群のコホモロジーと局所類体論

概要

本論文は代数的整数論の中でも局所類体論についてまとめたものである. 局所類体論によれば, 局所体の Abel 拡大の Galois 群はその局所体の乗法群によって表される. すなわち, 基礎体として p 進数体 Qp をとり, Ω を Qp の代数閉包, K を Ω に含まれる Qp の有限次拡大体全体の集合とするとき, 任意の K, k ∈ K に対し K/k が Abel 拡大なら, 同型 Gal(K/k) ∼= k×/NK/kK× が成り立つ. これが局所類体論の同型定理である. 本論文では河田敬義著「代数的整数論」の方法にしたがって局所類体論の同型定理を証明する. 証明は大きく二段階に分かれていて, 次の通りである.

(i) 類構造の概念を定式化して, 類構造に対する同型定理を確立する.
(ii) 局所体の場合に, 乗法群が類構造であることを示す.

これらの議論の中で重要な役割を果たすのが群のコホモロジー (より正確には Tate コホモロジー) である.