1 Diagram of calculation condition: flow direction

・装置：2 台
・周速比：λ＝0.5 に固定
・回転方向：各装置独立に逆方向に回転
・流れ：3 方向（0 度，45 度，90 度）

45

5.1.1.

2 つの回転装置周りの流れ

主流の向きを変えた場合の逆向きに回転する 2 つの回転装置周りの流れの様子を 0
度，45 度，90 度について示す．0 度，45 度はいずれも回転を始めてから 3 回転
（1080 度）した時点での様子であり，90 度は 1 回転半～2 回転にかけての様子を時系
列に示したものである．
(1) 主流の向きが 0 度の場合（Fig. 5-2）
2 つの計算領域のつなぎ目を軸として概ね対称な流れが見られたが，後流にできる
渦の大きさが若干異なっている．幾何学的に対称性のある物体でもレイノルズ数が大
きくなると非対称な流れが現れるため，これはむしろ自然であると考えられる．

Fig. 5-2 Flow around two Savonius turbines: 0 degrees flow (θ=1080°)

46

(2) 主流の向きが 45 度の場合（Fig. 5-3）
主流が 2 つの装置の間を通過する際には両装置の軸同士をつないだラインとのなす
角が両装置の回転の影響により 45 度よりも大きくなっている様子が見られる．また
逆流や渦ができている箇所が見られる．

Fig. 5-3 Flow around two Savonius turbines: 45 degrees flow (θ=1080°)

47

(3) 主流の向きが 90 度の場合（Fig. 5-4, Fig. 5-5）
2 つの装置のブレードの位置関係によって複雑に流れの向きが変化する．ブレード
が近づいてくると装置間に流れが引き込まれて渦ができ（Fig. 5-4(a)）
，ブレードがほ
ぼ直線に並ぶ位置では一時的に渦は消え装置１の両側から流れが流入してくる（Fig.
5-4(b)）
．さらに回転すると装置右側から流入してくる流れと装置１のブレード先端が

ぶつかり再び大きな渦が生じ，その渦が回転に伴い装置周辺に向かうため外向きの流
れが生じている様子が見られた（Fig. 5-5(c)）
．

(a)

Fig. 5-4 Flow around two Savonius turbines: 90 degrees flow (θ=598°)

48

(b)

(c)

Fig. 5-5 Flow around two Savonius turbines: 90 degrees flow (θ=648°, 756°)

49

5.1.2.

トルク

本項では主流の向きを変えた場合のトルク係数の推移を 0 度，45 度，90 度につい
て示す．横軸は回転角，縦軸はトルク係数を表す．
(1) 主流の向きが 0 度の場合
主流の向きが 0 度の場合の回転装置１のトルクを Fig. 5-6 に示す．図には 2 つのブ
レードのトルク及び装置１全体のトルクを描いている．各ブレードのトルクはそれぞ
れ 360 度周期であり，2 つのブレードのトルクの位相は 180 度ずれている．従って装
置１全体のトルクは 360 度周期にピークを 2 回持つ．また，装置 2 台合計のトルクは
装置１のトルクの約 2 倍になっており，2 台の装置全体でもトルクは 360 度周期にピ
ークを 2 回持っている（Fig. 5-7）

Fig. 5-6 The rotation angle dependence of the torque acting on the two blades and the total value of turbine01 (0
degrees flow)

50

Fig. 5-7 The rotation angle dependence of the torque of turbine01 and the total value of the two turbines (0 degrees
flow)

(2) 主流の向きが 45 度の場合
主流の向きが 45 度の場合のトルク係数推移を
Fig. 5-8 に示す．グラフは 2 台の装置のトルクをそれぞれ表している．流れの下流に位

置する装置２はトルクの周期に乱れがあり，また，装置１よりトルク係数の変動も大
きくなっている．これは装置の相互作用によるものと考えられる．

Fig. 5-8 The rotation angle dependence of the torque of the two turbines (45 degrees flow)

51

(3) 主流の向きが 90 度の場合
主流の向きが 90 度の場合のトルク係数推移を Fig. 5-9 に示す．上流側の装置１は周
期的に安定してトルクが得られているが，下流側の装置２はあまりトルクを得られて
おらず，また複雑に変化している．上流の装置の陰になって主流からの力を受けてい
ないと考えられる．

Fig. 5-9 The rotation angle dependence of the torque of the two turbines (90 degrees flow)

ここまで見てきた 3 方向の流れの，2 台の装置のトルク係数を時間経過とともに積
算したものを Fig. 5-10 に示す．トルク係数を積算すると，線形に増加している．0 度
と 45 度のトルクと比較すると 90 度の流れではトルクがあまり得られていない．これ
は先ほど見た通り下流の装置２が上流の装置の陰になってトルクが得られていないこ
とが原因である．
0 度と 45 度のトルクを比較すると，回転はじめは 0 度のトルクが大きかったが，お
よそ 4 回転以降は 45 度のトルクが大きくなっており，計算時間が経過するにつれそ
の差が広がっていくことがわかる．

52

Fig. 5-10 Integrated value of torque with respect to rotation angle (angle of attack: 0,45,90 degrees)

5.1.3. 本節のまとめ
主流の方向を変化させたところ，2 つの回転装置の位置関係により複雑な流れが生
じていることが観察された．
2 台の装置のトルク合計の積算値が回転とともにほぼ直線的に増加するという結果
になり，装置２つで安定した出力が得られることがわかった
得られるトルクを比較すると，90 度の場合は 0 度，45 度と比較してトルクの値が
小さくなった．0 度と 45 度のトルクを比較すると，回転はじめは 0 度のトルクが大き
かったが，およそ 4 回転以降は 45 度のトルクが大きくなっており，計算時間が経過
するにつれその差が広がる．長時間運転する場合 45 度の位置関係に設置すると優位
であることがわかった．

53

5.2.

回転方向についての検討

前節では互いに逆方向に回転する場合の相互作用について検討したが，本節では
比較のために 2 台の装置が同方向に回転する場合について検討した[36]．前節と同様
に主流の方向を 0 度，45 度，90 度の 3 方向に変化させ，回転方向の影響を検討した．

(a)

(b)

Fig. 5-11 Schematic diagram of two Savonius turbines
(a) Same direction (b) Opposite direction

・装置：2 台
・周速比：λ＝0.5 に固定
・回転方向：独立に同方向及び逆方向に回転
・流れ：3 方向（0 度，45 度，90 度）

54

5.2.1. 2 つの回転装置周りの流れ
(1) 主流の向きが 0 度の場合
主流の向きが 0 度の場合の流れ場の様子を Fig. 5-12 に示す．(a)は 2 つの回転装置が
同方向に回転している場合，(b)は互いに逆方向に回転している場合の流れを示す．
逆方向回転の場合は各装置の計算領域の境界に対して上下にほぼ対象な流れができ
ている．同方向回転の場合は各装置の計算領域内の流れの変化の様子や渦ができる位
置は同じであるが，渦の形状やベクトルの向き方向ともに若干の差異が見られる．こ
れより 2 台の装置によって形成される流れが相互に干渉しあっていることわかる．

(a)

(b)

Fig. 5-12 Flow field (0 degrees flow, θ=495°) (a) Same direction (b) Opposite direction

55

(2) 主流の向きが 45 度の場合
主流の向きが 45 度の場合の流れ場の様子を Fig. 5-13 に示す．(a)は 2 つの回転装置が
同方向に回転している場合，(b)は互いに逆方向に回転している場合の流れを示す．
同方向回転の場合は 0 度の流れ同様，各装置の計算領域内の流れの変化の様子や渦
ができる位置はほぼ同じであるが，渦の形状やベクトルの向き方向ともに若干の差異
が見られる．2 台の装置の計算領域境界部分では装置１（図中下）の回転によりブレ
ード先端で押された流れは装置２（図中上）のブレード下端に押し流されることによ
って渦ができている．装置２（図中上）の計算領域の同じ位置の流れはまっすぐに上
方に向かっていることより流れが相互に干渉しあっていることわかる．

(a)

(b)

Fig. 5-13 Flow field (45 degrees flow, θ=630°) (a) Same direction (b) Opposite direction

56

(3) 主流の向きが 90 度の場合
主流の向きが 90 度の場合の流れ場の様子を，同方向回転（Fig. 5-14）
，逆方向回転
（Fig. 5-15）のそれぞれについて時系列に示す．両装置のブレードの位置関係によって
複雑に流れの向きが変化している様子が見られる．両装置の軸を結ぶ直線に対してブ
レードが垂直な位置（Fig. 5-14 (a) ，Fig. 5-15 (a)）では，装置１（図中下） のブレードの
先端後流に渦が見られる．ブレードが回転して装置間に流れが引き込まれ間に流れが
引き込まれると共に渦も移動する（Fig. 5-14 (b) ，Fig. 5-15 (b)）
．ブレードがほぼ直線に並
ぶ位置では渦は弱くなり（Fig. 5-14 (c) ，Fig. 5-15 (c)）
，さらに回転すると装置１の両側か
ら流れ込んだ流れにより再び装置間に大きな渦が見られる（Fig. 5-14 (d)，Fig. 5-15 (d)）
．
90 度の流れでは，流れの上流にある装置１の影となって下流にある装置２（図中上）
には直接主流が当たっておらず，装置１によって変化した渦を含む流れを受けている
ことがわかる．

57

(a) θ=558

(b) θ=594

(c) θ=648

(d) θ=711

Fig. 5-14 Flow field (90 degrees flow, Same direction, θ=558,594, 648, 711)

58

(a) θ=558

(b) θ=594

(c) θ=648

(d) θ=711

Fig. 5-15 Flow field (90 degrees flow, Opposite direction, θ=558,594, 648, 711)

59

5.2.2. トルク
本項では 2 つの回転装置を同方向及び逆方向に回転させた場合のトルク係数の推移
を示す．各図には回転装置の 2 つのブレードの個々のトルク及びそれらを合計した装
置全体のトルクの 3 系列のグラフを描いている．
主流の向きが 0 度のときの同方向（Fig. 5-16）及び逆方向（Fig. 5-17）に回転させた場
合，装置１，装置２共にトルクの周期及びトルク係数の値はほぼ等しい．
主流の向きが 45 度のとき，同方向回転の場合（Fig. 5-18）はトルクの最大値は装置
１，装置２ともに同程度となっているが，逆方向回転の場合（Fig. 5-19）
，装置１と装
置２の周期はほぼ等しいが，トルク係数は装置２の方が大きくなっている．下流側に
位置している装置２の方が少しトルクが大きくなるのは意外な結果であるが，45 度
の場合には装置１の後流領域に装置２が入らないことや装置１が押しのけた流れが装
置２に当たるのが原因ではないかと考えられる．トルクの大きさの差は逆方向回転の
場合に顕著であった．2 つの装置は主流を同時に受けるため周期は等しくなっている
が，他装置によって装置間の流れが変化しトルクへの影響が生じたと考えられる．
主流の向きが 90 度のとき，同方向（Fig. 5-20）
，逆方向回転（Fig. 5-21）共に装置１
（上流側）は周期的な変化となっているが，装置２（下流側）は出力が安定している
とはいえない．迎角 0 度，45 度の場合，2 つの装置は主流を同時に受けているが，90
度の場合，下流側の装置２は上流側の装置１の後流に入るとともに装置１によって流
れのエネルギーが消費されるため，下流に位置する装置２は周期的な安定した大きな
トルクを出すことができないということがわかる．これは回転方向に関わらず同様で
あった．

60

(a)

(b)
turbine02(0deg.flow,same)

1.5

1.5

1

1

Torque Coefficient

Torque Coefficient

turbine01(0deg.flow,same)

0.5
0
-0.5

0.5
0

-0.5
-1

-1
360
720
blade1
blade2
blade1+blade2

360

1080
1440
rotation angle θ（deg）

720

1080
1440
rotation angle θ（deg）

Fig. 5-16 Time history of the torque coefficient (0 degrees flow, same direction ) (a) turbine1 (b)turbine2

(a)

(b)
turbine02(0deg.flow,reverse)

turbine01(0deg.flow,reverse)

1.5
1

1

Torque Coefficient

Torque Coefficient

1.5

0.5
0

-0.5

0.5
0

-0.5

-1
360

720
blade1
blade2
blade1+blade2

1080

-1

1440

360

rotation angle θ（deg）

720

1080

1440

rotation angle θ（deg.）

Fig. 5-17 Time history of the torque coefficient (0 degrees flow, opposite direction) (a) turbine1 (b)turbine2

61

(a)

(b)
turbine02(45deg.flow,same)

turbine01(45deg.flow,same)

1.5

Torque Coefficient

Torque Coefficient

1.5
1
0.5
0
-0.5

1
0.5
0
-0.5

-1
360

720
blade1
blade2
blade1+blade2

1080

-1

1440

360

720

1080
1440
rotation angle θ（deg）

rotation angle θ（deg）

Fig. 5-18 Time history of the torque coefficient (45 degrees flow, same direction) (a) turbine1 (b)turbine2

(a)

(b)

turbine01(45deg.flow,opposite)

turbine02(45deg.flow,opposite)
1.5

Torque Coefficient

Torque Coefficient

1.5
1

1

0.5

0.5
0
-0.5

0

-0.5

-1
360

720
blade1
blade2
blade1+blade2

1080

-1

1440

360

rotation angle θ（deg）

720

1080
1440
rotation angle θ（deg）

Fig. 5-19 Time history of the torque coefficient (45 degrees flow, opposite direction) (a) turbine1(b)turbine2

62

(a)

(b)

turbine01(90deg.flow,same)

turbine02(90deg.flow,same)
1

0.5

Torque Coefficient

Torque Coefficient

1

0

-0.5

0.5

0

-0.5

-1
360

720
blade1
blade2
blade1+blade2

1080

-1

1440

360

720

rotation angle θ（deg）

1080

1440

rotation angle θ（deg）

Fig. 5-20 Time history of the torque coefficient (90 degrees flow, same direction) (a) turbine1 (b)turbine2

(a)

(b)
turbine02(90deg.flow,opposite)
1

0.5

0.5

Torque Coefficient

Torque Coefficient

turbine01(90deg.flow,opposite)
1

0

-0.5

0

-0.5

-1
360

720
blade1
blade2
blade1+blade2

1080

-1

1440

rotation angle θ（deg）

360

720

1080
1440
rotation angle θ（deg）

Fig. 5-21 Time history of the torque coefficient (90 degrees flow, same direction) (a) turbine1 (b)turbine2

63

5.2.3. 本節のまとめ
2 台の装置を同方向回転，逆方向回転させて流れやトルクを検討した．
同方向回転の場合は各装置の計算領域内の流れの変化の様子や渦ができる位置は同
じであるが，渦の形状やベクトルの向き方向ともに若干の差異が見られた．これより
2 台の装置によって形成される流れが相互に干渉しあっていることわかる．特に 2 台
の装置の計算領域境界部分では相互に干渉しあっている様子が観察された．
0 度，45 度の流れでは同方向回転，逆方向回転ともに周期的に安定したトルクが得
られたが，90 度の流れでは同方向回転，逆方向回転ともに下流に位置する装置は不
安定で小さいトルクとなった．したがって安定したトルクを得るためには回転方向よ
りも装置の位置関係に対する主流の方向が重要であると示唆される．

64

5.3.

装置間の距離についての検討

本節では 2 台の回転装置間の距離 D を変化させることにより，装置の相互作用へ
の影響を調べる．2 台の装置の回転軸の距離 D が装置半径 R の 3.1 倍, 5 倍, 6倍の場合
について検討した[37]．
装置に対する流れの方向は前節までは 3 方向としていたが，本検討においては 0 度，
45 度，90 度，135 度，180 度の 5 方向とした（Fig.5-22）
．Fig.5-22 からもわかるように 0
度の流れは 2 つの回転装置間の流体は狭められる方向に流れ，180 度の流れでは広げ
られる方向に流れるため，区別する必要がある．同様に 45 度と 135 度の流れも区別
する必要がある．

Fig.5-22 Schematic diagram of two Savonius turbines

・装置：2 台
・周速比：λ＝0.5 に固定
・回転方向：独立に逆方向に回転
・流れ：5 方向（0 度，45 度，90 度，135 度，180 度）
・装置間距離：3 通り（ D=3.1R, 5R, 6R ）

65

5.3.1. 流れ場
主流の向き及び装置間の距離を変化させた場合の回転装置周りの流れ場の例を
Fig.5-23～Fig.5-28 に示す．各装置の周速比は 0.5 とし，図中の黒い矢印は流速ベクトル

を表している．主流の向きは 0 度，45 度，90 度，135 度，180 度の 5 方向に変化させ
た．また装置間の距離は，サボニウス型回転装置の回転軸からブレード先端までの距
離（回転半径）をＲとしたとき，2 つの回転装置間の距離Ｄが 3.1R，5R となる場合に
ついて主に計算を行った．なお，前節までにおいては D=3.1R として計算を行ってい
る．
Fig.5-23，Fig.5-24 は装置間距離がそれぞれ D=3.1R，D=5R であり，0 度の流れ（流れ

は図中左から右）を受け，互いに逆方向に回転している 2 台の装置のブレードが接近
した回転角での流れ場を表している．いずれも装置 1 台を含む計算領域のつなぎ目を
軸として概ね対称な流れが見られるが，装置間や後流にできる渦の大きさが若干異な
っている．Fig.5-23 では接近したブレード間に流れが引き込まれた後に押し出されてい
るが，Fig.5-24 では接近したブレード間に距離が十分にあるため，ブレード間の流れは
装置の回転による引き込みや押し出しなどの影響を受けていないことがわかる．
Fig.5-26, Fig.5-28 は 45 度の流れ（流れは図中左下から右上）で装置間距離がそれぞ

れ D=3.1R，D=5R の場合である．Fig.5-26 は 2 つの装置の間を主流が通過する際に両装
置の回転の影響によって流れの方向が変化している様子が見られるが， Fig.5-28 では
主流は 45 度のまま変化せずに通過しており，回転の影響を受けていないと言える．

66

Fig.5-23 Flow field (0 degrees flow, distance between turbines: 3.1R , θ=1899°)

Fig.5-24 Flow field (0 degrees flow , distance between turbines: 5R , θ=1899°)

67

Fig.5-25 Flow field (45 degrees flow, distance between turbines: 3.1R , θ=1899°)

Fig.5-26 Flow field (45 degrees flow, distance between turbines: 3.1R, θ= 1962°)

68

Fig.5-27 Flow field (45 degrees flow, distance between turbines: 5R, θ=1899°)

Fig.5-28 Flow field (45 degrees flow , distance between turbines: 5R , θ=1962°)

69

5.3.2. トルク
次にトルク係数の時間変化の例を示す．Fig.5-29，Fig.5-30 は装置間距離がそれぞれ
D=3.1R，D=5R であり，45 度の流れを受けて互いに逆方向に回転する 2 台の装置のト
ルク係数の時間変化を表している．各図において(a)は装置１，(b)は装置２，(c)は 2 台
合計のトルク係数の時間変化である．また，(a)(b)の 3 系列のうち，点線の 2 系列は装
置の 2 枚のブレードの個々の値を表し，実線は 2 枚のブレードの値を合計した装置 1
台分のトルク係数を表している．(c)の 3 系列のうち，青の点線は装置１，緑の点線は
装置２，実線は装置１と装置２の値を合計したトルク係数を表している．
Fig.5-29 (a)(b)において，各ブレードは 1 回転ごとにピークをもつが，そのピークは半

回転ずれている．そのため装置 1 台では 1 周期に 2 回のピークをもつ．これらの装置
1 台のトルク（実線）をまとめたものが Fig.5-29 (c)であり，2 系列の点線がそれぞれの
装置 1 台分のトルクであるが，装置１と装置２の周期にずれがあるため，2 台合計し
たトルクには複雑な変化が見られ，合計したトルクは正の値となっている．Fig.5-30 に
おいても同様に 2 台合計のトルク係数の値は正の値で変化しており，主流が 45 度の
場合は装置間の距離によらないと考えられる．先行研究[40]や前述の 5.1.2 (1)，5.2.2 に
おいては主流が 0 度の場合のトルク係数の時間変化を掲載しているが，2 台合計のト
ルク係数の周期中に負の値になる時間があることと比較すると主流が 45 度の場合が
優位であると言える．

70

(a)

(b)

(C)

Fig.5-29 Time history of the torque coefficient (45 degrees flow, distance between turbines: 3.1R)
(a) turbine1, (b)turbine2, (c) turbine1+turbine2

71

(a)

(b)

(C)

Fig.5-30 Time history of the torque coefficient (45 degrees flow, distance between turbines: 5R)
(a) turbine1(b)turbine2 (c) turbine1+turbine2

72

Table 1 は主流の向き及び装置間距離を変化させた場合の平均トルク係数をまとめた

ものである．ここで回転開始時は動作が安定しないと考えられるため，計算時間を
10 回転とした場合の 6～10 回転のトルク係数の平均値を算出した．トルク係数の値は
2 台の装置の平均のトルク係数を表している．表の縦の欄は主流の方向を，横の欄は
装置間距離を表す．
2 台の平均のトルク係数は主流 45 度，135 度の場合に値が大きく，主流 90 度の場
合に値が小さくなっている．主流 45 度・装置間距離 3.1R の場合に最大となっている
が，主流 45 度の場合，装置２は装置１の後ろに入っていないため主流を直接受ける
ことができることに加え，上流側の装置１によって変化した流れを受けることにより
トルクの値が増したと考えられる．135 度についても同様の理由が考えられるが，45
度と 135 度では主流の向きに対するブレードの回転方向の凹凸が異なるため，45 度
の方がより効果があったと考えられる．
また，主流 45 度で他の装置間距離の場合と比較すると，装置間距離 5.0R 及び 6.0R
の値は 0.37 程度でほぼ同じだが，装置間距離 3.1R は 0.44 であり増大している．装
置間距離 3.1R の場合，先述した装置１による流れの変化の影響を受けるが，装置間
距離 5.0R 及び 6.0R では装置１による流れの変化の影響を受けていないと考えられる．
このことは Fig.5-23～Fig.5-28 の流れ場を見ても明らかである．

Table 1 Average value of torque coefficient of two turbines
distance between two turbines
3.1R

5.0R

6.0R

0 deg. flow

0.3092

0.3391

0.3275

45 deg. flow

flow

0.4432

0.3787

0.3625

flow(*1)

0.2716

0.2360

0.2413

135 deg. flow

0.3419

0.3731

0.3782

180 deg. flow

0.3066

0.3199

0.3339

90 deg.

（*1：下流側のトルクの変動が大きいため 5 回転分の平均値では不正確な可能性があ
る）

73

5.3.3. 本節のまとめ
2 台の装置間距離を 3 通りに，また主流の方向を 5 通りに変化させ，装置周辺の流
れとトルクの変化を検討した．
トルク係数は主流 45 度，135 度の場合に値が大きくなり，主流 90 度の場合に小さ
くなる．また，装置間距離が小さい場合は装置の回転による相互作用が大きく現れる．
装置同士の干渉を避けて装置同士を遠く離して設置するよりも近い距離に設置する
方が装置同士の相互作用により効率が上がり，また流れに対する装置の位置関係は発
電効率に影響するという結果となり，効率的・安定的に発電可能な位置関係が示唆さ
れる．

74

5.4.

装置の回転位相差についての検討

本節では 2 台の回転装置が位相の差をもって互いに逆方向に回転する場合に着目して
検討した[38]．位相差のつけかたは，位相差がない場合を初期にとり，２つの回転装
置の回転速度を変化させ所定の位相差になったとき，２つの回転装置の回転速度を同
一にするという方法を用いた．装置に対する流れの方向は前節同様，0 度，45 度，90
度，135 度，180 度の 5 方向とした（Fig.5-31）
．2 台の装置の回転角が Fig.5-32 に示すよ
うにそれぞれ 0 度，45 度，90 度，135 度ずれて回転しているとして流れやトルクに及
ぼす効果を調べた．なお回転が 180 度ずれた場合は 0 度と幾何学的に同じであり検討
は行っていないが，参考として記載した．
．

Fig.5-31 Schematic diagram of four Savonius turbines

75

0 deg.

45 deg.

90 deg.

135 deg. 180 deg.

Fig.5-32 Phase difference between two turbines

・装置：2 台
・周速比：λ＝0.5 に固定
・回転方向：独立に逆方向に回転
・流れの方向：5 方向（0 度，45 度，90 度，135 度，180 度）
・装置間距離： D=3.1R に固定
・装置の回転位相差：4 通り（0 度，45 度，90 度，135 度）

76

5.4.1. 流れ場
2 つの装置を周速比𝜆 = 0.5 で回転させた場合の回転装置近傍の流れ場を Fig.5-33～
Fig.5-38 に示す．各図において上段は速度ベクトルを，下段は圧力の等値線を表してい

る．ここでは装置と流れの関係をつかむため，代表的な例として主流の向きが 2 装置
に対して平行，斜め，垂直に流れが当たるケースとして流れの迎角が 0 度，45 度，90
度の場合，そして位相差の有無という点で位相差が 0 度及び 90 度の場合について示
す．
Fig.5-33 は流れの迎角が 0 度，すなわち流れが図の左から右に向かって流れている場

合，装置の回転開始 4 回転後から 90 度，135 度回転した時点の速度ベクトルを順に示
している．これらは 2 台の装置に位相差がないが，同条件で 2 台の装置に位相差が 90
度ある場合について Fig.5-34 に示す． 同様に迎角が 45 度で位相差がない場合を Fig.5-35
に，迎角が 45 度で位相差が 90 度ある場合を Fig.5-36 に，迎角が 90 度で位相差がない
場合を Fig.5-37 に，迎角が 90 度で位相差が 90 度ある場合を Fig.5-38 に示す．
迎角が 0 度で 2 台の装置に位相差がない Fig.5-33 において，流れはほぼ上下対称に
なっていることがわかる．また 2 つの回転装置に挟まれた部分に着目すると，装置の
回転に伴って流体が左から右に押し出されている様子がわかる．この流れにより，2
つの装置のバケット先端に生じた渦が中央から右方向へと移動している．
迎角が 0 度で 2 台の装置に位相差がある Fig.5-34 の場合，流れは上下で対称でなく
なっている．2 つの回転装置に挟まれた部分は 90 度の位相差をもってバケットが交
互に回転してくるため，交互に渦が生じて右方向へと押し出されている様子が見られ
る．
迎角が 45 度で 2 台の装置に位相差がない場合（Fig.5-35）
，流れの上下の対称性が崩
れている．Fig.5-33 ほど強くないが 2 つの回転装置に挟まれた部分では流体の押し出し
がみられる．また，装置２は装置１をよけた主流を直接受けるだけでなく装置１の回
転により変化した流れが当たっている様子が見られ，装置２のトルクは装置１から受
ける作用によって大きくなると考えられる．
迎角が 90 度の場合（Fig.5-37, Fig.5-38）
，位相差の有無に関わらず，風上側（図中下）
の装置１がつくる後流部分に風下側（図中上）の装置２が入っていることがわかる．
2 装置間の領域の速度ベクトルが短くなっていることから，風下側の装置には弱い流
れしかあたっておらず，装置２で得られるトルクは装置１からの作用として小さくな
ると考えられる．

77

迎角が 135 度の場合は迎角 45 度の場合と，迎角 180 度の場合は迎角 0度の場合と同
様の傾向が見られた．

Fig.5-33 Flow field (0 degrees flow, phase difference: 0 deg., θ= 1440+ 90, 135)

78

Fig.5-34 Flow field (0 degrees flow, phase difference: 90 deg., θ= 1440+ 90, 135)

79

Fig.5-35 Flow field (45 degrees flow, phase difference: 0 deg., θ= 1440+ 90, 135)

80

Fig.5-36 Flow field (45 degrees flow, phase difference: 90 deg., θ= 1440+ 90, 135)

81

Fig.5-37 Flow field (90 degrees flow, phase difference: 0 deg., θ= 1440+ 90, 135)

82

Fig.5-38 Flow field (90 degrees flow, phase difference: 90 deg., θ= 1440+ 90, 135)

83

5.4.2. トルク
Fig.5-39 から Fig.5-41 は，流れの方向を 5 方向に変化させた場合の，個々の装置およ

び 2 つの装置合計の 2 回転分のトルク係数を表したものである．横軸は回転角，縦軸
はトルク係数を示しており，2 つの装置は位相差なしに回転している．Fig.5-42 から
Fig.5-44 は上記のトルク係数を 2 回転目から回転時間全体にわたって積算した値を表し

たものであり，横軸は回転角，縦軸は装置 2 台合計のトルク係数の積算値を示す．
Fig.5-39 および Fig.5-42 より装置１のトルクは流れの向きにより変化し，45 度が最大，

90 度・180 度が同程度小さく，20％程度小さい値となっている．0 度の場合，2 台の装
置のトルクはほぼ等しい値となっているが，Fig.5-40 および Fig.5-43 より流れの向きに
よって大きな差が生じている．すなわち，45 度で最大，90 度で最小となっており，0
度と比較すると 45 度は 60％程度大きく，90 度は 30％程度小さくなっている．45度の
場合，装置２が斜めの方向から直接受ける主流と上流側の装置１によって変化した流
れの両方を受けることによりトルクが大きくなっていると考えられる．一方，流れが
90 度の場合，装置２は装置１の影となって直接当たる主流が少なくなるため，トル
クが小さくなっていると考えられる．主流が 135 度の場合は 45 度と同様に装置２は
斜め方向から主流を直接受けるが，45 度ほどトルクは大きくなっていない．装置形
状と回転方向の関係により，135 度は 45 度ほどトルクが増加しないと考えられる．装
置 2 台合計のトルクは Fig.5-44 より 45 度で最大，90 度で最小となっている．合計値は
0 度と比較すると 45 度では 30％程度大きく，90 度では 20％程度小さくなっている．
次に位相差を変化させた場合について，代表例としてトルクが最大となった主流が
45 度の場合のトルク係数の時間変化を Fig.5-45 から Fig.5-47 に, トルク係数の積算値を
Fig.5-48 から Fig.5-50 に示す．
Fig.5-45 および Fig.5-48 より，位相差が異なっても装置１のトルク係数の値の差はほ

とんど見られないため位相差の影響は小さい．一方，装置２のトルクは位相差により
大きさの違いが生じ，Fig.5-49 の装置２のトルク係数の積算値を見ると，値の大きい順
に位相差 0 度と位相差 180 度がほぼ同じ，位相差 45 度と位相差 135 度がほぼ同じであ
り，位相差 90 度が最小となっている．また，装置 2 台合計のトルク係数の積算値
（Fig.5-50）は，装置１のトルクはほぼ同じため，装置２のトルクの違いがそのまま 2
台合計のトルクの違いとなっており，0 度≒180度＞ 45 度≒ 135 度 ＞90 度 という結
果となった．以上より主流の角度が同じ場合，位相差が異なると主として後流側の装
置の影響でトルク係数に変化が生じるという結果が得られた．

84

Fig.5-39 Time history of the torque coefficient of turbine01 (phase difference: 0 deg.)

Fig.5-40 Time history of the torque coefficient of turbine02 (phase difference: 0 deg.)

Fig.5-41 Time history of the torque coefficient of two turbines (phase difference: 0 deg.)

85

Fig.5-42 Integrated value of the torque of turbine01 with respect to rotation angle (phase difference: 0 deg.)

Fig.5-43 Integrated value of the torque of turbine02 with respect to rotation angle (phase difference: 0 deg.)

Fig.5-44 Integrated value of the torque of two turbines with respect to rotation angle (phase difference: 0 deg.)

86

トルク係数

Ct

1

0.5

0

-0.5
1440

1800
0度

位相差

45度

90度

2160
135度

回転角(度)

Fig.5-45 Time history of the torque coefficient of turbine01 (phase difference: 45 deg.)

トルク係数

Ct

1.5

1

0.5

0

-0.5
1440
位相差

1800
0度

45度

90度

135度

2160
回転角(度)

Fig.5-46 Time history of the torque coefficient of turbine02 (phase difference: 45 deg.)

トルク係数

Ct

2
1.5
1
0.5
0
1800

2160

2520

-0.5
回転角(度)
位相差
-1

0度

45度

90度

135度

Fig.5-47 Time history of the torque coefficient of two turbines ( phase difference: 45 deg.)

87

Fig.5-48 Integrated value of the torque of turbine01 with respect to rotation angle (45 degrees flow, with phase
difference)

Fig.5-49 Integrated value of the torque of turbine02 with respect to rotation angle (45 degrees flow, with phase
difference)

Fig.5-50 Integrated value of the torque of two turbines with respect to rotation angle (45 degrees flow, with phase
difference)

88

5.4.3. パワー係数
流れの方向と回転位相差による装置間の相互作用を明らかにするため，回転位相差
ごとに，5 方向の流れの装置 2 台のパワー係数を Fig.5-51 に示す．図中，回転位相差ご
とに，主流の向きによるパワー係数を各装置それぞれ棒グラフに表し，2 台の装置の
パワー係数の平均値を折れ線グラフで示している．
位相差がない場合は， 2 装置の平均パワー係数は主流 45 度の場合に最大となり，
主流 90 度の場合に最小となる．位相差 0 度，主流 45 度のパワー係数は，装置１は他
の場合と同程度であるが，装置２のパワー係数は他の場合と比較して明らかに大きく
なっている．これは上流側の装置１による作用によるものであると考えられる．また，
位相差 0 度，主流 90 度の装置２のパワー係数は装置１の後流に入っているために小
さくなっており，装置１の影響であるといえる．
位相差 45 度の場合，パワー係数の平均値は主流 90 度で最小となっているが，主流
90 度で他の位相差の場合と比較すると，最も大きい値となっている．主流 90 度の場
合装置２は装置１の後流に入っているが，位相差が 45 度あることにより，装置１の
回転で変化した流れが装置２のバケットの凹みに入ること等で相互作用によってパワ
ーが大きくなると考えられる．また位相差 45 度ではすべての主流の向きにおいて装
置２のパワー係数が装置１のパワー係数を上回っており，位相差が効果的に働いてい
ると考えられる．位相差 90 度の全ての主流の向き，位相差 135 度の主流 90 度を除い
た場合について同様に装置２のパワー係数が装置１のパワー係数よりも大きくなって
いる．主流の向きと位相差の組み合わせにより相互作用が働いていると考えられる．
主流の向きに着目すると，主流 0 度の場合の平均パワー係数はいずれの位相差でも
ほぼ等しい結果となった．主流 45 度の場合は位相差が 0 度の場合に最大，位相差 90
度の場合に最小となった．
さらに主流が 90 度の場合はどの位相差においても主流が他の角度の場合よりも平
均パワー係数は小さくなっているが，このうち，位相差が 45 度の場合は他の位相差
と比較すると平均パワー係数がやや大きくなっている．主流が 135 度の場合はいずれ
の位相差でもほぼ等しいが位相差 135 度のときやや小さく，主流が 180 度の場合は位
相差 0 度のときやや小さい．このように 2 装置の相互作用の効果を考慮して主流の向
きによって適切な位相差をつけることにより，出力を調節することが可能であると考
えられる．
一方で，主流が変化しないと考えると，主流が 45 度となるように 2 台の装置を配

89

置し，位相差をつけずに回転させると最も優位となる．
長時間運転する場合は主流の方向が変化する可能性が高いと考え，Table 2 に示す主
流 5 方向の総計のパワー係数で評価すると，位相差を 45 度つけて回転させておくこ
とにより多くの出力が得られると考えられる．

装置１

0.3

装置２
2装置の平均

パワー係数

Cp

0.25
0.2
0.15
0.1
0.05

位相差0度

位相差45度

位相差90度

主流180度

主流135度

主流90度

主流45度

主流0度

主流180度

主流135度

主流90度

主流45度

主流0度

主流180度

主流135度

主流90度

主流45度

主流0度

主流180度

主流135度

主流90度

主流45度

主流0度

0

位相差135度

主流の向き及び2装置の位相差
Fig.5-51 Power coefficient with flow direction and phase difference between two devices

Table 2

主流 5 方向の
合計値

Total value of power coefficient with fixed phase difference

位相差 0 度

位相差 45 度

位相差 90 度

位相差 135 度

0.8320

0.8424

0.7937

0.8043

90

5.4.4. 本節のまとめ
2 台の装置の回転の位相差を変化させたところ，主流の向きと位相差の大きさによ
って装置のトルク係数及びパワー係数が変化することが観察された．主流の向きによ
って適切な位相差をつけることにより，出力を調節することが可能であると示唆され
る．また，長時間運転する場合は主流の方向が変化する可能性が高いと考え，5 方向
の総計のパワー係数で評価すると，位相差 45 度として運転すると優位であると考え
られる．

91

5.5.

装置の設置台数を増やす場合についての検討

本節では Fig.5-52 に示すように，一定の角速度で独立に逆方向に回転する 4 つの同
じ大きさのサボニウス型回転装置を配置した場合を想定する．装置の回転軸同士をつ
ないだラインを x 軸，y 軸に取り，x 軸とのなす角φを，0 度，45 度とするような二方
向の流れがあたるとして計算を行い，装置周りの流れやトルクへの相互作用を検討し
た[39]．

Fig.5-52 Schematic diagram of four Savonius turbines

・装置：4 台
・周速比：λ＝0.5 に固定
・回転方向：独立に互いに逆方向に回転
・流れの方向：2 方向（迎角 0 度，45 度）

92

5.5.1. 流れ場
主流の向きを変化させた場合の回転装置周りの速度場の例を示す. 主流の向きが 0
度の場合（Fig.5-53:流れは左から右）,45 度の場合（Fig.5-54:流れは左下から右上）につ
いて回転に伴う変化の様子を表している．各装置の周速比は 0.5 であり，図中の黒い
矢印は流速ベクトルを表している．
主流の向きが 0 度の場合（Fig.5-53）,計算領域の中央部の主流に沿ったつなぎ目を
軸として，図中下半分の装置１，３と上半分の装置２，４の周りに概ね対称な流れが
生じている様子が見られる．
主流の向きが 45 度の場合（Fig.5-54）
，装置１，２の回転により流れは 2 装置間に引
き込まれ，ブレード間隔が狭まることにより渦が生じている（Fig.5-54(a)）
．さらに装
置２の回転により装置２－装置４の間に引き込まれ，装置間の狭い領域を通過した後，
再び流れに渦が発生している（Fig.5-54(c)）
．また，主流の流れとしては装置１－装置
３の間は装置１－装置２の間と比較して流量が少ないと考えられる．これは装置１－
装置２の間では装置の回転に伴って流れが引き込まれるのに対し，装置１－装置３間
は装置の回転によって領域内側から外側へ流れが押し出される時には主流が流入しに
くいためと考えられる．

93

(a) θ=450

(b) θ=495

Flow

(c) θ=495

(d) θ=585

Fig.5-53 Flow field around four turbines (0 degrees flow)

94

(a) θ=450

(b) θ=495

Flow
(c) θ=540

(d) θ=585

Fig.5-54 Flow field around four turbines (45 degrees flow)

95

5.5.2. 圧力
主流の向きが 0 度の場合，45 度の場合の圧力変化の様子を Fig.5-55 及び Fig.5-56 に時
系列に示す． 各装置の周速比は 0.5 であり図中の線はカラーバーに示す色によって圧
力の値を表した等値線である．これらの等値線を見ると，分割した領域のつなぎめで
データの受け渡しがうまくできていることがわかる．
主流の向きが 0 度の場合（Fig.5-55）
，領域中央部の主流に沿ったつなぎ目に対して
下半分の装置１，装置３と上半分の装置２，装置４の周りで概ね対称な流れとなって
いることが圧力分布からもわかる．また，上流側にある装置１，装置２の周辺は装置
３，装置４の周辺よりも圧力が高くなっている．
主流の向きが 45 度の場合（Fig.5-56）
，装置１と装置４の中心を結んだ線に対して圧
力分布が対称になっている傾向が見られるが，渦が生じている位置や等値線のつなが
りは必ずしも対称ではない．これは各装置の回転方向が影響していると考えられる．
また
Fig.5-56 (a)において装置１，装置２の回転によって引き込まれた流れによって生じた

渦は装置２の回転に伴い装置２，装置４の間を通り（Fig.5-56(b)(c)）
， 装置４の後方へ
と流出している. 各装置の回転方向の関係からこの渦が流出したルートに最も流量が
あると考えられる．

96

(a) θ=450

(b) θ=495

flow

flow

flow

(c) θ=540

(d) θ=585

Fig.5-55 Contour line of pressure around four turbines (0 degree flow)

97

(a) θ=450

(b) θ=495

flow

flow

flow

(c) θ=540

(d) θ=585

Fig.5-56 Contour line of pressure around four turbines (45 degrees flow)

98

5.5.3. トルク
4 台の装置が周速比 0.5 で回転する場合のトルク係数の変化を示す．Fig.5-57，
Fig.5-58 は主流の向きが 0 度の場合及び 45 度の場合の装置１のトルク係数の変
化である．横軸は時間（回転角），縦軸はトルク係数の値である．サボニウス
型回転装置の 2 枚のブレードについてそれぞれトルクを算出し，その合計を装
置１全体のトルクとした．各図の 3 系列のグラフはそれぞれ回転初期状態で左
側に位置したブレード 1（青色点線）, 回転初期状態で右側に位置したブレード
2（赤色点線），2 枚のブレードを合計した装置１全体のトルクの値（紫色実線）
を示している．
主流の向きが 0 度の場合（Fig.5-57），2 枚のブレードのトルクの周期は 180
度ずれており, トルク係数の値はほぼ等しい．また, 2 枚のブレードの値を合計
した装置１全体のトルクの変化は 1 周期にピークを 2 つもつ形となっており，
およそ-0.4～0.7 の間で変化している．
主流の向きが 45 度の場合（Fig.5-58），0 度の場合と同様，2 枚のブレードの
トルクの周期は 180 度ずれており，トルク係数の値はほぼ等しい． また，2 枚
のブレードの値を合わせた装置１全体のトルク変化は 1 周期にピークを 2 つも
つ形となっており，およそ-0.2～0.6 の間で変化している.

99

Fig.5-57 Time history of the torque coefficient (Turbine01, 0 degrees flow)

Fig.5-58 Time history of the torque coefficient (Turbine01, 45 degrees flow)

100

Fig.5-59 は主流の向きが 0 度の場合と 45 度の場合の装置１のトルク係数の合

計値を示したものである. グラフの赤線は 0 度の場合, 青線は 45 度の場合を示す．
0 度と 45 度のトルクの値を比較すると 0 度の場合の方が大きくなっており, ト
ルクの周期はおよそ 45 度ずれている．これらは主流の向きの影響によるもの
であると考えられる．
Fig.5-60 は主流の向きが 0 度の場合と 45 度の場合に装置が 1 回転した後から

10 回転までのトルク係数の値を積算して示したものである． 横軸は時間（回
転角），縦軸はトルク係数の積算値であり，グラフの赤線は 0 度の場合, 青線は
45 度の場合を示す． いずれもほぼ線形で増加しており，安定したトルクが得
られることがわかる．また，0 度の流れの場合は 45 度の流れよりも大きなトル
クが得られている．

Fig.5-59 Time history of the torque coefficient (Turbine01)

101

Fig.5-60 Total value of the Torque Coefficient ( Turbine01)

先行研究[35]において得られたデータから，本研究の Fig.5-59, Fig.5-60 に相当
する結果を Fig.5-61，Fig.5-62 に示す．先行研究は計算領域に回転装置 2 台を配
置して互いに逆方向に回転させた場合，本研究は計算領域に装置 4 台を配置し
て互いに逆方向に回転させた場合である． Fig.5-59，Fig.5-59 において，0 度の
場合（赤線）と 45 度の場合（青線）を比較するといずれもトルクの大きさ，
波形にやや違いが見られる． Fig.5-60 ， Fig.5-62 において，積算値はいずれもほ
ぼ線形に増加しており，先行研究（Fig.5-62）では 2 つの装置のトルク積算値は
ほぼ等しくおよそ 450 となっている．本研究（Fig.5-60）では 0 度の流れの積算
値およそ 380，45 度の流れの積算値はおよそ 300 となっており値に差が出てお
り，先行研究の値よりも小さくなっている．これは装置を 4 台設置したため，
下流側の 2 台の装置による影響を受けたためと考えられる．

102

Fig.5-61 Time history of the torque coefficient (Turbine01)

Fig.5-62 Total value of the Torque Coefficient ( Turbine01)

103

主流の方向を装置の回転軸同士をつないだラインに対して変化させたところ，
4 台の回転装置の位置関係により複雑な流れが生じていることが観察された．
また主流の迎角が 45 度の場合，上流側の回転装置による流れの変化が下流側
の回転装置に影響を及ぼしていることが観察された．これらの流れの特徴は主
流の方向と装置の回転方向との関係からある程度理解ができる．
ここまではトルクについて装置１に着目し先行研究と比較して述べたが,他の
装置及び全装置の合計について流れの角度や装置台数がトルクに及ぼす影響を
次に示す．Fig.5-63,Fig.5-64 は主流の流れが 0 度，45 度の場合の 4 つの装置それ
ぞれのトルクの時間変化を示したものであり，グラフの配置は Fig.5-52 におけ
る装置の配置に対応している．
Fig.5-63 では流れの上流に位置する装置１と装置２，下流に位置する装置３と

装置４のトルクがそれぞれおおむね等しい値となっている．下流の装置は上流
の装置と比べトルクの値が小さくなっているが，上流の装置に遮られて主流を
直接受けていないためと考えられる．Fig.5-64 では，装置２及び装置３のトルク
の値は装置１と比較すると大きくなっている．45 度方向からの流れの場合，装
置２及び装置３は他の装置に遮られずに直接主流を直接受けることが可能であ
るが，装置１によって変化した流れが加わってトルクが増加したと考えられる．

104

turbine02

1
0.5
0

1
0.5
0

-0.5

-0.5
0

360

720

1080

1440
1800
Rotation angle

0

turbine01

1.5

Torque Coefficient

Torque Coefficient

turbine04

1.5

Torque Coefficient

Torque Coefficient

1.5

1
0.5
0

360

720

1080

1440
1800
Rotation angle

720

1080

1440
1800
Rotation angle

turbine03

1.5
1
0.5
0

-0.5

-0.5
0

360

720

1080

1440
1800
Rotation angle

0

360

Fig.5-63 Time history of the torque coefficient (0 degrees flow)

turbine02

1
0.5
0
-0.5

1
0.5
0
-0.5

0

360

720

1080

1440
1800
Rotation angle

0

turbine01

1
0.5
0

360

720

1080
1440
1800
Rotation angle

720

1080

turbine03

1.5

Torque Coefficient

1.5

Torque Coefficient

turbine04

1.5

Torque Coefficient

Torque Coefficient

1.5

1
0.5
0

-0.5

-0.5
0

360

720

1080

1440
1800
Rotation angle

0

360

1440
1800
Rotation angle

Fig.5-64 Time history of the torque coefficient (45 degrees flow)

105

Torque Coefficient

2.5

grid:4 turbines
flow: 0 degree

2
turbine1
1.5

turbine2
turbine3
turbine4

1

total
0.5
0
-0.5
0

360

720

1080

1440

1800
Rotation angle

Torque Coefficient

Fig.5-65 Time history of the torque coefficient (0 degrees flow)

2.5

grid:4 turbines
flow: 45 degree

2
turbine1
turbine2

1.5

turbine3
turbine4

1

total
0.5
0
-0.5
0

360

720

1080

1440

1800
Rotation angle

Fig.5-66 Time history of the torque coefficient (45 degrees flow)

106

Fig.5-67, Fig.5-68 は主流の流れが 0 度，45 度の場合の 4 つの装置それぞれのト

ルク及び 4 つの装置のトルク合計値の時間変化を示したものである．4 台のト
ルク合計値は複雑に変化しており，回転による総トルクを把握して比較するこ
とは困難である．そこで時間経過に従ってトルクを積算した値で比較する．
Fig.5-67 は 4 つの装置それぞれのトルクを時間経過に従って積算して表したもの

であり，グラフの配置は Fig.5-63, Fig.5-64 と同様に Fig.5-52 における装置の配置
に対応している．Fig.5-68 は 4 台合計のトルクを積算して表したものである．
個々のトルク積算値を比較すると，装置１のみ主流 0 度のトルク積算値が 45 度
より大きく，その他の装置は主流 45 度のトルク積算値が 0 度よりも大きい．4
台合計のトルク積算値は回転とともにほぼ直線的に増加するという結果になり，
複数台の装置で安定した出力が得られることがわかる．また主流 45 度の場合，

turbine2

Torque Coefficient

Torque Coefficient

主流 0 度の場合より約 68%大きい値となった．

800
600
400

800
600
400
200

200

0

0
0

720

1440

2160

0

2880
3600
Rotation angle

720

1440

2160

2880
3600
Rotation angle

1440

2160

2880
3600
Rotation angle

turbine3

turbine1
800

Torque Coefficient

Torque Coefficient

0 degree
45 degree

turbine4

600
400
200

800
600
400
200

0
0

720

1440

2160

2880
3600
Rotation angle

0
0

720

Fig.5-67 Total value of the torque coefficient

107

Torque Coefficient

2500

2000

1500

grid:4 turbines
0 degree

1000

45 degree

500

0
0

360

720

1080

1440

1800

2160

2520

2880

3240 3600
Rotation angle

Fig.5-68 Total value of the torque coefficient of four turbines

5.5.4. 本節のまとめ
本節では，本研究で提案したサボニウス型回転装置用差分格子を用いて 4 つ
の回転装置を設置した場合の計算を行い，格子の拡張性を検証した．
流れ場を表示して観察したところ，装置間の各領域の境界部分において異常
値のようなものは見られず，接続に問題ないことが確認できた．
主流の方向を装置の回転軸同士をつないだラインに対して変化させたところ，
4 台の回転装置の位置関係により複雑な流れが生じていることが観察された．
また主流の迎角が 45 度の場合、上流側の回転装置による流れの変化が下流側
の回転装置に影響を及ぼしていることが観察された．トルクについて各装置そ
れぞれの値及び全装置合計の値について調べたところ，主流の迎角が 45 度の
場合，0 度の場合に比較して約 68％大きい値となり，主流の向きと装置間の相
互作用によりトルクを効果的に得ることが可能であると示唆される．

108

第6章 総括
本研究では，主に独立して回転する 2 つのサボニウス型の回転装置を用いた
2 次元シミュレーションを対象とし，精度を保ちつつ計算量を減らす差分格子
の生成を含む計算手法を提案した．提案手法を用い，非圧縮性 Navier‐Stokes
方程式を，各領域でフラクショナルステップ法により解くことで検証を行った．
なお，提案手法を用いて作成したシミュレーションプログラムの妥当性の検証
については，計算結果から領域の境界部分における流れ場および回転領域内の
流れ場の妥当性の検証，また，過去の実験によるサボニウス型回転装置での先
行研究の結果と比較することにより行った．
第一に，一対の回転装置を並べた場合における，流れの方向による 2 つの回
転装置のトルク係数の違いを比較するため，一対の回転装置の軸同士を結んだ
線分に垂直に流れがあたる場合（0 度），斜めに当たる場合（45 度），平行に流
れが当たる場合（90 度） の 3 通りについて計算を行った．結果として，0 度の
場合には両装置間に差異が見られず，45 度の場合には下流側に位置する装置の
トルク係数が上流側を上回り，90 度では下流側の装置のトルク係数が著しく低
下した．この結果から，上流側の装置によって主流が曲げられたり渦が生じた
りすることで，下流側の装置のパフォーマンスに影響することが示唆された．
第二に，一対の回転装置を並べた際に，その回転方向によって流れがどのよ
うに変化するかを検証するため，同一方向に回転する場合と互いに逆方向に回
転する場合を比較検証した．その結果，装置の回転方向に関わらず，主流の方
向と装置の位置関係が効率的な運転に影響することが示唆された．
第三に装置の設置距離によって効率がどのように変化するか検証するため，
回転装置の半径の長さを R とし，その比で回転装置の回転軸間の距離が 3.1R
となる場合，5R となる場合，6R となる場合について計算を行った．結果とし
て，装置間距離が小さいときほど相互作用が大きく現れ，その相互作用は回転
効率に対してはプラスに働いていたため，鏡写しになった 2 つの装置に 0 度の
方向から流れが当たる場合には，装置同士の干渉を避けて装置同士を遠く離し

109

て設置するよりも，近い距離に設置する方が，装置同士の相互作用により効率
が上がることが明らかとなった．
第四に， 一対の回転装置を鏡写しに並べた場合だけではなく位相差を設定し
た場合の振る舞いについても検討するため，片方の装置に位相進みを持たせ，
それぞれについて主流の方向を 5 方向に変化させて計算を行った．結果として，
距離や主流の方向による 2 つの装置間での相互作用が生じている場合，装置同
士の位相差が効率に影響することが確認できた．また，主流の方向によって効
率に優位となる位相差があることが確認できた．
最後に，装置を多数設置した場合の計算への拡張性の確認として，装置を 4
つ設置した場合の計算を行った．主流の方向が 0 度方向および 45 度方向の場
合の流れ場を表示したところ，装置間の結合部では異常値のようなものは見ら
れず，問題なく接続できていることが確認できた．結果として，より実際的な
条件としてさらに回転装置を増やした場合の計算や最適配置設計にも本手法が
適用可能であることを示唆し，実際に多くの装置を配置した計算を行うことの
有意性を示した．
本研究では，海流発電における装置の開発・設置に関する先駆けとなる，計
算手法の提案及び基礎的検討を行った．前述の結果から，装置間の相互作用を
考慮した最適な配置が存在することも示唆されるため，今後，本手法をさらに
拡張しより大規模なシミュレーションを行うことで，海流発電の今後の発展に
大きく寄与することが見込まれる．

110

謝辞
本論文を作成するにあたり，多くの方々のご理解とご協力，多大なるご指導
とご助言を頂きましたことを，心よりお礼申し上げます．
大学院博士前期課程進学にあたり指導教員として受け入れて下さり，後期課
程においても引き続きあたたかくご指導ご助言いただきましたお茶の水女子大
学名誉教授河村哲也先生に心より感謝いたします．
指導教員として終始多大なご指導を賜ったお茶の水女子大学基幹研究院教授
吉田裕亮先生に心から感謝いたします．副指導教員の同准教授工藤和恵先生，
審査員の同教授浅本紀子先生，同教授伊藤貴之先生，同教授小林功佳先生には
より良い論文のための有益な助言を数多くいただきましたこと，深く御礼を申
し上げます．
本研究の一部は JSPS 科研費 19K04165 の助成を受けたものです．流れ場の可
視化には計算流体力学研究所製可視化ソフトウェア Clef を使用させていただき
ました．一般財団法人生涯学習開発財団より博士号取得支援助成金，お茶の水
女子大学より博士後期課程研究奨励賞をいただきました．
日本文理大学准教授永田裕作先生，群馬大学助教桑名杏奈先生，成蹊大学助
教齋藤文先生には博士前期課程在学中から現在に至るまで多数のご指導とご助
言を頂きました．たくさんの先生方に学会やゼミなどでご助言を頂きました．
学部時代の指導教員である東京都立大学客員教授湯浅三郎先生には博士後期課
程進学にあたり背中を押していただき，折々に温かい励ましをいただきました．
中高時代からの友人であるお茶の水女子大学基幹研究院教授矢島知子先生，横
浜国立大学国際社会科学研究院准教授鈴木香織先生には博士論文執筆にあたり
貴重なご助言，励ましをいただきました．佐々木桃さん，廣田梨那さん始め吉
田研究室の皆さん，倉橋碧さん，駒崎真以美さん始め旧河村研究室の皆さんの
お陰で充実した大学院生活を過ごすことができました．
以上の皆さまに深く感謝いたします．ありがとうございました．
最後に，あたたかい励ましをいつも送り続けてくれた家族に心から感謝しま
す．
2023 年 3 月

111

皆川晶子

参考文献
[1] 外務省－外交政策－ODA と地球規模の課題－気候変動－日本の排出削減目
標（令和 4 年 10 月 25 日）

（最終アクセス 2022/11/20）
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f>（最終アクセス 2022/11/20）
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[1] Minakawa, A. and Kawamura, T., "Numerical simulation of interaction between
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generation", Proceedings of the 15th World Congress on Computational Mechanics
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学会発表
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パラメータの依存性,日本流体力学会年会 2022, (2022.9, 京都)
[2] 皆川晶子, 河村哲也, 流れ場に応じて独立して回転する２つのサボニウス型
回転装置周りの流れの数値シミュレーション,日本機械学会 2022 年度年次
大会, (2022.9, 富山) [査読あり]
[3] 皆川晶子, 河村哲也, 位相差をもって回転する２台のサボニウス型回転装置
の相互作用に関する数値的研究, 第 25 回応用力学シンポジウム, (2022.5, オ
ンライン) [査読あり]
[4] 皆川晶子, 河村哲也, 独立して回転する４台のサボニウス型回転装置周りの
流れの相互作用, 第 35 回数値流体力学シンポジウム, (2021.12, オンライン)
[5] 皆川晶子, 河村哲也, 独立して回転する複数台のサボニウス風車まわりの流
れの数値シミュレーション,日本流体力学会年会 2021, (2021.9, オンライン)
[6] 皆川晶子, 河村哲也, 独立して回転する２つのサボニウス風車まわりの流れ

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の相互作用”,日本機械学会 2021 年度年次大会, (2021.9, オンライン) [査読あ
り]

関連研究業績
査読付原著論文
[1] Nagata, Y., Minakawa, A. and Kawamura, T., "Classification of two-dimensional
convection patterns in density instability model of bioconvection", Theoretical and
Applied Mechanics Japan 64, (2018), pp.73-77.
[2] Minakawa, A., Nagata, Y. and Kawamura, T. "The effect of Schmidt number on the
flow patterns in density instability model of bioconvection", Natural Science Report,
Ochanomizu University, Vol.69, No1, No2, (2019), pp.1-8.
学会発表
[1] Minakawa, A. and Kawamura, T., Axisymmetric simulation of bioconvection using
density instability model : 2019 Taiwan and Japan Conference on Circuits and
Systems, (2019.8, 茨城) [ポスター発表, 査読有り]
[2] 永田裕作, 皆川晶子, 河村哲也 : 自己推進粒子が駆動する対流の数値シミュ
レーション, 日本流体力学会年会 2018（2018.8, 大阪） [口頭発表]
[3] 皆川晶子, 永田裕作, 河村哲也 : 推進する粒子集団による対流現象, 日本地球
惑星科学連合 2018 年大会（2018.5, 千葉） [ポスター発表]
[4] 皆川晶子, 永田裕作, 河村哲也 : 生物対流の対流パターンに対する拡散の影
響, 第 31 回数値流体力学シンポジウム（2017.12, 京都） [口頭発表]
[5] 皆川晶子, 永田裕作, 桑名杏奈, 河村哲也 : 生物対流における対流パターンの
パラメータ依存性, 日本流体力学会年会 2017（2017.8, 東京） [口頭発表]
[6] 永田裕作, 皆川晶子, 河村哲也 : 生物対流の密度不安定モデルにおける２次
元対流パターンの分類, 第 64 回理論応用力学講演会（2017.8, 東京）[口頭発
表]

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