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Asymptotic Theory of Statistical Inference for Binary Time Series and Count Time Series and Its Applications

Goto Yuichi 早稲田大学

2021.08.03

概要

本学位論文では、雨が降ったもしくは降っていないなど観測値が0か1でしか得られない場合もしくは、観測値が外れ値を含んでいる場合に有効な二値時系列に基づく統計漸近理論の構築をする。次に、二値時系列のアイデアを応用し、二値系列を方向統計学へ導入する。また、二値時系列を特殊ケースとして含む計数時系列に対して、構造変化検定理論の構築をする。さらに、標準的な設定でない状況下で、尤度比過程の漸近挙動を明かにする。

本学位論文の構成は、以下の通りである:
Chapter 1. Introduction
Chapter 2. Robustness of zero crossings estimator
Chapter 3. Discriminant analysis based on binary time series
Chapter 4. Estimation of trigonometric moments for circular distribution of MA(p)type by using binary series
Chapter 5. Distribution free tests for structural break of count time series
Chapter 6. Likelihood ratio processes under non-standard settings

以下、各章の概要を述べる。
Chapter1では、二値時系列、判別解析、方向統計学、計数時系列、局所漸近正規性(LAN)、分散分析、及び同時方程式モデルの歴史や本学位論文のモチベーションについて述べる。二値系列を用いた解析手法は大きく分けて二っの方法がある。一つ目は、背後の時系列が存在し、その時系列から二値系列が生成されている場合を想定する方法である。Stieltjes(1889)により、背後の時系列が正規過程であれば、二値時系列は元の時系列の自己相関(ACF)の情報を含んでいる(cosine formula)ということが示された。さらにその後He and Kedem(1989)により、cosine formulaが正規過程を特殊ケースとして含む楕円型過程まで拡張された。Chapter2及ぴChapter3では、背後の時系列として楕円型過程を仮定する。Chapter4では、方向時系列に対して、cosine formulaを導入する。二つ目が、二値系列自体を直接モデリングする方法である。Chapter5では二値時系列を特殊ケースとして含む計数時系列に対してモデリングを行う。Chapter6は、Chapter2-Chapter5とは独立しでいる章である。

Chapter2では、二値系列を用いて計算されるゼロ交差(ZC)推定量について調べる。この統計量は、観測時系列をプロットして、観測点を直線で繋いだときに、その直線がゼロに交わった回数に注目している。Kedem(1994)は、背後の時系列が正規遇程の時にZC推定量の漸近正規性を示した。さらに、元の時系列の初期値に外れ値を入れた状況を想定し、サンプルACFは外れ値に対して鋭敏であり、ZC推定量は頑健であるということを示した。本章では、背後の時系列が楕円型過程である状況下で、ZC推定量の多次元漸近正規性を示し、漸近分散がCramér—Raoの下限に到達しないことを数学的に証明する。さらに、疑似最尤推定量が外れ値に対して鋭敏であることを示すことで、ZC推定量の外れ値に対する頑健性を明かにする。また、数値シミュレーション及びオーストリアのある銀行の利率データの解析も行う。

Chapter3では、二値時系列に基づく判別解析を行う。時系列解析における判別解析では、観測時系列がスペクトルf,gで記述されるニつのカテゴリのいずれかから得られていると想定し、正しいカテゴリを高い確率で判別することを目的とする。Kagizawa(1996)で導入された一般的な判別関数に対して、判別関数の符号によりカテゴリを判別するという判別ルールを定める。先行研究(例えば、Taniguchi and Kakizawa(2000))では、判別関数の良さについての議論はされているが、スペクトルの推定量として平滑化ピリオドグラムを用いている。本章では、二値時系列に基づくスペクトルの推定量を用いた判別手法を提案する。判別手法の`良さ」は誤判別確率(判別したカテゴリが間違っている確率)を用いて評価出来る。まず、提案判別手法の基本的な「良さ」として観測数増大に伴い誤判別確率が0へ収束することを示す。これは、判別の一致性と呼ばれる。他の判別の一致性を有する手法と比較するために、カテゴリが近接している状況を考える。すると、誤判別確率が、正規分布の累積分布関数を用いて表現できる0でない値へ収束することが証明できる。この値を比較することにより、判別の一致性を有する手法と「良さ」を比べることが可能になる。さらに、外れ値に対する提案判別手法の頑健性を明らかにする。実際には、カテゴリが未知であるケースがほとんどであるため、カテゴリを訓練データから推測する場合も取り扱う。数値シミュレーションでは、有限サンプルで提案手法が正常に機能すること及び頑健性を確認する。さらに、さらに、実データ解析として、正常な心臓の心電波と心筋梗塞発症中の心電波の判別を行う。

Chapter4では、近年急速に注目を浴びている方向統計学の話題を取り扱う。円周分布についての研究が多くなされてきているが、Taniguchi et al.(2020)は、提案されている多くの円周分布が時系列のスペクトルの形と対応していることを指摘し、時系列スペクトル型の円周分布を提案した。本章では、MA(q)スペクトル型の円周分布について、基本的な性質を明かにす。cosine formulaのアイデアを適用し、二値系列に基づく三角モーメントの推定量を提案し、多次元漸近正規性を朋かにする。次に、提案推定量の漸近分散がCramer一Raoの下限に到達しないことを数学的に証明する。確率密度関数がノイズに汚染されている状況下でも、提案推定量はノイズに影響されないことを明らかにする。これにより、二値系列に基づく三角モーメントの推定量は、確率密度関数のノイズに対して頑健であることが分かる。数値シミュレーションでは、漸近正規性や有限サンプルでの推定の精度を検証した。

Chapter5では、計数時系列に対する構造変化検定手法の提案を行うINARモデルは、McKenzie(1985)及ぴAl-Osh&Alzaid(1987)、INGARCHモデルは、Heinen(2008)及ぴFerland et al.(2006)によって提案された代表的な計数時系列のモデルである。これらは、McCullagh and Nelder(1989)によって提案されたneralized linear model の枠組みで統一的に表現出来る。構造変化検定について、INGARCHモデルに対する先行研究では分布の仮定が必須であった。本章では、分市を仮定する代わりに定常性とエルゴード性を課すことで様々なモデルに対する構造変化検定を統一的な手法で行うことが出来る。Wald型、修正版Wald型、score型及びresidual型CUSUM検定統計量を提案する。まず、帰無仮説の下で、これらの統計量は、標準プラウン橋の上限に収束することを証明する。これにより、distribution-freeな検定を構築することが出来る。さらに、修正版Wald型検定統計量に基づく検定は、対立仮説の下、観測数増大に伴い検出力が1へ収東すること、すなわち、一致性を持つことを証明する。数値シミュレーションでは、帰無仮説の下でWald型及び修正版Wald型統計量に基づく検定がサイズの歪みを持つこと、score型及びresidual型検定統計量に基づく検定は、サイズが制御できでいることを確認する。対立仮説の下では、すべての統計量が一致性を持つことを確認しresidual型の検定はsocre型よりも検出力が高いことを明らちかにする。

Chapter6では、新しい漸近理論の話題を取り扱う。LAN性の概念はLeCam(1960)によっで導入され、最適推測論や検定論に対して、極めて重要な役割を担うことが知られている。既に、ARMAモデルやGARCHモデル、CHARNモデルなど多くの時系列モデルに対してLAN性が証明されている。本章では、標準的でない設定の下で、尤度比の漸近挙動を調ベる。まず、曲正規族や経済学で重要な同時方程式モデルなど曲構造を有するモデルに対して、LAN性を示す。これにより、上にあげた曲構造を持つモデルに対してもLAN性に基づく最適推定量や検定の構築が可能になる。次に、ランダム効果付きの一元配置分散分析モデルの尤度比の漸近挙動を調べる。このモデルは、Fihser(1918)により導入され、遺伝子学や作物の収穫量、生物学実験の分析に対して、応用されている。ランダム効果の分散が0でない場合、尤度比が0へ収束することを示す。次に、ランダム効果の分散が0である場合に対して尤度比過程を考えると、近接オーダーに依存して、漸近分布が変化することが分かる。この漸近分布にはカイ二乗分布が含まれている。すなわち、通常の理論とは異なる結論でありLAN性も成り立たない。その結果、LAN性に基づく最適性の議論をすることが出来ない。このモデルに対する尤度比に基づく検定の検出力は、直接の計算により導出することが出来る。Neyman—Pearsonのフレームワークにより、提案検定手法は、漸近最強カ検定であることが示される。以上より、ランダム効果付きの一元配置分散分析モデルは非常に特異なモデルであることがわかる。

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