量子技術と機械学習を用いた時空計量測定の高精度化の理論

概要

博士論文

量子技術と機械学習を用いた
時空計量測定の高精度化の理論

勝部瞭太
令和 4 年

2

目次
第 1 章 序論

4

第 2 章 量子情報論の基礎

2.1

2.2

2.3

10
量子状態と量子操作の記述 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.1.1

密度演算子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.1.2

量子状態トモグラフィー . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.1.3

純粋化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.1.4

TPCP 写像による量子状態の時間発展の記述 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.1.5

間接測定と POVM 測定 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.1.6

CP インストルメントによる測定過程の記述 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.1.7

量子ゲートと量子回路図 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

量子状態と量子ゲートの類似性の指標 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.2.1

忠実度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.2.2

トレース距離 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.2.3

忠実度とトレース距離の関係

2.2.4

Helstrom 限界 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.2.5

シグナルノイズ比と忠実度の関係 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.2.6

ゲート忠実度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

No-go 定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.3.1

No-cloning 定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.3.2

No-programming 定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.4

不確定性関係 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.5

加法的保存則が量子測定と量子操作に与える制限 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.5.1

量子ビットのスピン測定と保存則 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.5.2

Wigner-Araki-Yanase の定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.5.3

保存則とゲートの実装精度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

第 3 章 エネルギー保存則の存在下における散乱過程を用いた量子操作の精度限界

32

3.1

エネルギー保存則下における散乱型の量子測定の誤差の制限 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.2

制御ユニタリーゲートを誤差なく実装するためのハミルトニアンの条件 . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.3

エネルギー保存則下における散乱型の量子測定の誤差の下限の式の証明 . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.4

SWAP ゲートのゲート忠実度の上限の証明 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.5

制御ユニタリーゲートを誤差なく実装するためのハミルトニアンの条件の証明 . . . . . . . . . . . 41

3.6

2 量子ビット制御ユニタリーゲートのゲート忠実度の上限の証明 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.7

第 3 章のまとめ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

第 4 章 機械学習の基礎

4.1
4.2

50

機械学習の問題設定

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
ニューラルネットワークと活性化関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.2.1

パーセプトロン . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4.2.2

ニューラルネットワーク . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3

4.3

4.4

4.2.3

活性化関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4.2.4

分類問題とソフトマックス関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

ニューラルネットワークの学習 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4.3.1

コスト関数と精度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4.3.2

学習データの分割 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.3.3

勾配降下法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4.3.4

誤差逆伝播法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

畳み込みニューラルネットワーク . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

第 5 章 機械学習による計量推定

62

5.1

計量の原理的な測定方法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

5.2

Deep Learning isometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
5.2.1

Deep Learning isometry の定義 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

5.2.2

Covariant Constant Symmetric Tensor と最大 DL isometry . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

5.2.3

DL isometry の具体例 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

5.2.4

CCST の可積分条件 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

5.3

機械学習による AdS の宇宙定数の推定 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

5.4

機械学習による AdS の漸近的対称性のチャージ推定 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

5.5

第 5 章のまとめ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

第 6 章 結論

75

付 録 A 2+1 次元 AdS における自由粒子の運動方程式の解

78

4

第1章

序論

Einstein が 1916 年に一般相対論を完成させて重力波の存在の予言をしてから約 100 年後の 2015 年に重力波望
遠鏡 Advanced LIGO がブラックホール連星の合体で生じた重力波の直接観測に初めて成功し、一般相対論の正
しさが検証された [1–3]。この観測により重力波天文学は転換点を迎えた。2017 年には Advanced Virgo も稼働を
始めた。そして中性子星連星の合体で生じた重力波 (GW170817) を Advanced LIGO と Advanced Virgo が観測
した [4]。この重力波は計 3 台の重力波天文台で観測されたため、重力波の到達方向を推定することができて光学
望遠鏡を用いた観測も行うことができた [5]。その結果、中性子星の合体で元素合成が起こることが間接的に示さ
れた [6, 7]。また γ 線バーストが中性子連星の合体で発生することも間接的に確認された。重力波観測と光学観測
を組み合わせたマルチメッセンジャー天文学により元素合成や初期宇宙における未解決問題の解決の糸口が見つ
かることが期待されている。
重力波観測はマイケルソン干渉計を用いて観測される。干渉計の主な構成要素はレーザーとビームスプリッター、
反射鏡、光検出器である。重力波が来ると 2 つのアームの経路差が生じてレーザー光の干渉が起こる。この干渉
の様子を光検出器でみることで重力波の到達が検知できる。重力波の振幅は陽子サイズで非常に小さいため、重
力波天文台に要求される感度は高く、様々な雑音を減らす工夫が求められる。重力波望遠鏡の測定を妨害する雑音
としては地面の振動による雑音、空気中の分子が反射鏡の表面に衝突することで鏡が揺さぶられる雑音である熱
雑音、検出器におけるショットノイズや輻射圧雑音の量子力学由来の雑音などがある。このうち量子雑音を減らせ
るかどうかについては歴史的に量子測定理論との関係が深い。そこで量子測定理論の歴史を重力波観測との関係
にも触れながら概略を説明する。
量子力学は 1920 年代に Heisenberg、Schr¨
odinger、Born、 Jordan、Dirac などによって構築されたが、量子測
定を初めて定式化したのは von Neumann である [8]。von Neumann は現代の量子測定理論で一般測定と呼ばれる
測定の一例であるポインター測定について考察するなど量子測定理論の基礎を与えた。一般測定とは注目してい
るシステムの物理量を直接測定するのではなく、システムと測定器のプローブの間で相互作用させてシステムと
測定器との間で相関を生じさせた後に測定器の物理量を測ることでシステムの物理量を間接的に読み出す測定の
ことを指す。伝統的な量子力学の文献では測定として射影測定が主に考慮されるが、この一般測定は射影測定よ
りもより広い測定のクラスになる。また von Neumann は固有値が非縮退の物理量 A の射影測定を行って測定値

ai が得られたとき、測定による状態 ρ の変化が A の固有値 ai の固有空間への射影演算子 Pi を用いて
ρ→

Pi ρPi
,
Tr[ρPi ]

(1.1)

と書けることを反復可能性仮説の下で示した。ここで反復可能性とは A を測って ai の測定値が出た直後に再び A
の測定をしたら同じ結果 ai が観測されるという性質のことである。その後 1951 年に L¨
uders は A が縮退している
場合にも状態変化が (1.1) 式で記述されることを示した [9]。このため、(1.1) 式の状態変化は von Neumann-L¨
uders
の射影仮説と言われる。その後 Davies と Lewis はインストルメントという写像を導入し反復可能性の成り立たな
い一般の量子測定があることを示した [10]。また 1970 年代には Helstrom と Holevo によって POVM（Positive

Operator Valued Measure）測定が導入された [11, 12]。POVM 測定は完全性と正値性を満たす POVM 演算子の
組 {Ei }i によって記述される測定である。POVM 測定では i 番目の結果がでる確率 pi が

pi = Tr[Ei ρ],

(1.2)

と与えられる。この POVM 測定は測定結果の確率分布だけを与え、測定後の状態についての情報は与えない。逆
に測定値の確率分布だけが重要で測定による状態変化を問題にしない測定は POVM 測定で記述できることが知ら
れている。そして Davies と L¨
uders によって提唱されたインストルメントで記述される量子測定が物理的に実現

5
可能であるかが問題であったが、1984 年には小澤が Davies らのインストルメントの概念を完全正値インストルメ
ント (CP インストルメント）に拡張し、物理的に実現可能な量子測定と CP インストルメントで記述できる量子
測定が対応することを示し、量子測定理論を完成させた [13]。CP インストルメントは測定結果のラベルを m と
∑
したとき m Tr[Λm (ρ)] = 1 で Λm (ρ) が正値である演算子の組 {Λm }m のことをいう。Λm (ρ) を用いると測定結
果が m である確率は

Pr(M = m|ρ) = Tr[Λm (ρ)],

(1.3)

で、測定結果が m だったときの測定後のシステムの状態 ρm は

ρm =

Λm (ρ)
,
Tr[Λm (ρ)]

(1.4)

と書くことができる。CP インストルメントで記述される測定では測定値の確率分布だけでなく、(1.4) 式のよう
に測定後のシステムの状態の情報も得られる。測定後の状態が定まるという点が測定値の確率分布しか決まらな
い POVM 測定と異なる。ある物理量 A を測定した後、別の物理量 B を測定したい場合は A についての測定後の
状態が記述できないと B の測定値の確率分布を求めることができない。このような場合は POVM ではなく、CP
インストルメントを用いて測定を記述する必要がある。
量子力学では不確定性関係があり、量子測定では不確定性関係に起因する不可避な測定誤差が存在する。不確
定性関係の研究は Heisenberg のガンマ線顕微鏡による電子位置測定の思考実験 [14] が発端となる。Heisenberg は
電子の位置 x の測定誤差 ϵ(x) とその測定によって運動量 p が受ける擾乱 η(p) の間には

ϵ(x)η(p) ∼ ℏ,

(1.5)

の関係があることを示唆した。1927 年には Kennard[15] によって位置の揺らぎ σ(x) と運動量の揺らぎ σ(p) の間
には

ℏ
,
(1.6)
2
の不確定性関係があることが証明された。次いで Robertson[16] によって任意の物理量 A、B の揺らぎ σ(A) と
σ(x)σ(p) ≥

σ(B) の間の不確定性関係
1
| ⟨[A, B]⟩ |,
(1.7)
2
に拡張された。この不確定性関係から量子力学では非可換な物理量の両方の同時固有状態はとることができない、
σ(A)σ(B) ≥

つまり物理量の量子揺らぎは避けられないことが示された。ここで注意するべきなのは Robertson と Kennard の
不確定性関係は状態がもつ物理量の揺らぎについての関係であり量子測定による擾乱や誤差の関係ではないこと
である。その後 von Neumann はポインター測定という測定モデルにおいて Heisenberg の不確定性関係 (1.5) を示
した。
不確定性関係の解釈が問題になった例として重力波検出器の精度限界の論争がある [17, 18]。1980 年代には重力
波検出器として共振器を用いるタイプと干渉計を用いるタイプのどちらが精度良く検出できるかの議論が行われ
ていた。Braginski˘i や Caves などは Kennard の不確定性関係を用いて干渉計による重力波検出の精度の限界値を
求めた。この限界値は標準量子限界（Standard Quantum Limit:SQL）と呼ばれている。Caves らは干渉計を用い
る場合は SQL による観測精度の制約を受けることを指摘した。一方で共振器を用いた検出器では量子非破壊測定
という手法で SQL を回避できることが知られていた。このため共振器を用いた検出器が有利だとされていた。し
かし Kennard の不確定性関係はシステムのサンプルを 2 つのグループに分けて片方のグループのシステムでは A
の測定をもう一方のグループのシステムには B の測定を行ったときの A と B の物理量の揺らぎの関係であって、
一つのサンプルが受ける測定の誤差と擾乱の間の関係ではないので実際には SQL を破ることができる。1983 年に

Yuen は Caves らが SQL の導出で用いた仮定が成り立たない可能性を示し、SQL が破れるかどうかについての論
争が起こっていた [19, 20]。その後 1988 年に小澤が SQL を破る具体的な測定モデルを提示し、干渉計を用いた検
出器でも SQL は破ることが可能であることが示された [21]。干渉計型の重力波検出器ではアームの長さを大きく
することで観測精度の向上が可能であることから干渉計型が採用され、2015 年の LIGO による重力波の観測成功
につながった。重力波検出における SQL の論争は量子測定における測定誤差、擾乱を Kennard の不確定性関係
における物理量の揺らぎとどう結びつけるかの解釈の違いに起因するものであった。

第 1 章 序論

6

小澤によって SQL を破ることが可能であることは示されたが、量子測定の擾乱と誤差の間に任意の測定におい
て Heisenberg が示唆したような不確定性関係が存在するかということは引き続き問題になっていた。2003 年に小
澤は反復可能性を持たない一般の量子測定でも成り立つ、物理量の測定における測定誤差と擾乱の不確定性関係
を証明した [22]。これは A の物理量の測定において、A と B の揺らぎ σ(A)、σ(B)、A の測定誤差 ϵ(A)、A の測
定による B への擾乱 η(B) の間には

ϵ(A)η(B) + ϵ(A)σ(B) + σ(A)η(B) ≥

1
| ⟨[A, B]⟩ |,
2

(1.8)

という関係があり、測定誤差と擾乱と状態がもつ物理量の揺らぎとの間にトレードオフの関係があることを示す。

(1.8) 式は小澤の不等式と呼ばれる。(1.8) 式において第 2 項と第 3 項が 0 になる場合は Heisenberg や von Neumann
̸ 0, σ(p) =
̸ 0 で第 2 項と第 3 項の値は 0 に
が示した測定誤差と擾乱の不確定性関係の形になるが、一般には σ(x) =
ならないので、Heisenberg の不確定性関係は破れる。2013 年には Branciard によって小澤の不等式が数学的に改
良されている [23]。 ...

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