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Loewner chains and evolution families on parallel slit half-planes

Murayama, Takuya 京都大学 DOI:10.14989/doctor.k22977

2021.03.23

概要

本学位論文は、多重連結な複素領域における、測度値関数を駆動関数とする小松・レヴナー方程式について研究したものである。複素単連結領域におけるレヴナー方程式は、函数論におけるビーベルバッハ予想の研究で導入されたものであるが、駆動関数をブラウン運動とした場合の確率的レヴナー発展（またはシュラム・レヴナー発展、SLE）が様々な統計力学モデルのスケーリング極限として現れることが見出されて以来、確率論の立場からも注目を集めている対象である。

実軸から出発する複素上半平面 H 内の単純曲線 γ = γ(t) について、時刻 t までの曲線の像を H から取り除いた単連結領域から H への等角写像は、無限遠点における挙動を指定すると一意に定まる。こうして得られる等角写像 gt の族 {gt}t>0 がみたす微分方程式がレヴナー方程式であり、ξ(t) := gt(γ(t)) を含む形の方程式となる。実軸上の連続関数 ξ = ξ(t) を駆動関数と呼ぶ。逆に駆動関数 ξ を与えたときに等角写像の族 {gt}t>0 および H 内の閉集合の増大族 {Ft}t>0 を定めることができる。{Ft}t>0 は一般に増大する曲線の像にはなっていない。そこで、単純曲線 γ の代わりに適切な条件をみたす閉集合の増大族に対してレヴナー方程式の対応物を考察することは自然であり、それは実軸上の測度に値を取る関数を駆動関数とするレヴナー方程式として実現される (Goryainov–Ba)。このように、H 内の単純曲線と実軸上の連続関数との対応は、H 内の閉集合の増大族と実軸上の測度値関数との対応に一般化される。

本論文は、H 内の多重連結領域において同様の対応関係を確立した。領域として、H から実軸に平行な有限個の線分を取り除いた平行截線領域 D をとる。有限連結度を持つ任意の H 内の領域は、ある平行截線領域と等角同値であることに注意する。実軸から出発する D 内の単純曲線 γ = γ(t) について、時刻 t までの曲線の像を D から取り除いた領域から、ある平行截線領域 Dt への等角写像 gt が、無限遠点における挙動を指定すると一意に定まる。こうして得られる等角写像の族 {gt}t>0がみたす微分方程式が小松・レヴナー方程式であり、駆動関数 ξ(t) := gt(γ(t)) と領域 Dt における複素ポアソン核を含む方程式となる（Komatu, Bauer–Friedrich,Lawler, Chen–Fukushima–Rohde らによる）。時間とともに領域が変化する方程式となるところが単連結領域の場合との大きな相違点である。本論文の主結果においては、まず D 内の閉集合増大族を自然に公理化した発展族 (evolution family) による定式化の下で、付随する方程式として、実軸上の測度値関数を駆動関数とする小松・レヴナー方程式を導出した。逆に、与えられた測度値駆動関数に対して、緩やかな制約条件の下で小松・レヴナー方程式を解くことができ、発展族を得ることを示した。さらに、実数値駆動関数における小松・レヴナー方程式が対応するための、発展族に関する必要十分条件を与えた。これらは散在する先行研究の部分的結果を大きく拡張・改良し、包括的な一般論にまで昇華したものである。

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