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書き出し

ある非斉次の微分方程式とL関数の零点について

金城, 俊輝 KINJO, Toshiteru キンジョウ, トシテル 九州大学

2022.03.23

概要

本論文は，L関数の零点と局所対称空間上の非斉次の線形微分方程式の間に成り立つ関係に関する研究結果のまとめである．ここでL関数とはオイラー積を持つディリクレ級数のことを指す．L関数の零点の研究は，19世紀のリーマンの研究に始まる．そこではリーマンのゼータ関数の零点と与えられた素数以下の零点の個数に関する公式との関連，虚部がTより小さい非自明零点の個数の近似公式などが与えられ，有名なリーマン予想についてもそこで述べられた．以来様々なL関数に関して，リーマンの結果の類似やリーマン予想の類似が研究されてきた．

それらの研究の中でリーマン予想との関連で注目されている研究方針としてHilbertとPólyaによる予想がある．これは，リーマンのゼータ関数の零点をある微分作用素の固有値と関連付けることができ，この結果としてリーマン予想が解決できるだろうというものである．この提言を受けリーマンのゼータ関数に限らない様々なL関数の零点について，微分方程式との関係が研究されてきた．それらの中で特に興味深い結果の一つとして，Selbergの1956年の結果がある．Selbergはリーマン多様体に付随するL関数について，その零点とラプラシアンの固有値を関連付けることでリーマン予想の類似が成り立つことを示した．この結果に触発され，1989年に志村五郎は複素上半平面上のラプラシアンを用いて記述される，ある非斉次の変数sを含んだ線形微分方程式の解とリーマンのゼータ関数を因子として持つようなL関数の零点との間に興味深い関係が成り立つことを示した．志村の主結果は，微分方程式の解が急減少関数になることと，sが対応するL関数の零点となることが必要十分となることである．志村の手法は保型Green関数を用いて解を具体的に構成し，そのFourier展開を記述することで解のカスプでの挙動を精密に得ることによって対応するL関数との関係を明示的に得ることによる．また，志村は高次元の群に関する微分方程式の解について類似の結果が成立するかについて問題を提出した．

著者は，変数sを含むn次元上半空間の非斉次の線形微分方程式の解に関して研究した．志村の手法を参考に，n次元実上半空間上の保型Green関数を用いて，方程式の解を具体的に構成した．この解のFourier展開を具体的に記述することによって，n次元上半空間上のカスプ関数に関するランキンセルバーグ型のL関数，有理数体上の定符号四元数環に関するゼータ関数，実２次体のデデキントゼータ関数の３つの型のL関数について，その零点と非斉次の微分方程式の解の間の関係について志村と同様の結果を得た．また，得られた解にある微分作用素を作用させることで，ラプラシアンに関する，ある2m階(m>1)の非斉次の線型微分方程式の解を構成した．さらに，このようにして得られた関数が急減少関数となることと対応するL関数の零点の位数がm以上であることが必要十分であることを証明した．これは上記の志村の結果のL関数の零点の位数との対応に関する一般化となっている．

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参考文献

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