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Constant scalar curvature Kähler metrics on noncompact complex manifolds

青井, 顕宏 大阪大学 DOI:10.18910/81995

2021.03.24

概要

本論文の目的は,非線形偏微分方程式の解析を行うことで複素多様体上にスカラー曲率が定数関数となるようなKähler計量を構成することである.

背景は以下に述べる4つの結果である. CalabiはFano多様体がKähler Einstein計量を持つという仮定の下で,その標準直線束の全空間上に完備Kähler計量でリッチ平坦となるものが存在することを証明した.これは常微分方程式を解くことによって示される.この結果の一般化として,Bando-KobayashiはFano多様体上にリッチ曲率が正となるKähler Einstein計量を持つ滑らかな超曲面が存在するという仮定の下で,その超曲面の補集合上に完備リッチ平坦Kähler計量が存在することを証明した.さらにTian-YauはFano多様体上にリッチ平坦なKähler Einstein計量を持つ滑らかな超曲面が存在するという仮定の下で,その超曲面の補集合上に完備リッチ平坦Kähler計量が存在することを証明した.これら二つの結果は,複素Monge-Ampère方程式と呼ばれる二階の非線形偏微分方程式を解くことで示される.一方でHwang-Singerは偏極多様体(コンパクトな複素多様体とその上の豊富な直線束の組)を考え,その直線束の偏極類が非負の値を取る定スカラー曲率Kähler計量を持つという仮定の下で,その直線束の双対直線束の全空間上には完備Kähler計量でスカラー平坦となるものが存在することを証明した.この結果はCalabiの結果と同様に,常微分方程式を解くことで示される.以上のCalabi,Bando-Kobayashi,Tian-Yau,Hwang-Singerの4つの結果から,偏極多様体上に定スカラー曲率Kähler計量を許容する滑らかな超曲面が存在すれば,その補集合には完備スカラー平坦Kähler計量が存在するか?という問題が浮かび上がる.この問題は常微分方程式や複素Monge-Ampère方程式ではなく4階の非線形偏微分方程式を扱うという困難を持つ.

得られた最も主要な結果(Theorem 1.8)について述べる. 𝑛次元偏極多様体(X, LX)上に滑らかな超曲面D ∈ |LX|が存在すると仮定し,LDをLXをDへ制限した直線束として定める.本論文では,偏極多様体(D, LD)がその偏極類に𝑆̂Dの値を取る定スカラー曲率Kähler計量を持つとき,次の3つの条件を満たせば,補集合X ∖ D上は完備スカラー平坦Kähler計量を許容することを証明した:(i)n ≥ 6であり,D上で0となるX上の正則ベクトル場は自明なもの以外存在しない,(ii)0 < 3𝑆̂D < 𝑛(𝑛 − 1)が成り立つ,(iii)直線束KX−𝑙 ⊗ Lx𝑚が非常に豊富となる正の整数𝑙, 𝑚が存在し,その比𝑚/𝑙は十分小さい.

本論文の構成と上で述べた主要な結果の証明の概略は以下の通りである.第2章ではKähler計量の曲率に関する計算と,先述のCalabi,Bando-Kobayashi,Tian-Yauの結果について振り返る.3章ではHwang-Singerの結果とその計量に関する測地球の体積増大度について振り返る.これらの計量の構成から,4章では補集合X ∖ D上に背景計量を定義し,偏極多様体(D, LD)がその偏極類に定スカラー曲率Kähler計量を持てば先に定義した背景計量のスカラー曲率が非常に早く減衰することを証明する.5章では漸近錐的幾何と重み付き関数空間の定義について振り返り,6章ではその関数空間上の4階の楕円型線形作用素について調べる.7章では4章の結果を用いスカラー曲率が十分小さい漸近錐的幾何なKähler計量が存在すれば,それをスカラー平坦となるように変形できることを証明する.ここでは完備スカラー平坦Kähler計量の存在を重み付き関数空間の不動点として特徴づけることがポイントとなる.8,9,10章では退化型複素Monge-Ampère方程式と多重劣調和関数の張り合わせを用いることでスカラー曲率をいくらでも小さくできる完備Kähler計量を構成する.こうして得られたKähler計量は漸近錐的幾何でないので,11章では射影空間内の十分小さい閉集合上で平均を取り,スカラー曲率をいくらでも小さくできるようパラメトライズされた漸近錐的幾何なKähler計量を得る.12章では8章から11章までで構成したKähler計量を7章で得られた定理に適応させる.ここでは不動点定理が成り立つことを示すために,スカラー曲率を線形化した作用素の逆作用素を考え,その作用素ノルムに関する一様な評価を示すことが重要となる.

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参考文献

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