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Scaling limits of stochastic harmonic chains with long-range interactions

須田, 颯 東京大学 DOI:10.15083/0002007143

2023.03.24

概要

審査の結果の要旨

氏名 須田 颯

本論文は、冪的に減衰する相互作用ポテンシャルを持つ確率調和振動子
鎖について、系の保存量の経験分布に対する時空スケール極限が二つの異
なる時空スケールで収束することを示し、さらにそれぞれの時空スケール
によって得られた極限の局所密度(local density)が満たす偏微分方程式を
導出したものである。
非平衡統計力学における未解決かつ重要な問題として、決定論的非線形
ハミルトン系からの熱伝導の基本則であるフーリエの法則の厳密導出があ
る。非調和振動子鎖は、非常に多くの粒子が隣接する粒子と相互作用しな
がら時間発展する微視的系であり、決定論的非線形ハミルトン系の典型例
として非平衡統計力学の考察において長年中心的に扱われてきた。特に近
年、フーリエの法則の成立に関わる問題として、 低次元系におけるフーリ
エ則の破れや対応する熱の異常拡散が活発に研究されており、多数の数値
実験や理論的予測によって、平行移動不変な非線形調和振動子鎖では普遍
的にみられる現象であると考えられている。しかし、微視的系から巨視的
な法則を厳密に導くためには系の良いエルゴード性が必要であり、非線形
効果がそれを保証すると期待されているが、それを決定論的非線形系に対
して数学的に示すことは非常に困難である。そこで導入されたのが、系の
非線形効果を確率的摂動で近似した確率調和振動子鎖である。このダイナ
ミクスは平行移動不変であり、非調和振動子鎖と同様に、系の総運動量、系
の長さと系の総エネルギーを保存する。これらの保存量の経験分布の巨視
的な時間発展を導出することが主要な目標である。確率調和振動子鎖の先
行研究においては、最近接粒子間のみに相互作用があるモデルが中心的で
あり、この最近接モデルを含む相互作用ポテンシャルが指数減衰する場合
についてのみが扱われてきた。
本論文では、相互作用ポテンシャルが θ > 1 をパラメータとする冪的な減
衰をする長距離相関を持つ確率調和振動子鎖を考察している。主結果とし
て、各保存量は thermal part と phononic part に分解され、前者は超拡散
スケール、後者は超弾道的スケールの下で収束することが示された。前者
の収束は熱の超拡散を意味している。それぞれの part について、極限方程
式に現れる指数及び定数は、相互作用ポテンシャルの減衰の冪パラメータ

1

θ に依存し、θ が十分小さい場合には指数減衰する相互作用ポテンシャルと
は異なる時空間スケールで収束し、また異なる極限方程式が得られること
も示された。特に、thermal part のスケール極限においては、θ = 3 を閾値
として、θ > 3 では指数減衰の場合と同じ時空スケールと(定数を除いて)
同じ極限方程式である指数 34 の分数冪拡散方程式が得られる一方で、θ = 3
では極限の分数冪拡散方程式の指数は 34 であるが時空スケールに対数修正
が必要となること、さらに 2 < θ < 3 では極限方程式である分数冪拡散方程
3
となることが得られた。本結果は、長距離相関の強さを表
式の指数が 7−θ
す指数と、マクロな系の異常拡散の速さを表す指数の非自明な関係を初め
て厳密な手法で導出するものであり、数学的にもまた物理的にも高く評価
される。さらに、phononic part においては、θ < 3 において超弾道的波動
方程式が極限方程式として現れることを示した。このような時間発展方程
式が微視的系から導出されたのは初めてである。さらに、この極限に関す
る揺らぎの巨視的な振る舞いも導出しており、その時空スケールが θ に関
して非単調に変化するという興味深い性質を明らかにした。
このように、本論文で得られた長距離相互作用ポテンシャルを持つ確率
調和振動子鎖に対する結果は、低次元系の熱拡散に関するスケール極限の
研究に多くの新しい重要な知見を与えるものであり、大変高く評価できる。
よって、論文提出者 須田 颯 は、博士(数理科学)の学位を受けるにふ
さわしい充分な資格があると認める。

2

参考文献

[1] D. Bagchi : Energy transport in the presence of long-range interactions . Phys. Rev. E 96, 042121

(2017)

[2] D. Bagchi : Thermal transport in the Fermi-Pasta-Ulam model with long-range interactions.

Phys. Rev. E 95, 032102 (2017)

[3] G. Basile, C. Bernardin, S. Olla : Thermal Conductivity for a Momentum Conservative

Model. Commun. Math. Phys. 287 (2009) 67-98

[4] G. Basile, S. Olla, H. Spohn : Energy transport in stochastically perturbed lattice dynamics.

Arch. Ration. Mech. 195 (2009) 171–203

[5] C. Bernardin : Hydrodynamics for a system of harmonic oscillators perturbed by a conservative

noise. Stoch. Proc. Appl., 117 (2007), 487-513

[6] C. Bernardin, S. Olla : Fourier’s Law for a microscopic model of heat conduction . J. Stat.

Phys. 121 (2005) 271–289

[7] F. Bonetto, J. L. Lebowitz, L. Rey-Bellet : FOURIER LAW: A CHALLENGE TO

THEORISTS. Mathematical Physics 2000, Imperial College Press, London, 2000, 128–150

[8] A. Dhar : Heat transport in low-dimensional systems. Adv. Phys. 57(5) (2008) 457–537

[9] R. L. Dobrushin, A. Pellegrinotti, Yu. M. Suhov, L. Triolo : One-dimensional

harmonic lattice caricature of hydrodynamics. J. Stat. Phys. 43 (1986) 571-607

[10] T. V. Dudnikova, H. Spohn : Local stationarity for lattice dynamics in the harmonic approximation. Markov Processes and Related Fields 12, (2006) 645-678

[11] J. Fritz, T. Funaki, J.L. Lebowitz : Stationary states of random Hamiltonian systems.

Probab. Theory relat. Fields 99, 211–236 (1994)

[12] J. Fritz, K. Nagy, S. Olla : Equilibrium fluctuations for a system of harmonic oscillators

with conservative noise. J. Stat. Phys., 122 (2006), 399-415.

[13] I. M. Gelfand, N. Ya. Vilenkin : Generalized Functions volume 4. Academic Press, New

York (1964)

[14] S. Iubini, P. Di Cintio, S. Lepri, R. Livi, and L. Casetti : Heat transport in oscillator

chains with long-range interactions coupled to thermal reservoirs. Phys. Rev. E 97, 032102 (2018)

[15] M. Jara, T. Komorowski, S. Olla : Limit theorems for additive functionals of Markov chains.

Ann. Appl. Probab. 19 (2009) 2270–2300

[16] M. Jara, T. Komorowski, S. Olla : Superdiffusion of Energy in a Chain of Harmonic

Oscillators with Noise. Commun. Math. Phys. 339 (2015) 407–453

[17] T. Komorowski, S. Olla, Ballistic and superdiffusive scales in macroscopic evolution of a chain

of oscillators, Nonlinearity 29 (2016) 962–999

[18] T. Komorowski, S. Olla, Diffusive Propagation of Energy in a Non-acoustic Chain, Arch.

Rational Mech. Anal., 223 (2017) 95–139

[19] T. Komorowski, S. Olla, M. Simon : Macroscopic evolution of mechanical and thermal energy

in a harmonic chain with random flip of velocities . Kinetic and Related Models 11(3) (2018) 615–

645

[20] N. N. Lebedev : Special functions and their applications. Prentice-Hall, inc. (1965)

[21] Thermal Transport in Low Dimensions : From Statistical Physics to Nanoscale Heat Transfer. edited

by S. Lepri, Springer, New York (2016)

[22] S. Lepri, R. Livi, A. Politi : Heat conduction in chains of nonlinear oscillators. Phys. Rev.

Lett. 78 (1997) 1896–1899

[23] S. Lepri, R. Livi, A. Politi : Thermal conduction in classical low-dimensional lattices. Phys.

Rep. 377(1) (2003)1–80

[24] J. Lukkarinen, H. Spohn : Kinetic Limit for wave propagation in a random medium. Arch.

Rat. Mech. Anal. 183 (2007) 93-162

[25] A. Mellet, S. Merino-Aceituno : Anomalous Energy Transport in FPU-β Chain. J. Stat.

Phys. 160(3) (2015) 583–621

[26] S. Olla, S. R. S. Varadhan, H. T. Yau : Hydrodynamic Limit for a Hamiltonian system

with Weak Noise. Commun. Math. Phys. 155, 523–560 (1993)

[27] K. Saito, M. Sasada, H. Suda : 5/6-Superdiffusion of Energy for Coupled Charged

Harmonic Oscillators in a Magnetic Field. Commun. Math. Phys. 372, 151-182 (2019)

[28] M. Sasada, S. Olla : Macroscopic energy diffusion for a chain of anharmonic oscillators.

Probab. Theory relat. Fields 157, 711–775 (2013)

76

[29] H. Spohn : Nonlinear fluctuating hydrodynamics for anharmonic chains. J. Stat. Phys. 154(5)

(2014) 1191-1227

[30] H. Suda : Superballistic and superdiffusive scaling limits of stochastic harmonic chains with longrange interactions. in preparation.

[31] S. Tamaki, K. Saito : Energy current correlation in solvable long-range interacting systems.

Phys. Rev. E 101, 042118 (2020)

[32] H. T. Yau : Relative entropy and hydrodynamics of Ginzburg-Landau Models. Letters Math.

Phys. 22 63-80 (1991)

Graduate School of Mathematical Sciences, University of Tokyo, 3-8-1, Komaba,

Meguro-ku, Tokyo, 153–8914, Japan

Email address: hayates@ms.u-tokyo.ac.jp

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