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KNOTS WITH HOPF CROSSING NUMBER AT MOST ONE

Mroczkowski, Maciej 大阪大学 DOI:10.18910/75915

2020.04

概要

We consider diagrams of links in S² obtained by projection from S³ with the Hopf map and the minimal crossing number for such diagrams. Knots admitting diagrams with at most one crossing are classified. Some properties of these knots are exhibited. In particular, we establish which of these knots are algebraic and, for such knots, give an answer to a problem posed by Fiedler in [3].

参考文献

[1] J.C. Cha and C. Livingston: KnotInfo: Table of Knot Invariants, available at http://www.indiana.edu/˜knotinfo, May 16, 2018.

[2] D. Eisenbud and W. Neumann: Three-dimensional Link Theory and Invariants of Plane Curve Singularities, Ann. Math. Studies 110, Princeton University Press, Princeton, NJ, 1985.

[3] T. Fiedler: Algebraic links and the Hopf Fibration, Topology 30 (1991), 259–265.

[4] V.F. R. Jones: Hecke Algebra Representations of Braid Groups and Link Polynomials, Ann. of Math. (2) 126, (1987), 335–388.

[5] L.H. Kauffman: State models and the Jones polynomial, Topology 26 (1987), 395–407.

[6] H. Morton: The coloured Jones function and Alexander polynomial for torus knots, Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 117 (1995), 129–135.

[7] M. Mroczkowski and M. Dabkowski: KBSM of the product of a disk with two holes and S 1, Topology App. 156 (2009), 1831–1849.

[8] D. Rolfsen: Knots and Links, Publish or Perish, Berkeley Calif., 1976.

[9] R. Scharein: KnotPlot, available at http://www.knotplot.com, May 16 2018.

[10] A.T. Tran: The strong AJ conjecture for cables of torus knots, J. Knot Theory Ramifications 24, (2015), 1550072, 11pp.

[11] Le Dung Trang: Sur les noeuds algebriques, Compositio Math. 25 (1972), 281–321.

[12] V.G. Turaev: Shadow links and face models of statistical mechanics, J. Differential Geom. 36 (1992), 35–74.

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