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On a generalization of the Hörmander condition in the Calderón-Zygmund theory of singular integral operators

鈴木, 聡一郎 名古屋大学

2022.11.18

概要

L2(Rd)上で有界な特異積分作用素の積分核KがH¨ormander条件

[K]H∞:=supsupQ⊂Rdy∈Q∫x∈Rd\2Q |K(x,y)−K(x,c(Q))|dx<∞

を満たすならばその作用素は弱L1(Rd)有界となり,したがって実補間により任意の1 < p < 2に対しLp(Rd)上で有界となることはよく知られている[H¨ormander,1960].本学位論文では,このH¨ormander条件をより弱い条件に一般化した場合に得られる特異積分作用素の有界性について論じる.本論文では2種類の一般化を扱う.

　1つ目はGrafakos and Stockdale[2019]が導入したLq積分平均型H¨ormander条件である(1 ≤ q < ∞):

[K]Hq:=sup Q⊂Rd Q:cube(1/|Q| ∫ y∈Q(∫ x∈Rd\2Q |K(x,y)−K(x,c(Q))|dx)q dy)1/q <∞.

ここで上限はRd内の全ての立方体Qについてとっており,またc(Q)はQの中心を,2QはQと中心は等しく辺の長さは2倍の立方体を表している.H¨olderの不等式により,1 < q1 < q2 < ∞ならば[K]H1 ≤ [K]Hq ≤ [K]Hq ≤ [K]H∞が成り立つことは直ちに分かる.すなわち,L積分平均型条件はqが大きいほど強く,qが小さいほど弱い条件となる.Grafakos and Stockdale[2019]は,L2(Rd)上で有界な特異積分作用素の積分核がLq積分平均型条件を満たすならばその作用素は弱Lq′(Rd)有界となり,ゆえに任意のq′
問題1.　[K]H1 < ∞かつ[K]H∞=∞を満たすKは存在するか?
問題2.　L2(Rd)上有界な特異積分作用素であって,その積分核Kは[K]H < ∞を満たし,かつある1 < p < 2に対してはLp(Rd)上で有界ではないようなものは存在するか?

　本論文の主定理I,IIは,これらの問題への解答を与える.主定理Iでは,「L2(Rd)上有界な特異積分作用素の積分核Kが[K]H1 < ∞を満たすならばその作用素は弱L(R)有界となり,したがって任意の1 < p < 2に対しLp(Rd)上で有界となる」ことを示す.すなわち,問題2は否定的に解決される.主定理Iの証明のアイデアはFefferman[1970]がweakly-strongly singular integral operatorsと呼ばれる特異積分作用素の亜種の弱L1(Rd)有界性を証明するために用いた手法に基づいている.彼の手法は,簡単にいえばf∈L1(Rd)をf=g+bとCalder´on–Zygmund分解し,さらにbのある近似関数˜bを構成しTf=Tg+T(b−˜b)+T˜bとして評価するというものである.主定理Iは近似関数˜bの構成を適切に変更することで証明することができる.また,この近似関数を構成して差をとる手法を利用することで,(主定理Iではアプリオリに仮定した)特異積分作用素のL2(Rd)有界性の十分条件を与えることもできる(定理7.1).この十分条件は[Benedek et al., 1962]が古典的なH¨ormander条件下で示した結果をL1積分平均型条件の場合まで拡張したものである.主定理I及び定理7.1は副論文[Suzuki,2021]で公表した.

　一方,副論文[Suzuki,2021]の出版後に明らかになったことであるが,実は問題2もやはり否定的に解決される(主定理II).したがって主定理Iや定理7.1は実際には古典的な結果と同一の主張を見かけ上異なった形で述べているだけである.この同値性への反省を踏まえて,本論文では古典的なH¨ormander条件よりも真に弱い条件としてBMO型H¨ormander条件を導入する:

[K] H∗ :=sup Q⊂Rd 1/|Q| ∫y∈Q ∫x∈Rd\2Q |K(x,y)−1/|Q| ∫z∈Q K(x,z)dz| dx dy < ∞.

このBMO型条件はL1積分平均型条件と関数空間BMOの定義を自然に組み合わせたものである.本論文では,BMO型条件に関する主定理III,IV,Vを示す.

　主定理IIIでは,BMO型H¨ormander条件のもとでも古典的な場合と同じく特異積分作用素のLp(Rd)有界性(1 < p < 2)が得られることを示す.ただし古典的な場合とは異なり弱L1(Rd)有界性はもはや一般には得ることはできないので,別の論法が必要となる.本論文では主定理IIIの2通りの証明を与える.1つはHardy空間H1(Rd)からL1(Rd)への有界性を示してL2(Rd)有界性と補間するもの,もう1つは任意の1 < p < 2に対して弱Lp(Rd)有界であることを示して補間するものである.主定理IIIの証明としては前者の証明のほうがよりよいLp評価を与えるが,一方で次の主定理IV,VではHardy空間を使った議論は機能せず,後者の証明のアイデアが重要な役割を果たす.主定理II,IIIは副論文[Suzuki,2022]で公表した.

　主定理IV,Vでは,BMO型H¨ormander条件下での最大特異積分作用素の有界性について論じる.主定理IVでは有界性のための十分条件を,主定理Vでは有界性の同値な特徴づけを与える.これらは古典的なH¨ormander条件のもとで最大特異積分作用素の有界性を議論したGrafakos[2003],Huetal.[2007]の結果をBMO型H¨ormander条件の場合に拡張したものとなっている.主定理IV,Vにおける主な困難は,BMO型H¨ormander条件下では弱L1(Rd)有界性は成り立たず,かつ最大特異積分作用素の場合(古典的なH¨ormander条件のもとでさえも)H1(Rd)からL1(Rd)への有界性は期待できないという点にある.そのため,もはや端点評価と補間法を用いた標準的な論法は使うことができない.そこで,主定理IIIの2つ目の証明と同様に「任意の1

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