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Generalized Kazdan-Warner equations associated with a linear action of a torus on a complex vector space

宮武, 夏雄 大阪大学 DOI:10.18910/87810

2022.03.24

概要

Riemann 多様体 (M, g) 上の以下の二階の楕円型偏微分方程式を Kazdan-Warner 方程式と呼ぶ:∆_g f + h e^f = c.

ここに、 ∆_g:= d ^∗d は関数に作用する幾何学的 Laplacian を表し、h, c は M 上の与えられた実数値関数であり、f : M → R が偏微分方程式の解である。Kazdan-Warner が上記 Kazdan-Warner 方程式を導入した動機は主に実 2 次元多様体上の prescribed Gaussian curvature problem を解くことにあったと思われるが、Kazdan-Warner 方程式そのものは様々な分野との関連を持ち、多様な研究がなされてきた。特に、Kähler多様体上の正則直線束上のエルミート計量を求める問題との関連は古くから良く知られていた。例えば、Jaffe-Taubesが著した本においては、複素平面上のU(1)-接続に関する偏微分方程式を解く際に、上記Kazdan-Warner方程式と同じ形の方程式が調べられている。

本論文では、実トーラスの複素線形空間への線形作用に対する運動量写像を用いてKazdanWarner方程式を一般化した楕円型偏微分方程式(一般化Kazdan-Warner方程式)をRiemann多様体上に導入し、コンパクトRiemann多様体上でその楕円型偏微分方程式の解の存在と一意性を証明する。本論文において導入する楕円型偏微分方程式は、その具体例としてBryan-WentworthによるKähler曲面上のmulti-monopole equationや、Riemann面上のcyclic Higgs束に付随する対角形の調和計量に対するHitchin方程式 (Toda-lattice with opposite sign) がその具体例であって、特にこれらの偏微分方程式を実トーラスの複素線形空間への線形作用に対する運動量写像の観点から、統一的に一般化するものである。

本論文の構成は以下の通りである。第一章では、一般化Kazdan-Warner方程式の定義を与え、本論文の主定理である、一般化Kazdan-Warner方程式のコンパクトRiemann多様体上での解の存在と一意性の定理を述べる。第二章では、コンパクトKähler多様体上のHiggs束と調和束について、既知の事柄を振り返る。第三章では、主定理の証明を与える。証明では、変分法を用いる。有限次元の運動量写像のKähler商とGIT商の間の対応に関するKempf-Nessの定理で用いられたエネルギー汎関数を拡張した汎関数を導入し、偏微分方程式の解の存在と一意性の問題をその汎関数の臨界点の存在と一意性の問題に帰着させ、それを示すことにより定理の証明を与える。第四章では、主定理を用いて、コンパクトKähler多様体上のG-Higgs束について、その対角形の多重調和計量が存在するための必要十分条件を与える。特に、コンパクトRiemann面上のcyclic Higgs束について、それに付随する調和計量が対角形となることは既に知られているが、そのことを主定理の観点から説明する。第五章では、葉層構造付き多様体上において主定理を拡張する。それを用いて、第四章にて与えた命題と同様の主張がコンパクト佐々木多様体上のbasic Higgs束についても成り立つことを示す。

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