Theoretical Study of Nonlinear Current Generation in Parity-time Inversion Symmetric Magnets

[1] C. G. Shull and J. S. Smart, Phys. Rev. 76, 1256 (1949).

[2] M. Fiebig, J. Phys. D Appl. Phys. 38, R123 (2005).

[3] Y. Tokura, S. Seki, and N. Nagaosa, Rep. Prog. Phys. 77, 076501 (2014).

[4] T. Jungwirth, X. Marti, P. Wadley, and J. Wunderlich, Nat. Nanotechnol. 11, 231 (2016).

[5] V. Baltz, A. Manchon, M. Tsoi, T. Moriyama, T. Ono, and Y. Tserkovnyak, Rev. Mod. Phys. 90, 328 (2018).

[6] H. Watanabe and Y. Yanase, Phys. Rev. B 98, 245129 (2018).

[7] H. Watanabe and Y. Yanase, Phys. Rev. B 96, 064432 (2017).

[8] S. Hayami, M. Yatsushiro, Y. Yanagi, and H. Kusunose, Phys. Rev. B 98, 165110 (2018).

[9] Y. Yanase, J. Phys. Soc. Japan 83, 014703 (2014).

[10] S. Hayami, H. Kusunose, and Y. Motome, Phys. Rev. B 90, 024432 (2014).

[11] S. Hayami, H. Kusunose, and Y. Motome, J. Phys. Soc. Japan 85, 053705 (2016).

[12] S. Sumita and Y. Yanase, Phys. Rev. B 93, 224507 (2016).

[13] C. L. Kane and E. J. Mele, Phys. Rev. Lett. 95, 226801 (2005).

[14] J. Zˇelezny´, H. Gao, K. Vy´borny´, J. Zemen, J. Maˇsek, A. Manchon, J. Wunderlich, J. Sinova, and T. Jungwirth, Phys. Rev. Lett. 113, 157201 (2014).

[15] X. Zhang, Q. Liu, J.-w. Luo, A. J. Freeman, and A. Zunger, Nat. Phys. 10, 387 (2014).

[16] A. Fert, Rev. Mod. Phys. 80, 1517 (2008).

[17] N. D. Khanh, N. Abe, H. Sagayama, A. Nakao, T. Hanashima, R. Kiyanagi, Y. Tokunaga, and T. Arima, Phys. Rev. B 93, 075117 (2016).

[18] H. V. Gomonay and V. M. Loktev, Phys. Rev. B 81, 144427 (2010).

[19] T. Moriyama, K. Oda, T. Ohkochi, M. Kimata, and T. Ono, Sci. Rep. 8, 14167 (2018).

[20] E. I. Dzyaloshinskii, Sov. Phys. JETP 10, 628 (1960).

[21] D. N. Astrov, Sov. Phys. JETP 11, 708 (1960).

[22] D. N. Astrov, Sov. Phys. JETP 13, 729 (1961).

[23] G. T. Rado and V. J. Folen, Phys. Rev. Lett. 7, 310 (1961).

[24] K. Aizu, Phys. Rev. B 2, 754 (1970).

[25] B. B. Van Aken, J.-p. Rivera, H. Schmid, and M. Fiebig, Nature 449, 702 (2007).

[26] A. Iyama and T. Kimura, Phys. Rev. B 87, 180408 (2013).

[27] A. S. Zimmermann, D. Meier, and M. Fiebig, Nat. Commun. 5, 4796 (2014).

[28] N. A. Spaldin, M. Fiebig, and M. Mostovoy, J. Phys. Condens. Matter 20, 434203 (2008).

[29] F. Th¨ole, M. Fechner, and N. A. Spaldin, Phys. Rev. B 93, 195167 (2016).

[30] N. A. Spaldin, M. Fechner, E. Bousquet, A. Balatsky, and L. Nordstr¨om, Phys. Rev. B 88, 094429 (2013).

[31] F. Th¨ole, A. Keliri, and N. A. Spaldin, J. Appl. Phys. 127, 213905 (2020).

[32] N. A. Spaldin and M. Fiebig, Science 309, 391 (2005).

[33] H. Schmid, J. Phys. Condens. Matter 20, 434201 (2008).

[34] T. Kimura, T. Goto, H. Shintani, K. Ishizaka, T. Arima, and Y. Tokura, Nature 426, 55 (2003).

[35] V. M. Edelstein, Solid State Commun. 73, 233 (1990).

[36] L. S. Levitov, Y. V. Nazarov, and G. M. Eliashberg, Sov. Phys. JETP 61, 133 (1985), [L. S. Levitov, Y. V. Nazarov, and G. M. Eliashberg, Zh. Exp. Teor. Fiz. 88, 229 (1985)].

[37] A. Manchon and S. Zhang, Phys. Rev. B 78, 212405 (2008).

[38] A. Manchon and S. Zhang, Phys. Rev. B 79, 094422 (2009).

[39] I. Garate and A. H. MacDonald, Phys. Rev. B 80, 134403 (2009).

[40] I. M. Miron, G. Gaudin, S. Auffret, B. Rodmacq, A. Schuhl, S. Pizzini, J. Vogel, and P. Gambardella, Nat. Mater. 9, 230 (2010).

[41] I. M. Miron, K. Garello, G. Gaudin, P.-J. Zermatten, M. V. Costache, S. Auffret, S. Bandiera, B. Rodmacq, A. Schuhl, and P. Gambardella, Nature 476, 189 (2011).

[42] A. Manchon, J. Zˇelezny´, I. M. Miron, T. Jungwirth, J. Sinova, A. Thiaville, K. Garello, and P. Gambardella, Rev. Mod. Phys. 91, 035004 (2019).

[43] P. Wadley, B. Howells, J. Elezny, C. Andrews, V. Hills, R. P. Campion, V. Novak, K. Ole- jnik, F. Maccherozzi, S. S. Dhesi, S. Y. Martin, T. Wagner, J. Wunderlich, F. Freimuth, Y. Mokrousov, J. Kune, J. S. Chauhan, M. J. Grzybowski, A. W. Rushforth, K. W. Edmonds, B. L. Gallagher, and T. Jungwirth, Science 351, 587 (2016).

[44] S. Y. Bodnar, L. Sˇmejkal, I. Turek, T. Jungwirth, O. Gomonay, J. Sinova, A. A. Sapozhnik, H.-J. Elmers, M. Kl¨aui, and M. Jourdan, Nat. Commun. 9, 231 (2018).

[45] D. B. Litvin, Acta Crystallogr. A 64, 316 (2008).

[46] H. Watanabe and Y. Yanase, Phys. Rev. B 98, 220412 (2018).

[47] S. Tomita, H. Kurosawa, T. Ueda, and K. Sawada, J. Phys. D Appl. Phys. 51, 083001 (2018).

[48] J. Lehmann, C. Donnelly, P. M. Derlet, L. J. Heyderman, and M. Fiebig, Nat. Nanotech. 14, 141 (2019).

[49] C. Gong, L. Li, Z. Li, H. Ji, A. Stern, Y. Xia, T. Cao, W. Bao, C. Wang, Y. Wang, Z. Q. Qiu, R. J. Cava, S. G. Louie, J. Xia, and X. Zhang, Nature 546, 265 (2017).

[50] B. Huang, G. Clark, E. Navarro-Moratalla, D. R. Klein, R. Cheng, K. L. Seyler, D. Zhong, E. Schmidgall, M. A. McGuire, D. H. Cobden, W. Yao, D. Xiao, P. Jarillo-Herrero, and X. Xu, Nature 546, 270 (2017).

[51] S. Jiang, J. Shan, and K. F. Mak, Nat. Mater. 17, 406 (2018).

[52] Z. Sun, Y. Yi, T. Song, G. Clark, B. Huang, Y. Shan, S. Wu, D. Huang, C. Gao, Z. Chen, M. McGuire, T. Cao, D. Xiao, W.-T. Liu, W. Yao, X. Xu, and S. Wu, Nature 572, 497 (2019).

[53] M. Fiebig, V. V. Pavlov, and R. V. Pisarev, J. Opt. Soc. Am. B 22, 96 (2005).

[54] J. C. Petersen, M. D. Caswell, J. S. Dodge, I. a. Sergienko, J. He, R. Jin, and D. Mandrus, Nat. Phys. 2, 605 (2006).

[55] L. Zhao, D. H. Torchinsky, H. Chu, V. Ivanov, R. Lifshitz, R. Flint, T. Qi, G. Cao, and D. Hsieh, Nat. Phys. 12, 32 (2016).

[56] L. Zhao, C. Belvin, R. Liang, D. Bonn, W. Hardy, N. Armitage, and D. Hsieh, Nat. Phys. 13, 250 (2017).

[57] J. W. Harter, Z. Y. Zhao, J.-Q. Yan, D. G. Mandrus, and D. Hsieh, Science 356, 295 (2017).

[58] R. Kubo, J. Phys. Soc. Japan 12, 570 (1957).

[59] J. E. Sipe and A. I. Shkrebtii, Phys. Rev. B 61, 5337 (2000).

[60] G. B. Ventura, D. J. Passos, J. M. B. Lopes dos Santos, J. M. Viana Parente Lopes, and N. M. R. Peres, Phys. Rev. B 96, 035431 (2017).

[61] D. J. Passos, G. B. Ventura, J. M. V. P. Lopes, J. M. B. L. d. Santos, and N. M. R. Peres, Phys. Rev. B 97, 235446 (2018).

[62] E. Adams and E. Blount, J. Phys. Chem. Solids 10, 286 (1959).

[63] E. Blount, Formalisms of Band Theory , edited by F. Seitz and D. Turnbull, Solid State Physics, Vol. 13 (Academic Press, 1962) pp. 305 – 373.

[64] G. L. J. A. Rikken, J. F¨olling, and P. Wyder, Phys. Rev. Lett. 87, 236602 (2001).

[65] G. L. J. A. Rikken and P. Wyder, Phys. Rev. Lett. 94, 016601 (2005).

[66] Y. Tokura and N. Nagaosa, Nat. Commun. 9, 3740 (2018).

[67] T. Ideue, K. Hamamoto, S. Koshikawa, M. Ezawa, S. Shimizu, Y. Kaneko, Y. Tokura, N. Nagaosa, and Y. Iwasa, Nat. Phys. 13, 578 (2017).

[68] R. Wakatsuki, Y. Saito, S. Hoshino, Y. M. Itahashi, T. Ideue, M. Ezawa, Y. Iwasa, and N. Nagaosa, Sci. Adv. 3, e1602390 (2017).

[69] Y. M. Itahashi, T. Ideue, Y. Saito, S. Shimizu, T. Ouchi, T. Nojima, and Y. Iwasa, Science Advances 6, eaay9120 (2020).

[70] I. Sodemann and L. Fu, Phys. Rev. Lett. 115, 216806 (2015).

[71] S.-Y. Xu, Q. Ma, H. Shen, V. Fatemi, S. Wu, T.-R. Chang, G. Chang, A. M. M. Valdivia, C.-k. Chan, Q. D. Gibson, J. Zhou, Z. Liu, K. Watanabe, T. Taniguchi, H. Lin, R. J. Cava, L. Fu, N. Gedik, and P. Jarillo-Herrero, Nat. Phys. 14, 900 (2018).

[72] Q. Ma, S.-Y. Xu, H. Shen, D. MacNeill, V. Fatemi, T.-R. Chang, A. M. Mier Valdivia, S. Wu, Z. Du, C.-H. Hsu, S. Fang, Q. D. Gibson, K. Watanabe, T. Taniguchi, R. J. Cava, E. Kaxiras, H.-Z. Lu, H. Lin, L. Fu, N. Gedik, and P. Jarillo-Herrero, Nature 565, 337 (2019).

[73] A. Chernyshov, M. Overby, X. Liu, J. K. Furdyna, Y. Lyanda-Geller, and L. P. Rokhinson, Nat. Phys. 5, 656 (2009).

[74] R. Toshio, K. Takasan, and N. Kawakami, Phys. Rev. Research 2, 032021 (2020).

[75] J. Zˇelezny´, H. Gao, A. Manchon, F. Freimuth, Y. Mokrousov, J. Zemen, J. Maˇsek, J. Sinova, and T. Jungwirth, Phys. Rev. B 95, 014403 (2017).

[76] A. P. Cracknell, Magnetism in crystalline materials: applications of the theory of groups of cambiant symmetry (Elsevier, Amsterdam, 2016).

[77] Y. Gao, S. A. Yang, and Q. Niu, Phys. Rev. Lett. 112, 166601 (2014).

[78] Y. Gao, Frontiers of Physics 14, 33404 (2019).

[79] E. Deyo, L. Golub, E. Ivchenko, and B. Spivak, arXiv:0904.1917 .

[80] J. E. Moore and J. Orenstein, Phys. Rev. Lett. 105, 026805 (2010).

[81] T. Morimoto and N. Nagaosa, Sci. Rep. 8, 2973 (2018).

[82] K. Hamamoto, T. Park, H. Ishizuka, and N. Nagaosa, Phys. Rev. B 99, 064307 (2019).

[83] S. Nandy and I. Sodemann, Phys. Rev. B 100, 195117 (2019).

[84] Z. Z. Du, C. M. Wang, S. Li, H.-Z. Lu, and X. C. Xie, Nat. Commun. 10, 3047 (2019).

[85] Y. Shiomi, H. Watanabe, H. Masuda, H. Takahashi, Y. Yanase, and S. Ishiwata, Phys. Rev. Lett. 122, 127207 (2019).

[86] Y. Shiomi, Y. Koike, N. Abe, H. Watanabe, and T. Arima, Phys. Rev. B 100, 054424 (2019).

[87] Y. Shiomi, H. Masuda, H. Takahashi, and S. Ishiwata, Sci. Rep. 10, 7574 (2020).

[88] Y. Singh, A. Ellern, and D. C. Johnston, Phys. Rev. B 79, 094519 (2009).

[89] Y. Singh, M. A. Green, Q. Huang, A. Kreyssig, R. J. McQueeney, D. C. Johnston, and A. I. Goldman, Phys. Rev. B 80, 100403 (2009).

[90] D. C. Johnston, R. J. McQueeney, B. Lake, A. Honecker, M. E. Zhitomirsky, R. Nath, Y. Furukawa, V. P. Antropov, and Y. Singh, Phys. Rev. B 84, 094445 (2011).

[91] A. Pandey, R. S. Dhaka, J. Lamsal, Y. Lee, V. K. Anand, A. Kreyssig, T. W. Heitmann, R. J. McQueeney, A. I. Goldman, B. N. Harmon, A. Kaminski, and D. C. Johnston, Phys. Rev. Lett. 108, 087005 (2012).

[92] J. Lamsal, G. S. Tucker, T. W. Heitmann, A. Kreyssig, A. Jesche, A. Pandey, W. Tian, R. J. McQueeney, D. C. Johnston, and A. I. Goldman, Phys. Rev. B 87, 144418 (2013).

[93] W.-L. Zhang, P. Richard, A. van Roekeghem, S.-M. Nie, N. Xu, P. Zhang, H. Miao, S.-F. Wu, J.-X. Yin, B. B. Fu, L.-Y. Kong, T. Qian, Z.-J. Wang, Z. Fang, A. S. Sefat, S. Biermann, and H. Ding, Phys. Rev. B 94, 155155 (2016).

[94] K. Gotlieb, C.-Y. Lin, M. Serbyn, W. Zhang, C. L. Smallwood, C. Jozwiak, H. Eisaki, Z. Hussain, A. Vishwanath, and A. Lanzara, Science 362, 1271 (2018).

[95] J. Godinho, H. Reichlov´a, D. Kriegner, V. Nov´ak, K. Olejn´ık, Z. Kaˇspar, Z. Sˇob´anˇ, P. Wadley, R. P. Campion, R. M. Otxoa, P. E. Roy, J. Zˇelezny´, T. Jungwirth, and J. Wun- derlich, Nat. Commun. 9, 4686 (2018).

[96] D. Varjas, A. G. Grushin, R. Ilan, and J. E. Moore, Phys. Rev. Lett. 117, 257601 (2016).

[97] D. Maruyama, M. Sigrist, and Y. Yanase, J. Phys. Soc. Japan 81, 034702 (2012).

[98] M. Kimata et al., private communication.

[99] For more detailed discussions, we will present general symmetry classification of magnetic ASOC [H. Watanabe and Y. Yanase, in preparation].

[100] C. Xiao, Z. Z. Du, and Q. Niu, Phys. Rev. B 100, 165422 (2019).

[101] Z. Z. Du, C. M. Wang, H.-P. Sun, H.-Z. Lu, and X. C. Xie, arXiv:2004.09742 .

[102] H. Watanabe and Y. Yanase, Phys. Rev. Research 2, 043081 (2020).

[103] K. Kang, T. Li, E. Sohn, J. Shan, and K. F. Mak, Nat. Mater. 18, 324 (2019).

[104] A. G. Chynoweth, Phys. Rev. 102, 705 (1956).

[105] F. S. Chen, J. Appl. Phys. 40, 3389 (1969).

[106] A. M. Glass, D. von der Linde, and T. J. Negran, Appl. Phys. Lett. 25, 233 (1974).

[107] T. Choi, S. Lee, Y. J. Choi, V. Kiryukhin, and S.-W. Cheong, Science 324, 63 (2009).

[108] B. I. Sturman and V. M. Fridkin, Photovoltaic and Photo-refractive Effects in Noncen- trosymmetric Materials (CRC Press, 1992).

[109] V. M. Fridkin, Crys. Rep. 46, 654 (2001).

[110] W. T. H. Koch, R. Munser, W. Ruppel, and P. Wu¨rfel, Ferroelectrics 13, 305 (1976).

[111] S. M. Young and A. M. Rappe, Phys. Rev. Lett. 109, 116601 (2012).

[112] S. M. Young, F. Zheng, and A. M. Rappe, Phys. Rev. Lett. 109, 236601 (2012).

[113] A. M. Cook, B. M. Fregoso, F. de Juan, S. Coh, and J. E. Moore, Nat. Commun. 8, 14176 (2017).

[114] J. Iban˜ez Azpiroz, S. S. Tsirkin, and I. Souza, Phys. Rev. B 97, 245143 (2018).

[115] F. de Juan, A. G. Grushin, T. Morimoto, and J. E. Moore, Nat. Commun. 8, 15995 (2017).

[116] H. Ishizuka, T. Hayata, M. Ueda, and N. Nagaosa, Phys. Rev. Lett. 117, 216601 (2016).

[117] K. Taguchi, T. Imaeda, M. Sato, and Y. Tanaka, Phys. Rev. B 93, 201202 (2016).

[118] L. Z. Tan and A. M. Rappe, Phys. Rev. Lett. 116, 237402 (2016).

[119] C.-K. Chan, N. H. Lindner, G. Refael, and P. A. Lee, Phys. Rev. B 95, 041104 (2017).

[120] X. Yang, K. Burch, and Y. Ran, arXiv:1712.09363 .

[121] G. Chang, J.-X. Yin, T. Neupert, D. S. Sanchez, I. Belopolski, S. S. Zhang, T. A. Cochran, Z. Ch´eng, M.-C. Hsu, S.-M. Huang, B. Lian, S.-Y. Xu, H. Lin, and M. Z. Hasan, Phys. Rev. Lett. 124, 166404 (2020).

[122] J. Liu, F. Xia, D. Xiao, F. J. Garc´ıa de Abajo, and D. Sun, Nat. Mater. 19, 830 (2020).

[123] J. W. McIver, D. Hsieh, H. Steinberg, P. Jarillo-Herrero, and N. Gedik, Nat. Nanotech. 7, 96 (2011).

[124] C. Kastl, C. Karnetzky, H. Karl, and A. W. Holleitner, Nat. Commun. 6 (2015).

[125] L. Wu, S. Patankar, T. Morimoto, N. L. Nair, E. Thewalt, A. Little, J. G. Analytis, J. E. Moore, and J. Orenstein, Nat. Phys. 13, 350 (2016).

[126] J. Ma, Q. Gu, Y. Liu, J. Lai, P. Yu, X. Zhuo, Z. Liu, J.-H. Chen, J. Feng, and D. Sun, Nat. Mater. 18, 476 (2019).

[127] D. Rees, K. Manna, B. Lu, T. Morimoto, H. Borrmann, C. Felser, J. E. Moore, D. H. Torchinsky, and J. Orenstein, Sci. Adv. 6, eaba0509 (2020).

[128] E. Wolf, Introduction to the Theory of Coherence and Polarization of Light (Cambridge University Press, 2007).

[129] P. S. Halasyamani and K. R. Poeppelmeier, Chem. Mater. 10, 2753 (1998).

[130] Y. Zhang, T. Holder, H. Ishizuka, F. de Juan, N. Nagaosa, C. Felser, and B. Yan, Nat. Commun. 10, 1 (2019).

[131] T. Holder, D. Kaplan, and B. Yan, Phys. Rev. Research 2, 033100 (2020).

[132] R. Fei, W. Song, and L. Yang, Phys. Rev. B 102, 035440 (2020).

[133] S. V. Gallego, J. M. Perez-Mato, L. Elcoro, E. S. Tasci, R. M. Hanson, K. Momma, M. I. Aroyo, and G. Madariaga, J. Appl. Cryst. 49, 1750 (2016).

[134] H. Watanabe and Y. Yanase, Phys. Rev. B 98, 220412 (2018).

[135] J. E. Sipe and E. Ghahramani, Phys. Rev. B 48, 11705 (1993).

[136] C. Aversa and J. E. Sipe, Phys. Rev. B 52, 14636 (1995).

[137] R. von Baltz and W. Kraut, Phys. Rev. B 23, 5590 (1981).

[138] F. de Juan, Y. Zhang, T. Morimoto, Y. Sun, J. E. Moore, and A. G. Grushin, Phys. Rev. Research 2, 012017 (2020).

[139] T. Morimoto, S. Zhong, J. Orenstein, and J. E. Moore, Phys. Rev. B 94, 245121 (2016).

[140] F. Nastos and J. E. Sipe, Phys. Rev. B 82, 235204 (2010).

[141] I. Souza and D. Vanderbilt, Phys. Rev. B 77, 054438 (2008).

[142] Q. Ma, S.-Y. Xu, C.-K. Chan, C.-L. Zhang, G. Chang, Y. Lin, W. Xie, T. Palacios, H. Lin, S. Jia, P. A. Lee, P. Jarillo-Herrero, and N. Gedik, Nat. Phys. 13, 842 (2017).

[143] Y. Gao, S. Kaushik, E. J. Philip, Z. Li, Y. Qin, Y. P. Liu, W. L. Zhang, Y. L. Su, X. Chen, H. Weng, D. E. Kharzeev, M. K. Liu, and J. Qi, Nat. Commun. 11, 720 (2020).

[144] B. Bradlyn, J. Cano, Z. Wang, M. G. Vergniory, C. Felser, R. J. Cava, and B. A. Bernevig, Science 353, aaf5037 (2016).

[145] G. Chang, B. J. Wieder, F. Schindler, D. S. Sanchez, I. Belopolski, S.-M. Huang, B. Singh, D. Wu, T.-R. Chang, T. Neupert, S.-Y. Xu, H. Lin, and M. Z. Hasan, Nat. Mater. 17, 978 (2018).

[146] J. Cano, B. Bradlyn, and M. G. Vergniory, APL Materials 7, 101125 (2019).

[147] G. Grosso and G. Parravicini, Solid State Physics, 2nd Edition (Academic Press, 2013).

[148] T. Morimoto and N. Nagaosa, Sci. Adv. 2, e1501524 (2016).

[149] B. M. Fregoso, T. Morimoto, and J. E. Moore, Phys. Rev. B 96, 075421 (2017).

[150] Z. Z. Du, C. M. Wang, S. Li, H.-Z. Lu, and X. C. Xie, Nat. Commun. 10, 3047 (2019).

[151] H. Isobe, S.-Y. Xu, and L. Fu, Sci Adv 6, eaay2497 (2020).

[152] F. Flicker, F. de Juan, B. Bradlyn, T. Morimoto, M. G. Vergniory, and A. G. Grushin, Phys. Rev. B 98, 155145 (2018).

[153] B.-J. Yang and N. Nagaosa, Nat. Commun. 5, 4898 (2014).

[154] Y. Gao, Y. Zhang, and D. Xiao, Phys. Rev. Lett. 124, 077401 (2020).

[155] B. A. Bernevig, J. Orenstein, and S.-C. Zhang, Phys. Rev. Lett. 97, 236601 (2006).

[156] D. Vaknin, J. L. Zarestky, L. L. Miller, J.-P. Rivera, and H. Schmid, Phys. Rev. B 65, 224414 (2002).

[157] B. B. Van Aken, J.-p. Rivera, H. Schmid, and M. Fiebig, Nature 449, 702 (2007).

[158] E. Fogh, R. Toft-Petersen, E. Ressouche, C. Niedermayer, S. L. Holm, M. Bartkowiak, O. Prokhnenko, S. Sloth, F. W. Isaksen, D. Vaknin, and N. B. Christensen, Phys. Rev. B 96, 104420 (2017).

[159] G. Rousse, J. Rodriguez-Carvajal, S. Patoux, and C. Masquelier, Chem. Mater. 15, 4082 (2003).

[160] R. Toft-Petersen, M. Reehuis, T. B. S. Jensen, N. H. Andersen, J. Li, M. D. Le, M. Laver, C. Niedermayer, B. Klemke, K. Lefmann, and D. Vaknin, Phys. Rev. B 92, 024404 (2015).

[161] I. Kornev, M. Bichurin, J.-P. Rivera, S. Gentil, H. Schmid, A. G. M. Jansen, and P. Wyder, Phys. Rev. B 62, 12247 (2000).

[162] T. Rangel, B. M. Fregoso, B. S. Mendoza, T. Morimoto, J. E. Moore, and J. B. Neaton, Phys. Rev. Lett. 119, 067402 (2017).

[163] S. Jodlauk, P. Becker, J. A. Mydosh, D. I. Khomskii, T. Lorenz, S. V. Streltsov, D. C. Hezel, and L. Bohaty´, J. Phys. Condens. Matter 19, 432201 (2007).

[164] D. E. Parker, T. Morimoto, J. Orenstein, and J. E. Moore, Phys. Rev. B 99, 045121 (2019).

[165] G. B. Osterhoudt, L. K. Diebel, M. J. Gray, X. Yang, J. Stanco, X. Huang, B. Shen, N. Ni, P. J. W. Moll, Y. Ran, and K. S. Burch, Nat. Mater. 18, 471 (2019).

[166] L. Sˇmejkal, J. Zˇelezny´, J. Sinova, and T. Jungwirth, Phys. Rev. Lett. 118, 106402 (2017).

[167] Q.-F. Liang, J. Zhou, R. Yu, Z. Wang, and H. Weng, Phys. Rev. B 93, 085427 (2016).

[168] J. Ishizuka and Y. Yanase, Phys. Rev. B 98, 224510 (2018).

[169] T.-R. Chang, S.-Y. Xu, D. S. Sanchez, W.-F. Tsai, S.-M. Huang, G. Chang, C.-H. Hsu, G. Bian, I. Belopolski, Z.-M. Yu, S. A. Yang, T. Neupert, H.-T. Jeng, H. Lin, and M. Z. Hasan, Phys. Rev. Lett. 119, 026404 (2017).

[170] H.-J. Noh, J. Jeong, E.-J. Cho, K. Kim, B. I. Min, and B.-G. Park, Phys. Rev. Lett. 119, 016401 (2017).

[171] S. Du, P. Tang, J. Li, Z. Lin, Y. Xu, W. Duan, and A. Rubio, Phys. Rev. Research 2, 022025 (2020).

[172] N. Nagaosa, J. Sinova, S. Onoda, A. H. MacDonald, and N. P. Ong, Rev. Mod. Phys. 82, 1539 (2010).

[173] J. Ahn, G.-Y. Guo, and N. Nagaosa, Phys. Rev. X 10, 041041 (2020).

[174] K. Li, C. Li, J. Hu, Y. Li, and C. Fang, Phys. Rev. Lett. 119, 247202 (2017).

[175] S. Bao, J. Wang, W. Wang, Z. Cai, S. Li, Z. Ma, D. Wang, K. Ran, Z.-Y. Dong, D. L. Abernathy, S.-L. Yu, X. Wan, J.-X. Li, and J. Wen, Nat. Commun. 9, 2591 (2018).

[176] W. Yao, C. Li, L. Wang, S. Xue, Y. Dan, K. Iida, K. Kamazawa, K. Li, C. Fang, and Y. Li, Nat. Phys. 14, 1011 (2018).

[177] T. Morimoto and N. Nagaosa, Sci. Rep. 8, 2973 (2018).

[178] T. Morimoto and N. Nagaosa, Phys. Rev. B 94, 035117 (2016).

[179] T. Morimoto and N. Nagaosa, Phys. Rev. B 100, 235138 (2019).

[180] X. Liu, A. Chanana, U. Huynh, F. Xue, P. Haney, S. Blair, X. Jiang, and Z. V. Vardeny, Nat. Commun. 11, 323 (2020).

[181] H. Hatada, M. Nakamura, M. Sotome, Y. Kaneko, N. Ogawa, T. Morimoto, Y. Tokura, and M. Kawasaki, Proc. Natl. Acad. Sci. U. S. A. 117, 20411 (2020).

[182] L. Braun, G. Mussler, A. Hruban, M. Konczykowski, T. Schumann, M. Wolf, M. Mu¨nzenberg, L. Perfetti, and T. Kampfrath, Nat. Commun. 7, 13259 (2016).

[183] N. Ogawa, M. Sotome, Y. Kaneko, M. Ogino, and Y. Tokura, Phys. Rev. B 96, 241203 (2017).

[184] M. Sotome, M. Nakamura, J. Fujioka, M. Ogino, Y. Kaneko, T. Morimoto, Y. Zhang, M. Kawasaki, N. Nagaosa, Y. Tokura, and N. Ogawa, Appl. Phys. Lett. 114, 151101 (2019).

[185] N. Sirica, R. I. Tobey, L. X. Zhao, G. F. Chen, B. Xu, R. Yang, B. Shen, D. A. Yarotski, P. Bowlan, S. A. Trugman, J.-X. Zhu, Y. M. Dai, A. K. Azad, N. Ni, X. G. Qiu, A. J. Taylor, and R. P. Prasankumar, Phys. Rev. Lett. 122, 197401 (2019).