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書き出し

On derived equivalences of Nakayama algebras

上田, 太朗 名古屋大学

2023.06.23

概要

報告番号






論文題目













On derived equivalences of Nakayama algebras
(中山代数の導来同値について)





上⽥ 太朗

論 文 内 容 の 要 旨
環の表現論において与えられた⼆つの環がいつ導来同値であるかを判定する問題は基本的である.
Rickardは与えられた⼆つの環が導来同値であるためには⼀⽅の環上の傾複体でEnd環が他⽅の環と同
型となるようなものが存在することが必要⼗分であることを⽰したが, ⼀般の場合にはこのような傾
複体の存在を判定するのは困難である.
本研究では中⼭代数と呼ばれる有限次元代数についてこの問題を考え, 適当な条件を満たす⼆つの
中⼭代数が導来同値であることを⽰した(系5.15). 証明では中⼭代数N(n,l)を考える代わりにN(n,l)と導
来同値な有限次元代数L(s, t, u)やそれの⼀般化である有限次元代数L(S)を扱った. N(n,l)とL(s,t,u)の間の
導来同値はu=0の場合にLadkaniによって構成されたものを⼀般化したものである. 論⽂ではまずL(S)
のperfect導来圏をS-familyを⽤いて公理化し(定義3.8), 適当な条件を満たす三⾓圏とL(S)のperfect導来
圏が三⾓同値であるための必要⼗分条件がその三⾓圏にfull S-familyが存在することであることを⽰
した(定理3.11). 次に中⼭代数のperfect導来圏にY(s, t, u)-familyが存在することを⽰し, 中⼭代数とL(s, t,
u)が導来同値であることを⽰した(定理4.7). その後, Sが適当な条件を満たす場合に変異と呼ばれる操
作を導⼊し, 変異を⽤いることで別のS’-familyが得られ, L(S)とL(S’)が導来同値になることを⽰した.
最後にs, t, uが適当な条件を満たす場合にY(s, t, u)-familyからY(s’, t’, u’)-familyへの変異の列を構成する
ことで, L(s, t, u)とL(s’, t’, u’)が導来同値であることを⽰し(定理5.14), それらと導来同値な⼆つの中⼭
代数が導来同値であることを⽰した. 本研究で構成した中⼭代数の導来同値はHappel-Seidelおよび
Lenzing-Meltzer-Ruanによって存在が⽰された導来同値の⼀般化であり, 各々の論⽂で与えられた導来
同値についても別の構成を与えている.
以下論⽂の構成について述べる. 第2章ではSerre関⼿, 許容部分圏, 傾対象, exceptional sequenceなど
基本的な事柄について述べる. 第3章ではL(S)-familyを定義し, 基本的な性質について述べ, 第4章では
中⼭代数N(n,l)とL(p, q, r)が導来同値であることを⽰す. 第5章ではS-familyの変異について述べる. 第6
章では前章までの結果を⽤いて主定理を証明する.

参考文献

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T. Ueda: Graduate School of Mathematics, Nagoya University

E-mail address: m15013z@math.nagoya-u.ac.jp

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