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量子情報処理のための量子ダイナミクスのロバスト制御

坂井, 亮介 東京大学 DOI:10.15083/0002001853

2021.10.04

概要

量子情報処理とは量子力学に従う物理系を想定した情報処理であり、情報は量子系の状態によって表現され、情報処理は状態に対する変換として量子力学に基づいて記述される。量子情報処理では古典情報処理を含んだより広い情報処理が可能であり、素因数分解や量子ハミルトニアンダイナミクスのシミュレーション、半正定値計画法、線形方程式系の解などを得る問題などに対して、現在知られている古典情報処理を使ったアルゴリズムよりも計算量的な優位性が期待される量子アルゴリズムが提案されている。一方で、量子系を扱う実験技術の進歩も目覚ましく、実際にこれらの量子アルゴリズムが実装できるような量子デバイスの開発が進んでいる。

量子情報処理の実現が期待されている背景を踏まえて、本論文では量子情報処理を物理系で実現する際、量子ゲートを実行するのために必要な量子ダイナミクスの制御理論について解析する。量子ゲートとは量子状態に対するユニタリ変換であり、物理系においては量子系のハミルトニアンダイナミクス（時間発展）によって生成される。通常の物理系は固有のハミルトニアンを持っており、そのハミルトニアンに従って時間発展していくが、一般に目的の量子ゲートを自由に実装することはできない。そこで、その物理系に対して外部から制御できる変数を持つ何らかのハミルトニアンを加えることで、目的の量子ゲートを実装できるかを明らかにするのが量子ダイナミクスの制御理論である。この理論は、系固有のハミルトニアンと制御できるハミルトニアンの組が与えられた場合に、Lie 代数的な方法によってこの量子系に対して原理的に実装できる量子ゲートの集合を得ることができる。また、系にはノイズがなく完全に閉じていることが通常仮定される。

量子ダイナミクスの制御理論に関して、近年、アンサンブル(同時)制御と呼ばれる新しいタイプの量子制御理論が提案され研究が進展している。アンサンブル制御とは複数の異なるハミルトニアン系の集団に対して、それぞれ目的の量子ゲートを同時に実行する制御である。このとき制御するために外部から加えるハミルトニアンは全ての系に対して同じものを用いるとする。例えば核磁気共鳴(nuclear magnetic resonance: NMR)における原子核スピンの集団に対して、この集団全体に電磁場を付加することで各原子核スピンをそれぞれ制御する際などに有効であることから提案された。一方で異なるハミルトニアンを持つ量子系の集団に対して同じ量子ゲートを実行するタイプのアンサンブル制御も考えられている。一般に異なるハミルトニアンダイナミクスは異なる量子ゲートを生成するが,このタイプのアンサンブル制御によってこの違いを無効化して目的の量子ゲートを実行すると解釈できるため、このようなアンサンブル制御のことを量子ダイナミクスのロバスト制御と呼ぶことにする。

量子ダイナミクスのロバスト制御では, 系のハミルトニアンの一部のパラメータに不定性( 不定定数) がある場合に、その不定定数の値に依存せず目的の量子ゲートの実装を目指す。この意味で不定定数の取りうる値はその値域に関してはある程度わかっていたとしても,連続量の候補を持っており,これらの候補のいずれに対してもロバストに制御する必要がある。こうした連続不定定数に対するロバスト制御が可能となる系が存在することは1量子ビット系に関して、多項式近似法によって理論的に示されている。しかしロバスト制御によって一般的な量子情報処理を実装したい場合では, 必ず2量子ビット以上に対する量子ゲートの実現が必要であることから, 2量子ビットゲートのロバスト制御が可能であることを明らかにすることが重要である. また, 制御理論の発展のためにも2量子ビット以上のロバスト制御が可能であるかどうかを理論的に明らかにすることは重要である.

本論文では多項式近似法を2量子ビット系に使えるように定式化し、これらの系に対してロバスト制御が原理的に可能となる系の存在を解析的に証明する。さらに、特殊な条件下のもとでd次元の量子系のロバスト制御の可能性を明らかにするための方法を求める。また、多項式近似法によるロバスト制御性の証明のみでは、その制御の実行方法や、実行するために要する操作時間が明らかにならない。そこで本研究では2量子ビット系に対して数値解析を用いて制御に要する時間とその方法も明らかにする.一方で、多項式近似法を用いてもロバスト制御が可能であるか (不可能であるか)解析的に明らかにならない系も存在する。このような系に対しても数値的なアプローチを用いて、ロバスト制御が可能であるか解析する。

まず、2 量子ビット系に関してのハミルトニアンを扱う。ここで 1 は恒等行列、X, Y, Z は Pauli 行列であり、上式の [·] の中がドリフトハミルトニアンと呼ばれる系固有のハミルトニアンを記述しており、外部から制御できないとする。一方、{·} の中のハミルトニアンは制御ハミルトニアンと呼び、制御パルス u(t) を外部から時間依存した形で人為的に操作することで制御できるとする。u(t) = 0 と選べば系はドリフトハミルトニアンのみによって時間変化し、u(t) = δ(t) のように Dirac のデルタ関数を選べば、制御ハミルトニアンのみによるダイナミクスもシミュレート（以下 “制御” と呼ぶ）もできる。式 (1) のドリフトハミルトニアンには不定定数 ω を含んでおり、この不定定数に対するロバスト制御が可能であることを解析的に示した。ただし、ω の取りうる値域 Ω は有界で既知であることを仮定しており、また ±ω ′ ∈ Ω となる ω ′ が存在しないという条件がある。この条件を満たしていない場合は Ω の全領域に対するロバスト制御は一般的に不可能である。

これらの例では不定定数 ω が局所的なハミルトニアン項 X ⊗ 1 の係数となっている場合であるが、例えば相互作用項の係数である場合や、複数の不定定数が含まれる場合での原理的なロバスト制御可能性も示した。

以上の系については多項式近似法を用いてロバスト制御が可能であるいことを示したが、この方法ではロバスト制御可能性を示すことができない系も存在する。多項式近似法によるロバスト制御可能性についての証明は不定定数を含んだハミルトニアン( 今回の場合はドリフトハミルトニアンの反転一礼⑻ ) の制御可能性に依存している。H^\ t) などの例では、開放系の制御性を明らかにするために用いられるLie wedge法などを利用してドリフトハミルトニアンの反転が可能であることを示し、その上で多項式近似法を用いたが、H^\t)を持つ系ではこの反転可能性を解析的に示すことができず、ロバスト制御性を明らかにすることができない。そこで、本研究では目的の量子ゲートを実装するための制御パルスiz(t)を探索するGRAPEアルゴリズムをベースにしたQuTiPのパッケージを用いた数値解析を行い、κ£υ ( ί ) とH^\ t) の両方の系に対してロバスト制御を実装する制御パルスの探索を行な っ た 。 図 1 , 2 は そ れ ぞ れ と の 系 に 対 す る 結 果 と な っ て い る 。 こ こ で 不 定 定 数の値域はの系に対してロバスト制御可能であることが示されている領域である[ 1 , 2 ] を選び、目的の量子ゲートとしてはCNOTゲートを採用した。図の縦軸はあるエラー評価関数ε(ω)を用いた、不定定数がω e [1,2](横軸)である時のダイナミクスによって生成される量子ゲートと目的としたCNOTゲートとの差異である。

図 1 , 2 の結果から、 H ^ \ t ) とのどちらの系に対しても、 すべての不定定数ω e [ 1 , 2 ]に対してロバストな制御が十分高い精度で実現している結果が得られ、解析的にロバスト制御性が示せていない系に対してもこの制御が可能であることが示唆されている。

上記で述べたように、多項式近似法を用いたロバスト制御性の証明にはハミルトニアンの反転の制御可能性を示すことが重要である。そこで、反転可能性が保証された特別なd次元系に対するロバスト制御も解析し、ロバスト制御可能性を証明するために必要な定理やその手順を求めた。

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参考文献

[1] M. A. Nielsen and I.L. Chuang, Quantum Computation and Quantum Informa- tion. (Cambridge, UK: Cambridge University Press, 2000).

[2] W. K. Wootters and W. H. Zurek, A single quantum cannot be cloned. Nature 299, 802 (1982).

[3] R. P. Feynman, Simulating Physics with Computers. Int. J. Theor. Phys. A 21, 467 (1982)

[4] S. Lloyd, Universal Quantum Simulators. Science 273, 1073 (1996).

[5] P. W. Shor, Algorithms for quantum computation: Discrete logarithms and factoring. Proc. 35th Annual Symposium on Foundations of Computer Science, IEEE Computer Society Press 124 (1994).

[6] L. K. Grover, Quantum Mechanics Helps in Searching for a Needle in a Haystack. Phys. Rev. Lett. 79, 325 (1997).

[7] C. H. Bennett, G. Brassard, C. Crepeau, R. Jozsa, A. Peres and W. K. Woot- ters, Teleporting an Unknown Quantum State via Dual Classical and Einstein- Podolsky-Rosen Channels. Phys. Rev. Lett. 70, 1895 (1993).

[8] L. Vaidman, Teleportation of quantum states. Phys. Rev. A 49, 1473 (1994).

[9] C. H. Bennett and G. Brassard, Quantum cryptography: Public key dis- tribu- tion and coin tossing. In Proc. IEEE Int. Conf. Comput. Syst. Signal Process. 175 (1984).

[10] C. H. Bennett, Quantum cryptography: Uncertainty in the service of privacy. Science, 257, 752 (1992).

[11] A. K. Ekert, Quantum Cryptography Based on Bell’s Theorem. Phys. Rev. Lett. 67, 661 (1991).

[12] A. R. Calderbank and P. W. Shor, Good quantum error-correcting codes exist. Phys. Rev. A 54, 1098 (1995).

[13] A. M. Steane, Multiple particle interference and quantum error correction. Proc. Roy. Soc. Lond. A 452, 2551 (1996).

[14] A. Y. Kitaev, Quantum computations: algorithms and error correction. Russ. Math. Surv. 52, 1191 (1997).

[15] D. D’Alessandro, Introduction to Quantum Control and Dynamics. (Chapman and Hall/CRC, 2008).

[16] D. Dong and I. A. Petersen, Quantum control theory and applications: a survey. IET Control Theory A. 4, 2651 (2010).

[17] A. Berenco, C. H. Bennett, R. Cleve, D. P. DiVincenzo, N. Margolus, P. Shor, T. Sleator, J. A. Smolin and H. Weinfurter, Phys. Rev. A 52, 3457 (1995).

[18] P. O. Boykin, T. Mor, M. Pulver, V. P. Roychowdhury and F. Vatan, On Universal and Fault-Tolerant Quantum Computing: A Novel Basis and a New Constructive Proof of Universality for Shor’s Basis. Proc. 40th FOCS 486 (1999).

[19] G. H. Low and I. L. Chuang, Optimal Hamiltonian Simulation by Quantum Signal Processing. Phys. Rev. Lett. 118, 010501 (2017).

[20] D. W. Berry, A. M. Childs and R. Kothari, Hamiltonian Simulation with Nearly Optimal Dependence on all Parameters. 2015 IEEE 56th Annual Symposium on Foundations of Computer Science, 792 (2015).

[21] F. G. S. L. Brand˜ao and K. Svore. Quantum speed-ups for semidefinite program- ming. In 58th Annual IEEE Symposium on Foundations of Computer Science. IEEE, (2017).

[22] J. van Apeldoorn, A. Gily´en, S. Gribling and R. de Wolf, Quantum SDP- solvers: Better upper and lower bounds. In 58th Annual IEEE Symposium on Foundations of Computer Science. IEEE, (2017).

[23] F. G. S. L. Brand˜ao, A. Kalev, T. Li, C. Y.-Y. Lin, K. M. Svore, X. Wu, Quan- tum SDP Solvers: Large Speed-ups, Optimality, and Applications to Quantum Learning. arXiv:1710.02581, (2018).

[24] A. M. Childs, R. Kothari and R. D. Somma, Quantum Algorithm for Systems of Linear Equations with Exponentially Improved Dependence on Precision. SIAM J. Comput., 46, 1920 (2017).

[25] H. J. Sussmann, Controllability of Nonlinear Systems. J. Diff. Eqns. 12, 95 (1972).

[26] V. Jurdjevic and H. J. Sussmann, Conreol systems on Lie Groups. J. Diff. Eqns. 12, 313 (1972).

[27] S. J. Glaser1, U. Boscain, T. Calarco, C. P. Koch, W. K¨ockenberger, R. Kosloff, I. Kuprov, B. Luy, S. Schirmer, T. Schulte-Herbru¨ggen, D. Sugny and F. K. Wil- helm, Training Schr¨odinger’s cat: quantum optimal control Eur. Phys. J. D 69, 279 (2015).

[28] M. H. Levitt, Composite pulses. Prog. Nucl. Magn. Reson. Spectrosc. 18, 61 (1986).

[29] L. M. K. Vandersypen and I. L. Chuang, NMR techniques for quantum control and computation. Rev. Mod. Phys. 76, 1037 (2004).

[30] M. W. Doherty, N. B. Manson, P. Delaney, F. Jelezko, J. Wrachtrup, L. C.L. Hol- lenberg, The nitrogen-vacancy colour centre in diamond. Phys. Rep. 528, 1 (2013).

[31] F. Dolde, V. Bergholm, Y. Wang, I. Jakobi, B. Naydenov, S. Pezzagna, J. Meijer, F. Jelezko, P. Neumann, T. S.-Herbru¨ggen, J. Biamonte and J. Wrachtrup, High- fidelity spin entanglement using optimal control. Nat. Commun. 5, 3371 (2014).

[32] T. N¨obauer, A. Angerer, B. Bartels, M. Trupke, S. Rotter, J. Schmiedmayer, F. Mintert, and J. Majer, Smooth Optimal Quantum Control for Robust Solid- State Spin Magnetometry. Phys. Rev. Lett. 115, 190801 (2015).

[33] G. Falci, R. Fazio, G. M. Palma, J. Siewert and V. Vedral, Detection of geometric phases in superconducting nanocircuits. Nature 407, 355 (2000).

[34] J. Clarke and F. K. Wilhelm, Superconducting quantum bits. Nature 453, 1031 (2008).

[35] N. Lambert, Y. Matsuzaki, K. Kakuyanagi, N. Ishida, S. Saito and F. Nori, Superradiance with an ensemble of superconducting flux qubits. Phys. Rev. B 94, 224510 (2016).

[36] D. Burgarth, S. Bose, C. Bruder and V. Giovannetti, Local controllability of quantum networks. Phys. Rev. A 79, 060305(R) (2009).

[37] D. Burgarth, K. Maruyama, M. Murphy, S. Montangero, T. Calarco, F. Nori and M. B. Plenio, Scalable quantum computation via local control of only two qubits. Phys. Rev. A 81, 040303(R) (2010).

[38] R. Heule, C. Bruder, D. Burgarth and V.M. Stojanovi´c, Controlling qubit arrays with anisotropic XXZ Heisenberg interaction by acting on a single qubit. Eur. Phys. J. D 63, 41 (2011) numerical に minimum time を見つける．

[39] C. O’Meara, G. Dirr, T. Schulte-Herbru¨ggen, Illustrating the Geometry of Co- herently Controlled Unital Open Quantum Systems. IEEE Trans. Automat. Contr. (IEEE-TAC) 57, 2050 (2012).

[40] G. Dirr, U. Helmke, I. Kurniawan and T. Schulte-Herbru¨ggen, Lie-semigroup structures for reachability and control of open quantum systems: kossakowski- lindblad generators form lie wedge to markovian channels Rep. Math. Phys. 64, 93 (2009).

[41] N. Khaneja and S. J. Glaser, Cartan decomposition of SU(2n) and control of spin systems. Chem. Phys. 267, 11 (2001).

[42] U. Boscain, T. Chambrion and J.-P. Gauthier, On the K + P Problem for a Three-Level Quantum System: Optimality Implies Resonance. Control Syst. 8, 547 (2002).

[43] E. Ass´emat, M. Lapert, Y. Zhang, M. Braun, S. J. Glaser and D. Sugny, Simul- taneous time-optimal control of the inversion of two spin- 1 particles. Phys. Rev. A 82, 013415 (2010).

[44] A. Garon, S. J. Glaser, D. Sugny, Time-optimal control of SU(2) quantum operations. Phys. Rev. A 88, 043422 (2013).

[45] N. Khaneja, R. Brockett and S J. Glaser, Time optimal control in spin systems. Phys. Rev. A 63, 032308 (2001).

[46] N. Khaneja, S. J. Glaser and R. Brockett, Sub-Riemannian geometry and time optimal control of three spin systems: Quantum gates and coherence transfer. Phys. Rev. A 65, 032301 (2002).

[47] U. Boscain and P. Mason, Time minimal trajectories for a spin 1/2 particle in a magnetic field. J. Math. Phys. 47, 062101 (2006)

[48] A. Garon, S. J. Glaser, D. Sugny, Time-optimal control of SU(2) quantum operations. Phys. Rev. A 88, 043422 (2013).

[49] F. Albertini and D. D’Alessandro, Time-Optimal Control of a Two Level Quan- tum System via Interaction With an Auxiliary System. IEEE Trans. Automat. Contr. 59, 3026 (2014).

[50] R. Romano and D. D’Alessandro, Minimum time control of a pair of two-level quantum systems with opposite drifts. J. Phys. A: Math. Theor. 49, 345303 (2016).

[51] L. Van Damme, Q. Ansel, S. J. Glaser and D. Sugny, Robust optimal control of two-level quantum systems. Phys. Rev. A 95, 063403 (2017).

[52] D. D’Alessandro and M. Dahled, Optimal Control of Two-Level Quantum Sys- tems. IEEE Trans. Automat. Contr. 46, 866 (2001).

[53] C. Arenz, B. Russell, D. Burgarth and H. Rabitz, The roles of drift and control field constraints upon quantum control speed limits. New J. Phys. 19, 103015 (2017).

[54] J. Lee, C. Arenz, H. Rabitz and B. Russell, Dependence of the quantum speed limit on system size and control complexity. New J. Phys. 20, 063002 (2018).

[55] G. Turinici, V. Ramakhrishna, B. Li and H. Rabitz, Optimal discrimination of multiple quantum systems: controllability analysis. J. Phys. A: Math. Gen. 37, 273 (2004).

[56] G. Turinici and H. Rabitz, Optimally controlling the internal dynamics of a randomly oriented ensemble of molecules. Physical Review A 70, 063412 (2004).

[57] M. Belhadj, J. Salomon, G. Turinici, Ensemble controllability and discrimination of perturbed bilinear control systems on connected, simple, compact Lie groups. Euro. J. Control 22, 23 (2015).

[58] G. Dirr, U. Helmke, F. Ru¨pple, Accessibility of bilinear networks of systems: control by interconnections. Math. Control Signals Syst. 28, 14 (2016).

[59] J.-S. Li and N. Khaneja, Control of inhomogeneous quantum ensembles. Phys. Rev. A 73, 030302 (2006).

[60] J.-S. Li and N. Khaneja, Ensemble controllability of the bloch equations. IEEE Trans. Autom, Control 54, 528 (2009).

[61] K. Beauchard, J.-N. Coron and P. Rouchon, Controllability Issues for Continuous-Spectrum Systems and Ensemble Controllability of Bloch Equations. Commun. Math. Phys 296, 525 (2010).

[62] Z. Leghtas1, A. Sarlette and P. Rouchon, Adiabatic passage and ensemble control of quantum systems. J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys. 44, 154017 (2011).

[63] E. Ass´emat, M. Lapert, Y. Zhang, M. Braun, S. J. Glaser and D. Sugny, Simul- taneous time-optimal control of the inversion of two spin- 1 particles. Phys. Rev. A 82, 013415 (2010).

[64] L. Van Damme, Q. Ansel, S. J. Glaser and D. Sugny, Robust optimal control of two-level quantum systems. Phys. Rev. A 95, 063403 (2017).

[65] H. Rabitz, R. de Vivie-Riedle, M. Motzkus and K. Kompa, Whither the Future of Controlling Quantum Phenomena? Science, 288 (2000).

[66] J. Watrous, Theory of Quantum Informartion. (Cambridge Univ. Press, 2018).

[67] H. Georgi Lie Algebras In Particle Physics: from Isospin To Unified Theories. (Avalon Publishing, 1999).

[68] H. F. Trotter, On the product of semi-groups of operators. Proc. Am. Math. Soc. 10, 545 (1959).

[69] M. Suzuki, Generalized Trotter’s formula and systematic approximations of ex- ponential operators and inner derivations with applications to many-body prob- lems. Commun. Math. Phys. 51, 183 (1976).

[70] P. Bocchieri and A. Loinger, Quantum Recurrence Theorem. Phys. Rev. 107, 337 (1957).

[71] S. G. Schirmer, H. Fu, and A. I. Solomon, Complete controllability of quantum systems. Physical Review A 63, 063140 (2001).

[72] R. Zeier and T. S.-Herbru¨ggen, Symmetry principles in quantum systems theory. Journal of Mathematical Physics 52, 113510 (2011).

[73] N. Khaneja, T. Reiss, C. Kehlet, T. S.-Herbru¨ggen, and S. J. Glaser, Optimal control of coupled spin dynamics: design of NMR pulse sequences by gradient ascent algorithms. J. Magn. Reson. 172, 296 (2005).

[74] R. M. Wilcox, Exponential Operators and Parameter Differentiation im Quan- tum Physics. J. Math. Phys. 8, 962 (1967).

[75] J. Johansson, P. Nation and F. Nori, QuTiP: An open-source Python framework for the dynamics of open quantum systems. Comp. Phys. Comm. 183, 1760 (2012).

[76] J. Johansson, P. Nation and F. Nori, QuTiP 2: A Python framework for the dynamics of open quantum systems. Comp. Phys. Comm. 184, 1234 (2013).

[77] B. Bartels and F. Mintert, Smooth optimal control with Floquet theory. Phys. Rev. A 88, 052315 (2013).

[78] D. Daems, A. Ruschhaupt D. Sugny and S. Gu`erin, Robust Quantum Control by a Single-Shot Shaped Pulse. Phys. Rev. Lett. 111, 050404 (2013).

[79] L. V.-Damme, D. Schraft, G. T. Genov, D. Sugny, T. Halfmann and S. Gu`erin, Robust NOT gate by single-shot-shaped pulses: Demonstration of the efficiency of the pulses in rephasing atomic coherences. Phys. Rev. A 96, 022309 (2017).

[80] S. Machnes, E. Ass´emat, D. J. Tannor and F. K. Wilhelm, Tunable, flexible, and efficient optimization of control pulses for practical qubits. Phys. Rev. Lett. 120, 150401 (2018).

[81] R. L. Kosut, M. D. Grace, and C. Brif, Robust control of quantum gates via sequential convex programming. Phys. Rev. A 88, 052326 (2013).

[82] C. Chen, D. Dong, R. Long, I. R. Petersen and H. A. Rabitz, Sampling-based learning control of inhomogeneous quantum ensembles. Phys. Rev. A 89, 023402 (2014).

[83] D. Dong, C. Wu, C. Chen, B. Qi, I. R. Petersen and F. Nori, Learning robust pulses for generating universal quantum gates. Sci. Rep. 6, 36090 (2016).

[84] C. Chen, D. Dong, B. Qi, I. R. Petersen and H. Rabitz, Quantum Ensemble Classification: A Sampling-Based Learning Control Approach. IEEE Trans. Neural Netw. Learn. Syst. 28, 1345 (2017).

[85] T. Caneva, T. Calarco and S. Montangero, Chopped random-basis quantum optimization. Phys. Rev. A 84, 022326 (2011).

[86] S. Heubach and T. Mansour, Compositions of n with parts in a set. Congressus Numerantium 168, 33 (2004).

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