ウンルー効果の量子情報科学への応用に関する理論的研究

概要

博士論文

ウンルー効果の量子情報科学への応用
に関する理論的研究

令和 3 年 3 月
広島大学大学院総合科学研究科
廣石 雅紀

博士論文

ウンルー効果の量子情報科学への応用
に関する理論的研究

令和 3 年 3 月
広島大学大学院総合科学研究科
総合科学専攻
廣石 雅紀

目次
第 1 章 序論
1.1 背景 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 パラメトリック増幅について . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 古典力学におけるパラメトリック増幅 . . . . . . . . . .
1.2.2 古典力学でパラメトリック増幅を生じさせるための条件
1.2.3 光学におけるパラメトリック増幅 . . . . . . . . . . . . .
1.2.4 真空揺らぎのパラメトリック増幅 . . . . . . . . . . . . .
1.3 量子エンタングルメントの量子相関 . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 ウンルー効果のパラメトリック下方変換との共通点 . . . . . . .
1.5 ウンルー効果と他の量子エンタングルメント生成機構との関係 .
1.6 本論文の目的 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7 本論文の構成 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
第2章
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6

慣性系からみたフォック状態の定義
クライン・ゴルドン方程式 . . . . . . . . .
場のモード展開 . . . . . . . . . . . . . . .
クライン · ゴルドン内積の定義 . . . . . . .
場の量子化とフォック空間の定義 . . . . .
クライン・ゴルドン方程式を導く作用積分
まとめ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

第3章
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
3.8

一様加速系からみたフォック状態の定義
一様加速運動をするロブの世界線 . . . . . . . . . .
一様加速運動をするロブの固有座標系 . . . . . . .
右リンドラー座標系の導入 . . . . . . . . . . . . . .
左リンドラー座標系の導入 . . . . . . . . . . . . . .
リンドラー座標系における場のモード展開 . . . . .
右リンドラー座標系に対応するフォック空間の定義
左リンドラー座標系に対応するフォック空間の定義
まとめ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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22
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33
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第 4 章 ウンルー効果のメカニズム
36
4.1 ウンルーモード関数の導入 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

i

4.2
4.3
4.4
4.5

ボゴリューボフ変換の簡潔化 . . . . . . . . . . .
ウンルー真空とミンコフスキー真空との関係 . . .
ウンルー効果をもたらす量子エンタングルメント
まとめ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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ˆ の役割
第 5 章 ウンルー効果をもたらすユニタリー演算子 G
5.1 光学系のモデル . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.1 スクイージングの作用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.2 ビームスプリッタの作用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.3 ビームスプリッタによるスクイーズド真空状態の重ね合わせ
5.1.4 2 モードスクイーズド状態を形成するユニタリー変換の性質
ˆ の解釈 . . . . . . . . .
5.2 ウンルー効果をもたらすユニタリー演算子 G
5.3 ウンルー効果を表すエンタングル状態 |EPR⟩ の取り出し . . . . . .
5.4 まとめ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
第 6 章 閉じた時間的曲線を利用した量子エンタングルメントの形成
6.1 CTC に関する背景 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 場の CTC のモデル . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.1 事後選択された量子テレポーテーション . . . . . . . . .
6.2.2 CTC を用いたエンタングル状態 |Φ(|a|2 )⟩A,B の形成 . . .
6.2.3 量子テレポーテーションの CTC についての考察 . . . . .
6.3 場の CTC を用いたエンタングル状態の形成 . . . . . . . . . . .
6.3.1 場の CTC の形成方法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3.2 CTC がフォック状態よりなる場合 . . . . . . . . . . . . .
6.3.3 アリスが逆変換の操作を行わない場合 . . . . . . . . . .
6.3.4 CTC がコヒーレント状態よりなる場合 . . . . . . . . . .
6.3.5 CTC がスクイーズド状態よりなる場合 . . . . . . . . . .
6.4 まとめ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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75
76
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第7章
7.1
7.2
7.3

ウンルー効果を利用した量子テレポーテーション
80
量子テレポーテーションの手順 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
量子複製不可能定理に関する考察 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
まとめ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

第8章
8.1
8.2
8.3
8.4

結論
提案事項のまとめ . . . . . . . .
本研究の着眼点及び貢献的意義
発見事項のまとめ . . . . . . . .
今後の課題 . . . . . . . . . . .

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付 録 A 正準交換関係からの不確定性関係の導出

ii

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83
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84
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ˆ の作用の確認
付 録 B ウンルー効果をもたらすユニタリー演算子 G
88
B.1 リンドラーラダー演算子の時間発展の確認 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
B.2 リンドラー真空の時間発展の確認 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
付 録C
C.1
C.2
C.3
C.4
C.5

熱状態からのプランクの放射式の導出
ボース・アインシュタイン分布関数の導出 . .
エネルギー固有状態の数密度の導出 . . . . . .
プランクの放射式の導出 . . . . . . . . . . . .
まとめ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
付言：ロブの固有加速度 a の具体値の見積もり

付 録D
D.1
D.2
D.3

フォック空間 FI と FII とのユニタリー非同値性について
95
ミンコフスキー真空の展開 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
演算子 Vˆ の性質 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
まとめ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

付 録E
E.1
E.2
E.3
E.4

電磁場の量子化
一般化座標・一般化運動量演算子を用いた光の表現
生成・消滅演算子を用いた光の表現 . . . . . . . . .
演算子 a
ˆ† a
ˆ の物理的意味 . . . . . . . . . . . . . . .
まとめ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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付 録 F 量子力学における時間反転
F.1 古典力学の場合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
F.2 量子力学の場合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
F.2.1 時間反転状態 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
F.2.2 遷移確率の不変性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
F.2.3 複素共役の意義 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
F.2.4 量子テレポーテーションの転送状態 |ψ⟩ の時間反転

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105

謝辞

106

参考文献

107

iii

第1章
1.1

序論

背景

今日，あらゆる技術分野で情報科学が駆使されている．情報科学は，1940 年代に最初の
コンピュータが登場して以来，今日に至るまで劇的に進化を遂げ，今後も進展しつづけると
思われる．しかし，情報科学がいかに進展しようとも，情報が物理的な媒体によって保持さ
れることを要し，その媒体への働きかけによって情報処理が遂行されるという事実は不変で
ある [1]．そして，その媒体のふるまいは必ず物理法則に支配される．従って，情報科学の
根幹は，物理学によって支えられていると言える．
近年では，情報を保持する媒体に光子，電子等の量子系を用い，かつ量子力学特有の物理
法則である重ね合わせの原理（superposition principle）を積極的に活用する情報処理，即
ち量子情報処理の実用化が進められている．量子情報処理では，重ね合わせの原理に基づい
て，個々の量子系に状態の重ね合わせを形成し，個々の量子系の複数の状態で並列に計算す
るといったことを行う．これにより，古典物理学の範疇では実現できない情報処理が達成さ
れる．なお，こういった量子効果を活用する量子情報処理を扱う情報科学を特に量子情報科
学と呼んでいる．
一方，現状の量子情報処理では，相対論的な効果については積極的に取り入れていると
は言い難い．しかし，上述のように，情報を保持する媒体は物理法則に支配される．このた
め，媒体の運動に起因する相対論的な影響が無視できない場合がある．具体的には，媒体が
加速運動する場合，その媒体は相対論的な影響としてウンルー効果（Unruh effect）を受け
る．ウンルー効果とは，加速運動を行う舞台としての場が，黒体放射と同じ統計分布に従っ
て，エネルギー量子としての粒子を放射するというものである [2] ．この放射をウンルー放
射（Unruh Radiation）という．
ウンルー放射は，情報を保持する媒体における，上述した状態の重ね合わせを破壊するデ
コヒーレンス（decoherence）の原因となる [3] [4] [5] [6] [7]．従って，量子系を用いる意義
が損なわれるため，常識的な処方によれば，ウンルー効果は，量子情報処理を遂行するうえ
では回避すべきものとして扱われる．
ところが，ウンルー放射の発生プロセスは，量子情報処理を実現するために不可欠な操作
の 1 つであるパラメトリック増幅（parametric amplifier）と物理的に等価である [8]．パラ
メトリック増幅とは，具体的には，量子エンタングルメント（quantum entanglement）を
形成するための操作であり，量子エンタングルメントは，古典的な情報処理に対する優位性
を量子情報処理にもたらす根源である．

1

第 1 章 序論
そうすると，そのように重要な操作であるパラメトリック増幅とウンルー効果とが物理的
に等価であるならば，ウンルー効果は，量子情報処理に有効活用できる可能性を秘めている
と考えられる．この推察に端を発して，本研究では，ウンルー効果を量子情報科学に応用す
る手法を模索した．以下，上述した背景を具体的に説明する．

1.2

パラメトリック増幅について

上述のように，ウンルー効果がパラメトリック増幅と物理的に等価であるということが，
ウンルー効果の活用法を見い出そうとする本研究の動機である．
そこで，ウンルー効果とパラメトリック増幅とがどのように共通するかを具体的に示すた
めに，パラメトリック増幅がどういうものかについてまず説明する．なお，パラメトリック
増幅による量子エンタングルメントの形成には，量子効果が寄与している．そこで，どのよ
うな点で量子効果が寄与しているかを明らかにするための比較例として，古典力学における
パラメトリック増幅を最初に説明する．

1.2.1

古典力学におけるパラメトリック増幅

パラメトリック増幅とは，振動系において振動を決定付けるパラメータを周期的に変化さ
せることにより，振動を増幅させる操作のことである．以下，パラメトリック増幅の典型例
として，ぶらんこについて述べる．

図 1.1: ぶらんこをこぐ際の人の動きを示す概念図．青い丸は，重心 c.m. の位置を示す．青
い実線及び破線は，重心の軌跡を示す．

2

第 1 章 序論
図 1.1 に示すように，ぶらんこをこぐことで，ぶらんこの振幅が増大することがよく知ら
れている．ぶらんこをこぐとは，具体的には，ぶらんこに載った人が腰を上下に移動させる
ことである．これにより，図 1.1 中，青い丸で示すように，人の重心 c.m. が上下に移動する．
このことは，ぶらんこという振動系のパラメータである，鎖の長さを周期的に変化させるこ
とと等価である．つまり，ぶらんこをこぐことは，パラメータとしての鎖の長さを周期的に
変化させることにより振幅を増大させるパラメトリック増幅である．
ぶらんこをこぐ動作と，いわゆる強制振動との違いの 1 つは，振幅を増幅させるために与
える力の方向にある．即ち，強制振動の外力は，振動の方向に作用するのに対し，ぶらんこ
に載った人が腰を移動させるのに要する力の方向は，常に，ぶらんこの振動の方向に対して
直角である．また，人は，ぶらんこという振動系の一部を構成しているのであり，人が腰を
移動させるのに要する力は，外力というよりも，むしろ内力というべきである．これらの点
で，パラメトリック増幅は，いわゆる強制振動とは一応区別される [9]．
ぶらんこをこぐことで振幅が増大する理由は，人が腰を移動させるのに要するエネルギー
が，ぶらんこの振動エネルギーに変換されているためである．以下，ぶらんこをこぐことで
振幅が増大することを数学的に確認する．

図 1.2: ぶらんこの物理モデルとしての単振り子．

図 1.2 は，ぶらんこの物理モデルとしての単振り子を示す．単振り子は，長さ ℓ の糸と，
その糸の下端につながれた質量 m の質点とで構成される．質点の位置が，図 1.1 に示した重
心 c.m. ...

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