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The distribution of prime ideals over number fields and Diophantine equations involving factorial functions

Takeda, Wataru 武田, 渉 名古屋大学

2020.03.02

概要

整数解を問う Diophantine 方程式の研究は歴史が古く, 様々な形の方程式が様々な数学を用いることで研究されてきた. 本論文では, 階乗関数をふくむ Diophantine 方程式の解の個数について, 代数体の素イデアル分布を用いて考察した. ここで階乗関数とは通常の階乗以外にもその類似として考えられる関数も含む. 本論文において考察した方程式は以下の 2 種類である.

まず, 3 章で考察されている 1 つ目の方程式は左辺が階乗関数の積, 右辺が階乗関数1 つという問題である. 通常の階乗のとき, 𝑙1! ⋯ 𝑙𝑚−1! = 𝑙𝑚!という方程式になるが, この方程式は自明解と呼ばれる解が無限個あるということがよく知られている. 一方, 現在見つかっている非自明な解は 4 つのみであり, それらのみであると予想されている. これはSurányi-Hickerson 予想と呼ばれ, 非自明解の満たすべき条件や存在しない範囲の拡張など盛んに研究が行われている.

本論文では階乗を代数体𝐾に対して定義される階乗関数Π𝐾に変え, 同じ形の方程式を考えた. 上で述べた元々の研究とは異なり, 解の個数が無限個あるかどうかは難しい問題である. 本論文では有理数体を除くすべての代数体𝐾に対して, 階乗関数Π𝐾 からなる方程式は自明解と呼ばれる解が有限個しかないということを示した. 階乗を定義する代数体が有理数体のときは通常の階乗の方程式となるため, 有理数体かその他の代数体かによって, 結果が正反対になるという興味深い結果が得られた.

次に, 4 章で考察されている2 つ目の方程式は左辺が整数係数多項式, 右辺が階乗関数というものである. この方程式に関連する研究課題として Brocard-Ramanujan 問題という 130 年以上未解決な難問がある. これは方程式 𝑥2 − 1 = 𝑙! の整数解が(𝑥, 𝑙) = (5,4), (11,5), (71,7)の 3 つのみであるかという問題である. この問題の一般化として,左辺を一般の整数係数多項式に変えた方程式𝑎𝑚𝑥𝑚 + 𝑎𝑚−1𝑥𝑚−1 + ⋯ + 𝑎0 = 𝑙 !の整数解が有限個であるかを問う, 一般化 Brocard-Ramanujan 問題も考えられている.この問題における大きな発展として Berend と Harmse によって与えられた次のような結果がある. 彼らは, 左辺の多項式が 2 次以上の既約またはある条件を満たす可約多項式のとき, 整数解が有限個しかないことを示した. これは一般化 Brocard- Ramanujan 問題に多くの場合における解決を与えた重要な結果と言える. さらに彼らは右辺の階乗をある 2 つの他の階乗関数𝐻𝑙に変えた方程式も整数解が有限であることを示した.

本論文では彼らの結果の一般化として, 左辺の多項式を 2 変数斉次多項式𝐹(𝑥, 𝑦)とした方程式𝐹(𝑥, 𝑦) = 𝐻𝑙を考え, 左辺の 2 変数斉次多項式が Berend と Harmse の条件と類似のものを満たすとき, 整数解の組(𝑥, 𝑦, 𝑙)として現れる𝑙の個数が有限個であることを示した.

また, これまで示された結果はすべて解が有限個であることを証明したものであったが, 右辺をある条件を満たす代数体に対して定義される階乗関数, 左辺を特別な 2 変数 2 次斉次多項式とした方程式𝐹(𝑥, 𝑦) = Π𝐾(𝑙)の整数解の組(𝑥, 𝑦, 𝑙)として現れる𝑙の個数が無限個であるという, 整数解の無限性を与える結果も示した.

これまでに述べた 3 章および 4 章において得られた結果はBertrand-Chebyshev の定理をFrobenius 写像の共役類に対応する素数に拡張した結果が大きな鍵となって示されている. ここで Bertrand-Chebyshev の定理とは, 任意の𝑥 > 1に対して, 𝑝 ∈ (𝑥, 2𝑥)となる素数𝑝が存在するという結果である. この定理は 170 年ほど前に示された古典的な結果であるが, Riemann の zeta 関数の零点の情報なしに得られる結果であるため, 本論文における研究のように, 精密な素数分布を要求しない研究では効果的に働く.

本論文の 2 章において, この Bertrand-Chebyshev の定理を拡張した結果を証明した. 具体的には𝑥の下限を大きくすることにより, Frobenius 写像の共役類に対応する素数𝑝が区間(𝑥, 2𝑥)に存在するということを示している. さらに, 任意の𝐴 > 1に対して, 区間(𝑥, 𝐴𝑥)において同様の結果を𝑥の下限を𝐴 に依存させて大きくすることにより証明している. この証明に現れる定数はすべて具体的に計算可能な定数であることも分かり, 解の上限さらには解の個数, 具体的な解を求める今後の研究にも応用可能と言える.

その応用例の 1 つとして, 本論文の 5 章において, 3 章において考えた階乗関数の積が 1 つの階乗に一致するという方程式の自明解の上限を計算した. この方程式の自明解が有限個であることの証明の鍵となった結果は完全分解する素数に対する Bertrand-Chebyshev 型の評価であった. その評価に現れる定数を計算することにより, 自明解の上限を与えることに成功した.

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