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大学・研究所にある論文を検索できる 「Operad Structures in Geometric Quantization of the Moduli Space of Spatial Polygons」の論文概要。リケラボ論文検索は、全国の大学リポジトリにある学位論文・教授論文を一括検索できる論文検索サービスです。

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Operad Structures in Geometric Quantization of the Moduli Space of Spatial Polygons

髙橋, 雄也 名古屋大学

2022.05.19

概要

幾何学的量子化とは,シンプレクティック幾何学の言葉で量子化を定式化する数学的な試みの一つであり,その最初のステップは,シンプレクティック多様体(𝑀𝑀, ω)に対して量子ヒルベルト空間と呼ばれる,ある種のベクトル空間ℋを構成することである.これを実行するためにはシンプレクティック構造𝜔𝜔の定めるコホモロジー類が整数係数である必要があり,このとき前量子化束と呼ばれる,第一 Chern 類がコホモロジー類[𝜔𝜔]となる𝑀𝑀上の複素直線束𝐿𝐿をとることができる.量子ヒルベルト空間ℋは,この前量子化束𝐿𝐿の切断全体の空間を,偏極という追加のデータを用いて「半分に割る」ことで定義される.偏極の中でも特に(𝑀𝑀, ω)のケーラー構造から定まるケーラー偏極と,(特異)ラグランジュファイバー束𝜋𝜋: (𝑀𝑀, ω) → 𝐵𝐵から定まる実偏極という2つのタイプが知られており,それぞれに対応する量子ヒルベルト空間ℋKä h とℋre は,𝐿𝐿の正則切断全体と,𝜋𝜋の Bohr-Sonmmerfeld 軌道と呼ばれるファイバーに値が集中する𝐿𝐿の切断全体である.このように量子ヒルベルト空間の構成には偏極を指定しなければならないが,物理学の観点からは,得られる量子ヒルベルト空間は偏極に依らないと考えられている.このような見地から特にdim ℋKä h = dim ℋre の成立が期待され,いくつかの例ではこれが実際に確認されている.典型例はトーリック多様体で,複素旗多様体上の Gelfand-Cetlin 系(Guillemin-Sternberg, 1983),Riemann 面上の𝑆𝑆𝑆𝑆(2)-平坦束のモジュライ空間上のGoldman 系(Jeffrey-Weitsman, 1992)といった「トーリックに近い」多様体の場合でも成立が知られている.特にこれらの例で等式dim ℋKä h = dim ℋre は前量子化束の正則切断の空間の次元=モーメント写像の像に含まれる格子点の個数(*)として書き表すことができる.

参考文献

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