Twisted arrow categories of operads and Segal conditions

概要

審査の結果の要旨

氏 名  ブルキン セルゲイ ウラディミロヴィチ

ブルキン セルゲイ ウラディミロヴィチの博士論文は，オペラッドに対して，捻れ射圏と
よばれる圏を構成し，その上の Segal 前層の圏と，オペラッド上の代数の圏との間の圏同値
を示したものである．
一般に圏 C に対して，その捻れ射圏 T w(C) は次のように構成される．捻れ射圏 T w(C)
の対象は，圏 C の射全体とする．また，T w(C) の射は圏 C の射 f, g に対して，それらの
間の可換図式を与える射の組，つまり，g = h0 ◦ f ◦ h1 を満たす (h0 , h1 ) として定める．
オペラッド (operad) は圏の一般化であり，対象の間の射を，根付きツリー (rooted tree)
で記述される演算によって定めたものである．本論文では，まず圏に対する捻れ射圏の概念
を拡張して，一般のオペラッド P に対する捻れ射圏 T w(P ) を構成した．
圏論的な手法によるホモトピー論では，Eilenberg-Zilber による単体的集合の概念が重要
な役割を果たす．単体的集合とは，単体の圏 ∆ から集合の圏への反変関手である．圏 C に
対してその nerve N (C) とは，圏 C の対象と射から構成される単体的集合であり，その幾
何学的実現は圏 C の分類空間とよばれる．単体的集合がある圏 C から構成される N (C) と
なるための条件は Segal 条件として知られている．
本論文では，この枠組みを以下のように一般化した．まず，オペラッド P がモノイド圏
の場合に，対応する捻れ射圏 T w(P ) は単体の圏 ∆ であることを示した．さらに，さまざ
まなオペラッド P を考えることにより，Connes の巡回圏など重要な圏が得られることを
示し，このような一般的な捻れ射圏 T w(P ) 上で，Segal 条件を定式化した．圏 C 上の前層

(presheaf) とは，C から集合の圏への反変関手であるが，T w(P ) 上で，Segal 条件を満たす
Segal 前層の圏を定義することができる．本論文の主定理は次の通りである．
定理 P をオペラッドとする．P の捻れ射圏 T w(P ) 上の対象が一つの Segal 前層の圏は P
上の代数の圏と同値である．
本論文では，さらにオペラッド P に対して，捻れ射圏 T w(P ) が一般化された Reedy 条
件を満たすための特徴付けを与えた．
ブルキン セルゲイ ウラディミロヴィチの博士論文は，オペラッド P から捻れ射圏 T w(P )
を構成し，その上の Segal 条件を考察することによって，従来の単体的集合に関する理論を
一般化した．これは，圏論的手法によるホモトピー論の分野に新しい知見を与えたものであ
る．よって，論文提出者 ブルキン セルゲイ ウラディミロヴィチは，博士 (数理科学) の学
位を受けるにふさわしい充分な資格があると認める．