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Point vortex dynamics in background fields on surfaces

Shimizu, Yuuki 京都大学 DOI:10.14989/doctor.k22970

2021.03.23

概要

点渦力学 (point vortex dynamics) は，二次元空間内における非粘性・非圧縮流体の運動を記述するオイラー (Euler) 方程式に対して，速度場の回転場として定義される渦度が N 点のサポートを持つ δ 関数であると仮定したときに，得られる Nのサポート時間発展を考える力学である．点渦力学は二次元流体運動の素過程を記述する定番の数理モデルとして，数学的にも物理的にもよく研究されている数理物理における重要な研究対象である．この点渦方程式の解が，導出の元になったオイラー方程式の解であるかという数学的問題には困難が存在している．すなわち，点渦力学は二次元オイラー方程式の点測度初期値に対する解として正当化できるかという点である．この問題についての基本的な結果は，二次元平面における点渦力学の方程式の解は，その解が存在している限りにおいてオイラー方程式の弱い意味での解として定義できるものの，時間大域的な解としては定義ができないということである．これは点渦力学の流体モデルとしての数学的正当性を確保し，またこの理論的背景に基づいて点渦力学の解からオイラー方程式を通じて圧力項の計算（ベルヌーイの定理）が可能になり，その結果として流体の「力学」としての理論的研究が可能なる．

さて，このような点渦力学モデルは境界付き平面，球面やトーラスなどの向き付け可能二次元多様体上 (surfaces) でも考えることができる．球面上の点渦力学は地球流体運動の素過程を理解する上で非常に重要な研究対象となっており，トーラス上の点渦力学は Bose Einstein 凝集体の Toy model として用いられるなど，近年非常に活発に理論研究が行われている分野である．曲面上の点渦力学方程式の導出は平面の例にならって形式的に導出ができるが，これがもとの二次元オイラー方程式の解とどう関係しているかは明らかではなかった．そのために，点渦力学の解から圧力を計算する数学的に正当化された方法が存在していなかった．加えて，こうした曲面の流れの上に点渦以外の背景流れ場 (background fields) を考えることが応用上しばしば行われているが，点渦力学方程式の解から背景流つきオイラー方程式の解をどう構成するかという問題も未解決である．このような学術的背景にそって清水氏の学位論文は行われている．

清水氏は，多様体上の二次元オイラー方程式の微分形式による特徴付けとして知られる Euler-Arnold 流を考えた．具体的には特異性が強い流体とその微分方程式を扱うために微分形式の双対空間として定義されるde Rham の p-current の空間を考えて，点渦のような特異な渦度分布を許す双対空間での弱 Euler-Arnold 流の解として数学的に正当化できることを示した．

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参考文献

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