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Spectral analysis on complete anti-de Sitter 3-manifolds

甘中, 一輝 東京大学 DOI:10.15083/0002007140

2023.03.24

概要

論文審査の結果の要旨
氏名

甘中一輝

1980 年代後半，“リーマン幾何の枠組を超えた不連続群の理論” が本学の小林俊行教
授によって創始された．古典的なリーマン幾何における不連続群論では，等長変換か
らなる群 Γ に対し
群の性質
作用の性質
⇐⇒
Γ は離散群
Γ 作用が固有不連続
という同値性があった．しかし，リーマン幾何の枠組を超えた場合，例えば，相対論
の時空の幾何学であるローレンツ幾何，あるいは，より一般の不定符号 (p, q) をもつ
擬リーマン多様体においては，新しい “ファクター” α が加わり，
離散部分群 + α = 不連続群
という構図になっている．リーマン幾何では現れない以下のような新しい現象

• ド・ジッター群には無限不連続群が存在しない (Calabi–Markus 現象)
• 高次元の既約な対称空間にも連続変形が可能な格子が存在する (小林 ’98)
はこのファクター α に起因する．小林によるファクター α の解明 (1989–1992) 以降，
リーマン幾何の枠組を超えた不連続群の理論は，力学系，リー群論，表現論，エルゴー
ド理論，幾何学群論などと結びつき，現在，活発に研究されている．
本博士論文では甘中一輝氏は 3 次元の反ド・ジッター空間 AdS3 (負の定曲率をもつ
ローレンツ多様体) に焦点を当て，その不連続群 Γ に関し

• Γ 軌道の数え上げの無限遠での増大度
• 反ド・ジッター多様体 Γ\ AdS3 のラプラシアンの離散スペクトラム
の研究を行った．
x ∈ AdS3 を通る Γ の軌道 Γx の内，AdS3 の半径 R の擬球 B(R) に含まれる点の
個数 (数え上げ) を
NΓ (x, R) := #(Γx ∩ B(R))
と表記する．Γ が強不連続性をみたす場合には，以下のように，数え上げ NΓ (x, R) は
高々指数増大の漸近挙動をとることが知られている．
定理 (Kassel–小林, 2016). ある定数 A > 0 が存在し，AdS3 の任意の強不連続群 Γ，
任意の点 x ∈ AdS3 ，任意の R > 0 に対して

4(R + C)
)
c
が成り立つ．ここで (c, C) は Γ の強不連続指数である．
NΓ (x, R) ≤ A exp(

論文提出者は，NΓ (x, R) が指数増大であるが，Γ が強不連続ではない例も存在する
ことを証明した．

定理 A (甘中). 任意の x ∈ AdS3 ，任意の R > 0 に対して

NΓ (x, R) ≤ 4R
となるような強不連続でない不連続群 Γ が存在する．
さて，リーマン多様体 X においては，等長変換からなる不連続群 Γ の数え上げの
増大度は体積の増大度を越えない，正確には，次の定理が成り立つ:
#(Γx ∩ B(R))
∀x ∈ X, ∃c > 0,
lim sup
< ∞.
R→∞ vol(B(R + c))
ところが，反ド・ジッター多様体では，様相が大きく異なることを論文提出者は発
見した．すなわち，数え上げの増大度が体積の増大度を上回るケースが発生する．
定理 B (甘中). 任意の x ∈ AdS3 と任意の単調増加関数 f : R → R>0 に対して

NΓ (x, R) > f (R)

(∀R ≫ 0)

3

をみたすような AdS の等長変換からなる不連続群 Γ が存在する．
定理 B は新しい現象であり，定理 A はラプラシアンの安定固有値の存在定理 (Kassl–
小林) の拡張に用いられる．論文提出者は定理 A と定理 B をより一般的な結果から
導いた．すなわち，まず，4 つの数列を “パラメータ” とする Schottky 群を構成し，
小林–Benoist の properness criterion (1996) を AdS3 に適用することによって，その
AdS3 への等長作用が固有不連続となるための必要十分条件を 4 つの数列の漸近挙動
で与え，さらに強固有不連続に関する判定法も明示的に与えた．これらの必要十分条
件と，数え上げの評価式とを組み合わせることによって，甘中氏は定理 A と定理 B を
構成的に証明したのである．
さて，Kassel–小林 (2016) は半単純対称空間の不連続群の変形に関して安定な固有値
の存在問題を提起し，特に，3 次元のコンパクト反ド・ジッター多様体に対しては反
ド・ジッター構造の微小変形 (⇔ 不連続群の微小変形) に関して，λm = 4(m − 1)m
(m ≫ 0) が安定な固有値として現れることを発見した．その証明には数え上げの一様
f (λ) という量を定義し，次の
評価が用いられる．甘中一輝氏は安定固有値の重複度 N
M
評価を証明した．
定理 C (甘中). 3 次元のコンパクト反ド・ジッター多様体 M に対し，M に依存する
ある定数 B が存在し，次の評価式をみたす：
f (λ ) ≥ log m + B.
N
M
m
3

以上のように，当該論文は，現在，活発な研究が行われている反ド・ジッター多様
体の基本群と大域解析について，時宜を得た新しい知見を与えたものである．論文提
出者 甘中一輝 氏は，博士（数理科学）の学位を受けるにふさわしい充分な資格がある
と認める．

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参考文献

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