論文の公開元へF-matrices in cluster algebras and their applications
概要
団代数は，2000年初頭にFomin-Zelevinskyによって導入された，「団変数」と呼ばれる元から生成される可換代数である．団変数とは，ある特定の変数を「変異」という操作をもちいて繰り返し変換したもの全体のことであり，この団変数と変異がなす構造が満たす種々の性質やその応用を調べることが，団代数理論の研究における主題である．この団代数における変異の構造は，他分野の数学の様々な文脈において現れることが知られており，例えば多元環の表現論，双曲幾何，微分方程式，結び目理論，整数論といった分野において応用されている．団代数の変異構造を知るための重要なツールとして，「dベクトル」，「cベクトル」，「gベクトル」，（あるいはそれらを横に並べて行列とした「D行列」，「C行列」，「G行列」），そして「F多項式」があげられる．全ての団変数はローラン多項式の形をとることが知られており，dベクトルはこのローラン多項式の分母の単項式の指数をベクトルにしたものである．これらは有限型のルート系と良い全単射対応を持っており，団代数黎明期から盛んに考察されてきた．一方，cベクトル，gベクトル，C行列，G行列，F多項式は2006年にFominZelevinskyによって導入された団変数の係数や次数などから定まるベクトル族（行列族）や多項式族である．彼らはこれらのベクトルと多項式を初期条件から漸化式を用いて団変数と独立に定義できることを示し，さらに逆にこれらのベクトルと多項式から元の団変数を復元する「分離公式」を発見した．これにより，変異の構造はこれらの族に帰着されることがわかり，以降はこれらについても盛んに研究されている．
「fベクトル」は，2007年にFu-KellerがFomin-Zelevinskyの予想を否定的に解決する際にはじめて明示的に定義されたF多項式の主要項の次数ベクトルである．そして，このベクトルの性質に関する研究は，2018年に藤原と著者がfベクトルを横に並べた「F行列」を導入することにより本格的に始まった．当論文は，著者とその周辺で行われてきたfベクトル，F行列に関する研究について述べたものである．
当論文は，1章から6章の全6章構成である．1章では団代数の導入と論文構成の説明を行い，2章では3章から6章における主結果を述べるために必要な団代数における基本的な性質を述べている．3章以降は著者とその共同研究者らによる結果を記述している．
3章では，fベクトルとF行列の定義を行ったのち，F行列の持つ自己双対性について述べる．F行列の自己双対性とは，あるF行列の転置行列が別の団代数のあるF行列に一致する性質である．2011年にC行列の転置が別の団代数のG行列に一致することをNakanishi-Zelevinskyが発見していたが，この性質はそのF行列による類似であるといえる．この性質を証明する過程で，通常の変異とは逆の，基準となる初期条件を変異によってずらす「初期変異」という変換を導入し，これによるF行列の漸化式を与えた．また，交換行列の正負を入れ替えたもの同士のC行列，G行列，F行列の間に成立する関係式を導出した．この研究は名古屋大学の藤原祥吾氏との共同研究である，
4章では，fベクトル，F行列の一意性について議論する．元々，著者のF行列導入の目的はF多項式の性質を行列の演算や操作を用いて調べるためであった．しかし，F行列はF多項式の主要項以外の情報を全て削除したものであるため，この行列がF多項式の本質的な情報を持っている行列かどうかという点については疑問の余地がある．そこで，F行列から対応する団変数の集合が一意的に定まるかという問題を考えた．団変数が一意的に定まれば，F多項式は団変数から定義される多項式であることから一意的に決定されることがわかる．著者は，2通りのアプローチを用いてこの問題の部分的な解決を与えた．1つ目のアプローチは，点付き曲面の三角形分割から定まる団代数のF行列を，点付き曲面上の情報に落とし込んで解決する方法である．F行列（fベクトル）の成分は，三角形分割を構成する弦同士の最小の交差回数に一致することが2019年に百合草によって示されており，この最小交差回数の情報から点付き曲面上の弦を特定する方法を与え，F行列の一意性予想を点付き曲面から定まる団代数に対して肯定的に解決した．これは東北大学の百合草寿哉氏との共同研究である．2つ目のアプローチは，dベクトルとfベクトルの一致を用いる方法である．有限型団代数，階数2の団代数については，F行列とD行列が実質的に同じものであることを示し，dベクトルに関する2011年のNakanishi-Stellaの一意性の結果を経由してF行列の一意性予想を肯定的に解決した．さらに，特に階数2の団代数に関してはfベクトルからF多項式を具体的に復元する手順を与えた．これは2011年のLee Schiffler, 2012年のLee-Li-Zelevinskyの，ダイクパスを用いたdベクトルから団変数の具体的表示を与える方法の類似である．
5章では，F行列（fベクトル）の成分を用いてクラスター変数の間に定まる「整合性次数」と呼ばれる関数の一般化を与えることを考える．整合性次数は，元々はFomin-Zelevinskyが2001年に与えた1つの団代数の団変数のペア全体上の自然数値関数であり，団代数のペアが1.ある団に包含されるときはそのペアに対しては0を返し，2.1回の変異で移り変わる関係にあるときは1を返すという性質を持っている．Fomin-Zelevinskyはこれを用いて2002年に有限型の団代数の分類を行っている．この関数は元々は有限型ルート系の言葉を用いて記述されたものであり，そのため有限型の団代数にしか定まっていないものであった．この関数の一般の団代数への拡張については，2013年にCeballos-Pilaudが整合性次数をdベクトルを用いて与えられることを発見し，2018年にCao-LiがCeballos-Pilaudの定義を一般の団代数にも拡張できることを示していた．当論文では，このfベクトルによる類似を与えたうえで，dベクトルによる拡張との比較を行なっている．たとえば，dベクトルによる拡張は上記の2.の性質を満たさないが，fベクトルによる拡張については主要なクラスの団代数に対してはこの性質を満たしていることを示した．この研究は四川大学のChangjianFu氏との共同研究である．
6章では，F行列の双対性に関する整数論への応用を述べる．Stern-Brocot木，Calkin-Wilf木は共に正の既約有理数全体を頂点集合として持つ無限完全二分木である．この2つの木は構成方法が異なるにもかかわらず性質がよく似ており，2000年代からこの2つの木の間に存在する関係を調べる研究がなされてきた．団代数の文脈においては，特にStern-Brocot木と1点付きトーラスの三角形分割の間に関係があることが2011年にNájeraChávezによって指摘されていた．当論文ではこのStern-Brocot木がfベクトルとその変異から得られることを示し，また双対的に，Calkin-Wilf木がfベクトルとその初期変異から得られることを示した．
