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ON THE FEIGIN-TIPUNIN CONJECTURE

Sugimoto, Shoma 京都大学 DOI:10.14989/doctor.k23685

2022.03.23

概要

1980年代後半にBorcherdsによって導入された頂点作用素代数は、群や環といった代数系の一種であり、二次元の共形場理論において現れた頂点作用素の性質を抽出したものである。このような頂点作用素代数のうち特に性質の良いものは、「有理的」かつ「C_2有限」と呼ばれる二つの条件を満たすものとされている。ところが近年、この二つの条件のうち、「有理的」という条件を取り除いた、ログ頂点作用素代数と呼ばれる頂点作用素代数が、数学と物理の双方から世界的な注目を浴びている。
一方、ログ頂点作用素代数の例は驚くほど少なく、実際に知られている例は本質的にはトリプレット代数と呼ばれるもののみしかない。

 トリプレット代数はA_1型ルート格子に付随する頂点作用素代数の、遮蔽作用素の核として定義されるため、格子を一般のADE型のルート格子に一般化することによりその定義を自然に拡張することができる。このようにして定義されたADE型のルート格子に付随する頂点作用素代数はトリプレットW代数と呼ばれていおり、A_1型の場合のトリプレット代数と同じ性質を持つことが期待されている。

 一方、一般のADE型のルート格子に付随するトリプレットW代数は同じ型のW代数の代数の拡大であり、基本となるW代数が非常に複雑なため、トリプレットW代数の構造もまた複雑であり、代数的な直接的な解析がほぼ不可能である。このため、トリプレットW代数についての研究は殆ど進んでいなかった。

 このような状況の中、FeiginとTipuninはルート格子Qに付随する頂点作用素代数V_ QにQをルート格子として持つリー群GのBorel部分群Bが自然に作用することを示し、旗多様体G/B上の無限次元ベクトル束E=G×_B V_Qを考察した。Eは自然に頂点作用代数の層を定めるため、その大域切断Γ(E)は頂点作用素代数の構造を持つ。FeiginとT ipuninはΓ(E)がトリプレットW代数に同型であることを予想した。

 本論文において申請者は
1) Feigin-Tipuninの予想、つまりトリプレットW代数がEの大域切断Γ(E)に同型になることを証明した。
申請者のこの結果により、特に型としてトリプレットW代数の指標公式がAtiyah-Bottの局所化定理から従う。また、トリプレットW代数に群Gが自然に作用することも直ちに従う。本論文で申請者はまた、
2) トリプレットW代数のG×W代数加群として構造を決定した。
申請者はさらに続く論文で
3) Serre双対性を用いてトリプレットW代数の単純性を示し、
結果を
4) W代数の表現論に応用し、トリプレットW代数に現れるW代数の表現論が既約であることを示した。

 以上の結果はトリプレットW代数を理解するための最初のブレークスルーを与えるものであり、今後様々な応用が期待できる。

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