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A characterization of the Fuchsian locus of PSLnℝ-Hitchin components

稲垣, 友介 大阪大学 DOI:10.18910/81992

2021.03.24

概要

Hitchin成分は曲面の双曲構造の変形空間であるTeichmüller空間の表現の意味での高次元化であり，幾何学的トポロジーの分野における比較的新しい研究対象である．Sを向き付け可能なコンパクト曲面でEuler数が負のものとする．Teichmüller空間とはS上の双曲構造，即ち至る所曲率が-1のRiemann計量の等長類の空間である．この空間はFuchs表現と呼ばれるSの基本群の忠実離散的なPSL2R -表現の共役同値類の空間としても定義することができる．PSLnRの場合に対してTeichmüller空間の類似として定義されたのがHitchin成分である．Sの基本群のPSLnR -表現の共役同値類の成す空間を指標多様体という．Hitchin成分とはFuchs表現にPSL2RのPSLnR -既約表現を左から結合して得られるPSLnR -表現を含む指標多様体の連結成分である．

Teichmüller空間の研究はとても長い研究の歴史を持ち，共形構造，複素構造，そして特に幾何学的トポロジーの分野では双曲構造の変形空間として広く研究されてきた．さらに双曲3次元多様体の研究で用いられるKlein群との関係も深く，20世紀後半でこの2分野はともに目覚ましい発展を遂げてきた．Teichmüller空間とKlein群はそれぞれ，基本群のPSL2R，PSLnCへの忠実な離散表現を用いて定義することができる．PSL2R，PSLnCは線形Lie群の中でランク1と呼ばれるものである．近年それらの20世紀後半で行われた研究をランク1のLie群の研究と捉え，その高次元化として高ランクLie群(PSLnR,𝑆𝑃ሺ2𝑛ሻなど)に対しても基本群の離散表現やその作用について研究が行われるようになってきた．本論文の主題であるHitchin成分はまさにTeichmüller空間の高ランクLie群に対する類似になっており，歴史的にも関心の集まる研究対象である．

Sの基本群のFuchs表現の空間であることからTeichmüller空間は定義よりHitchin成分に埋め込まれる．埋め込まれたTeichmüller空間，つまりFuchs表現から得られる表現の成すHitchin成分の部分集合をFuchs跡と呼ぶ．本論文はこのFuchs跡に焦点を当てる．筆者は学位申請論文においてFuchs跡の研究としてその特徴付けを行った．Hitchin成分にはBonahonとDreyerにより与えられた座標系が存在する．その座標系はBonahon-Dreyer座標系と呼ばれ，Teichmüller空間のシェア座標の高次元化に相当している．ここでTeichmüller空間のシェア座標とはラミネーションの横断コサイクルを用いたパラメタ付けである．ラミネーションの葉に横断的に交わる弧に対して実数を与える写像で加法性・ホモトピー不変性をもつものを横断コサイクルと呼び，BonahonはTeichmüller空間から横断コサイクルの空間への埋め込みを構成した．Bonahon-Dreyer座標はシェア座標の高次元化であり，S上の極大ラミネーションとそれが与える理想三角形分割構造に沿って定まる2種類の実数値不変量により定義される．一つ目は理想三角形に対して定まる三角不変量で高次元の場合にしか定義されない不変量である．二つ目はラミネーションの葉に対して定まるシェア不変量で，横断コサイクルをRn-1値にした捩じれ横断コサイクルで与えられる．BonahonとDreyerはこれらの不変量によりHitchin成分があるEuclid空間内の凸胞でパラメタ付けされることを示した．

これらの不変量は一般に計算が困難である．筆者は本論文においてSがパンツ曲面の場合の考察を通して，代数的な計算に帰着させることで，Fuchs跡上のBonahon-Dreyer座標の特徴を決定した．

主結果は次の通りである．向き付けられた連結，コンパクトな任意の曲面SとS上の任意の極大ラミネーションに対してHitchin成分の元がFuchs跡に含まれることは，Bonahon-Dreyer座標について三角不変量は0であり，シェア型の不変量はラミネーションの横断コサイクルにある種一致することと必要十分である．この系としてFuchs跡はHitchin成分のパラメタ空間の凸胞において，いくつかの単純な方程式で定義されるアフィン切断に等しいことが示される．

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参考文献

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