回転数とPoincaréの最終幾何定理

概要

本論文は Poincar´e の最終幾何定理についてまとめた総合報告である.

前半では回転数の定義と性質を述べる. 回転数とは円周上の同相写像による移動量の時間平均である. 回転数の性質のうち特に重要なものは, 回転数が連続であるということである.

後半では本論文の主定理である Poincar´e の最終幾何定理を述べる. これは, 半径の異なる 2 つの同心円によって囲まれた円環領域からそれ自身への面積保存写像は不動点を少なくとも 2 つ持つという主張である. この定理は 1912 年に Poincar´e が死の直前に予想として発表した [5]. Poincar´e 自身は証明には至らなかったが, 翌年 Birkhoff により証明された [1]. このことから, この定理は Poincar´e-Birkhoff の定理とも呼ばれている.

[1] の証明は, 1 つ目の不動点の存在については正しいが, 2 つ目の不動点の存在については正しくなかった. この証明は後に Birkhoff 自身により改良され, 1925 年に発表された [2]. ここでは [1] をもとに 1 つ目の不動点の存在の証明について概要を説明する.