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複雑な水路底面境界形状と跳躍運動する粒子群を考慮した開水路粗面乱流の数値解析

髙鍬 裕也 中央大学

2022.12.21

概要

【研究の背景と目的】
　開水路粗面乱流の構造と乱流中の粒子群の運動は，流れの抵抗則や土砂移動，河川構造物の破壊，栄養塩等の物質輸送，水棲生物の生息環境等を検討する上で基礎的かつ重要な課題であり，水路のスケール（水路幅bや水深h）や粗面構造（底面粗度の凹凸rや空隙の大きさ，浸透層厚pl），粒子の体積や形状，物性値といった粒子特性，移動粒子と底面凹凸との関係，移動粒子間の相互作用，移動粒子と流れの相互作用等に規定される．
　粒子群を含まない開水路の三次元乱流に関する研究は多い．林ら(2006)は，幅の狭い矩形断面を有する開水路滑面乱流においては，横断面内の圧力とレイノルズ応力の不均衡により，水路の内側から底面コーナーに向かい底面コーナーから水路中央に進むBottom Secondary Flow(BSF)，底面コーナーから側壁沿いを上昇するOuter Secondary Flow(OSF)，水面と側壁に囲まれた隅においてOSFとは逆向きに回転するInner Secondary Flow(ISF)の3種類の二次流セルが形成されること等を明らかにしている．しかし，幅の狭い粗面開水路流れについては，最大主流速に対する二次流速度の最大値の比|̅𝑠̅𝑣̅𝑚𝑎𝑥|⁄𝑢̅𝑚𝑎𝑥が開水路滑面乱流のときと比べて大きくなること，二次流セルのスケールが大きくなること等は実験的に示されているものの（冨永(1988)），その物理的な機構については解明されていない．また，水路のアスペクト比がb/h>5.0と水路幅が大きくなると，流れの三次元構造に及ぼす側壁の影響は小さくなり，粗度高さに基づく相対水深h/rや粗面表層の構造，浸透層の有無が重要となる．相対水深が小さくなると底面付近で対数分布則が成立しなくなること，浸透層があることにより流れの抵抗が増加すること等が示されているものの（例えば，Manesら(2009)），特に，相対水深の小さい浸透性粗面乱流の構造については理解が不足している．
　粒子群を含む乱流に関する多くの研究は，微細な粒子が浮遊する乱流を対象としており，粒径が大きくかつ跳躍運動する粒子群を伴う乱流の構造変化に関する研究は少ない．その様な中で，近年，Fukuokaら(2014)のArbitrary Particle Multiphase method（APM法）によって，任意形状の大粒径粒子の運動と周囲の乱流場の解析が可能となり，特に移動床からなる流路の抵抗則に関する研究が進められている．しかし，移動床実験では，乱流構造の変化が移動粒子によるものか河床変動によるものか等その要因について十分な理解は得られていない．
　また，粒子運動に着目すると，粒子の運動に及ぼす形の効果に関する検討は極めて少ない．この様な中で，福岡ら(2004,2005)，重村(2004)は，ダム貯水池の堆砂対策のための排砂水路の磨耗進展機構を調べ，さらに，形状の違いによる単一石礫の流下挙動に関する貴重な実験結果を得ている（以下，単一石礫流送実験と呼ぶ）．しかし，実験当時は，石礫に作用する流体力や石礫周りの流れ場，また石礫と水路との接触力等を計測し，これらを解析する技術力はなかったため，非球形石礫の運動機構について十分な評価はできなかった．このため，非球形粒子の流体中の運動機構の解明は今なお残された課題となっている．
　本論文では，水路のスケールや複雑な底面境界形状を考慮した開水路粗面乱流の構造を解明し，それを用いて水流中を跳躍運動する大粒径粒子群の運動機構及び大粒径粒子の跳躍運動に伴う流れの構造変化の機構を明らかにすることを目的とする．そのため，第一に，複雑な水路底面凹凸と跳躍運動する大粒径粒子群を考慮した開水路粗面乱流を評価することの可能な数値解析法（APM法）を示す．以降，本文で言う数値解析法とはAPM法を指す．この数値解析法をManesら(2009)の固定床浸透性粗面乱流実験に適用し，流れ構造を高精度に評価するために必要な計算格子幅等の計算条件を明らかにする．
第二に，第一の検討で得られた計算条件のもと，アスペクト比b/hや相対水深h/rなどの水路のスケールや浸透層の有無といった水路底面境界形状の異なる開水路粗面乱流に数値解析法を適用し，時間平均流と応力の三次元構造を解明し，さらに時間平均流と乱流の瞬間構造と粗面構造との関係を明らかにする．
最後に，開水路粗面乱流中の大粒径粒子の運動と流れとの相互作用の機構を検討する．まず，単一石礫流送実験映像の画像解析と，単一石礫流送実験を対象とした数値解析により，開水路粗面乱流中の石礫の運動に及ぼす形の効果を明らかにする．次に，跳躍運動する大粒径粒子群を含む固定床浸透性粗面乱流の数値解析を実施し，粒子の跳躍運動に伴う流れの構造変化及び移動粒子間の相互作用の機構を明らかにする．

【本論文の内容と成果】
　本論文は6章で構成される．各章の内容と成果の概要は以下のとおりである．第1章「序論」では，研究の背景，目的，本論文の構成を示した．

　第2章「移動粒子群及び複雑な水路境界形状を考慮した開水路粗面乱流の数値解析法」では，第一に，複雑な水路底面境界形状を有し（第2章～第5章），かつ水流中を水深に対して無視することのできない大きさの粒子が移動する場（第5章）を説明することの可能な数値解析法（APM法）を示した．流れの解析は，流れの瞬間構造を捉えることの可能なLarge Eddy Simulation(LES)である．複数の移動粒子周りに適合する計算格子を時々刻々と設定することは容易ではなく，流体計算の格子は立方体とし，固液混相の一流体モデルを導入し，サブセル法で算出した格子内の固相の体積割合を用いて，格子内の固相の質量と運動量を流れの解析に反映した．また，流体中の粒子運動はLagrange的に解いている．粒子に作用する流体力は，粒子よりも十分小さな計算格子を用いて得られる粒子周りの応力を積分し直接評価した．また，粒子間の衝突力は，多数の接触を同時に評価することの可能な個別要素法を用いて評価した．
　APM法の妥当性は，Fukudaら(2019)により，一様流中に固定された球に作用する流体力（抗力係数）や大量の土砂が流動する土石流水理実験を対象として検証されている．しかし，これまで開水路粗面乱流の流れ構造を分析可能か十分に検証されていなかった．本章では，第二に，Manesら(2009)の固定床浸透性粗面乱流の実験を対象に，計算格子幅やサブセル幅，SGSモデルの異なる条件のもと数値解析を実施し，流れ構造の解析精度に及ぼす計算条件の影響を検証した．これより，Smagorinskyモデルを用いて浸透性粗面を構成する球の直径dに対して計算格子幅とサブセル幅をそれぞれ𝑑⁄∆≥10, 𝑑⁄∆𝑠𝑢𝑏𝑐𝑒𝑙𝑙≥60とすることにより，流速分布や乱れ構造を説明し得ることを明らかにした．

　第3章「幅の狭い粗面開水路流れの構造とこれに及ぼすアスペクト比と相対水深の効果」では，アスペクト比(b/h=0.36~1.43)と相対水深(h/r=3.63~12.00)の異なる開水路粗面乱流の数値解析を実施し，二次流を含む時間平均流と応力の三次元構造や二次流セルのスケール及び主流速分布に及ぼすアスペクト比と相対水深の効果に関する以下の結果を得た．
　第一に，LESの結果を用いて，レイノルズ応力方程式の各項の大小関係を分析し，BSFやOSFを駆動するレイノルズ垂直応力の発生機構を示した．すなわち，主流速𝑢̅の底面及び壁面方向勾配により流下方向成分の速度変動u’が発生し，これがレイノルズ応力方程式の圧力-歪相関項を介して横断方向及び鉛直方向の流速変動(v’,w’)に変換され，レイノルズ垂直応力(𝑅22= ̅𝑣̅′̅𝑣̅̅′,𝑅33= ̅𝑤̅̅′̅𝑤̅̅′)が生成される．また，レイノルズ垂直応力𝑅22に関するレイノルズ応力方程式の圧力-歪相関項は，アスペクト比が大きく，相対水深が小さいほど，水深に対するスケール及びその強度が大きくなり，乱れの非一様性が強くなることを明らかにした．
　第二に，レイノルズ方程式の各項の大小関係から，支配的な応力の構造を分析した．その結果，開水路粗面乱流においてもレイノルズ垂直応力項は，基本的には水路の内側から底面コーナーに向けて作用し，BSFやOSFの底面コーナーに向かう成分を駆動することを示した．粗面の効果は，特に圧力の縦断分布に現れ，レイノルズ方程式の重力加速度項と圧力勾配項の和が粗度要素を乗り越える流れ(𝑤̅>0)と谷部に潜り込む流れ(𝑤̅<0)を駆動すること，これら時間平均鉛直方向流速𝑤̅と横断面内の二次流とが重なり合い二次流が縦横断的に変化すること，最大主流速に対する二次流速度の大きさの最大値の比|̅𝑠̅𝑣̅𝑚𝑎𝑥|⁄𝑢̅𝑚𝑎𝑥が開水路滑面乱流（Nezuand Nakagawa 1993）と比べて十分大きくなることを明らかにした．また，これらの結果より，幅の狭い粗面開水路流れの時間平均流と応力の三次元構造を可視化し示した．
　最後に，二次流のスケールと主流速分布に及ぼすアスペクト比と相対水深の効果を調べ，アスペクト比が大きく相対水深が小さくなるほど，乱れの非一様性が増し，また粗度要素周りの時間平均鉛直方向流速𝑤̅が大きくなり，OSFのスケールは拡大しISFのスケールが縮小することを明らかにした．また，相対水深h/rが5.0以下のときに，粗度要素近傍の二次流速度の大きさが径深に基づく摩擦速度の大きさと同程度になることを示した．

　第4章「幅の広い粗面開水路流れの構造に及ぼす浸透層の効果」では，一様な大きさの球で構成される浸透性粗面（5層）と非浸透性粗面（単層）の幅の広い直線水路上の定常流に関する数値解析を実施し，時間平均された主流及び応力の構造に及ぼす粗面表層の構造や浸透層の効果，またこれらに及ぼす流れの瞬間構造の効果について検討し，以下の結果を得た．
　第一に，時空間平均した水理量を用いて抵抗係数を評価した結果，浸透性粗面乱流の抵抗係数f’は非浸透性粗面乱流と比べて8%程度大きくなり，Manesら(2009)など従来から指摘されているように，浸透性粗面乱流の抵抗は非浸透性粗面乱流の抵抗よりも大きくなることを示した．なお，本ケースでは相対水深がh/r≈7.0と，粗度要素が流れの抵抗に大きく寄与するため，摩擦速度で無次元化した時空間平均主流速鉛直分布の形状は両ケースで変わらなかった．
　第二に，第3章と同様にレイノルズ方程式を用いて支配的な応力の構造を分析し，時間平均流の三次元構造と粗面構造，浸透層の関係を調べた．まず，浸透層の有無にかかわらず，基本的には，粗度要素の前面の圧力増加に伴い，レイノルズ方程式の圧力勾配項は，粗度要素を乗り越える流れ(𝑤̅>0)，間隙に潜り込む流れ(𝑤̅<0)，粗度要素を回り込む流れ𝑣̅を駆動することを示した．ただし，浸透性粗面乱流の場合，粗面頂部より低い位置における二次流速度の大きさ(̅𝑠̅𝑣̅=√𝑣̅2+𝑤̅2)は，最大で摩擦速度の7割程度，平均的には4割程度と非浸透性粗面乱流と比べて大きくなり，主流と浸透流との相互作用の効果が表れることを示した．
　最後に，粗面頂部近傍の流速変動を分析し，浸透性粗面乱流において粗度要素周りの二次流速度(̅𝑠̅𝑣̅=√𝑣̅2+𝑤̅2)が非浸透性粗面乱流と比べて大きくなる理由を調べた．浸透性粗面乱流では，非浸透性粗面乱流のときと比べて，主流から浸透流に侵入する流れは減衰しづらく，バースティング現象（本検討では，特に，摩擦速度の2~4倍程度のsweep）が頻発することを明らかにした．このことは，第一に浸透性粗面乱流における粗面頂部より低い位置の二次流速度の大きさ(̅𝑠̅𝑣̅=√𝑣̅2+𝑤̅2)が非浸透性粗面乱流と比べて大きくなること，第二にレイノルズ応力̅𝑢̅̅′̅𝑤̅̅′を増加させ，その結果，浸透性粗面乱流の抵抗が大きくなることに寄与することを表す．この主流と浸透流との相互作用は，粗面頂部から粗面を構成する球の1粒径分高い位置(z/d≈1.0)まで及んだ．

　第5章「固定床粗面乱流中の大粒径粒子の跳躍運動とこれに伴う乱流構造の変化」では，3つの検討を実施した．
　第一に，単一石礫流　送実験映像を画像解析し，開水路粗面乱流中の3種類の石礫（扁平な形状の石礫，塊状で対称性の強い石礫，塊状だが非対称性の強い石礫）の運動に及ぼす形の効果を明らかにした．以下に主要な結果を示す．
①扁平な形状の石礫は，「短軸を回転軸とした転動・跳躍」と「長軸や中軸を回転軸として跳躍する滑空形態」とで移動形態を変えながら流下する．
②長軸周りの形状が円形に近い塊状の石礫は，基本的に「長軸を回転軸とした転動・跳躍」により移動する．ただし，形の非対称性が強い石礫は，回転軸が安定せずに水路底面と接触する際に高頻度で姿勢を変え，石礫頂部が水路底面と接触すると大きく跳躍することがある．
　第二に，単一石礫流送実験にAPM法を適用し，開水路粗面乱流中の非球形石礫の運動を解析した．球と異なる形状の石礫運動の解析には，水路底面凹凸の実態を十分考慮する必要がある．本解析では，石礫よりも小さな平面スケールの水路底面凹凸を的確に解析に考慮することにより，各石礫の移動形態と移動速度を説明可能であることを示した．
　第三に，第4章の固定床浸透性粗面乱流中に底面粗度を構成する球と同じ大きさの球を投入し続け，互いに接触しないで流下する粒子や集団を形成して接触しながら流下する粒子群の運動機構，跳躍運動する粒子群に伴う流れの構造変化の機構を調べた．他の粒子と接触せずに単独で流下する粒子は，跳躍時に大きな流下方向流体力を受けて加速し，降下時には低い位置の流速よりも粒子速度が大きくなるため負の流下方向流体力を受けて減速する．一方，粒子が集団を形成し接触しながら流下する場合，まず，集団の後方に位置する粒子が大きな流下方向流体力を受けて，前方の粒子を乗り越えたり，回り込んだりする．次に，追い抜かれた粒子が大きな流下方向流体力を受け，前方の粒子を追い越し，これらの運動が繰り返される．この結果，粒子集団の移動速度は小さくなる．この様な粒子群の跳躍運動の結果，粒子濃度が大きくなるほど主流速は小さくなるものの，粒子の最高到達高さ(z/d=2.0)よりも高い位置においても流れの乱れ強度の全成分が大きくなるなど，微細な粒子が浮遊する流れの構造に関する知見（例えば，Musteら(2009)）との差異を示した．跳躍する粒子周りの流速場の変化を詳細に調べた結果，粒子が跳躍する際に底面付近の低速流体塊を高い位置に運び，降下する際には高い位置の高速流体塊を低い位置に輸送することを示し，粒子の跳躍運動が乱流のejectionやsweepのような働きを流れに及ぼすことを明らかにした．
　第4章と第5章の結果は，幅広い粒度分布からなる土砂の運動を検討する際には，微細な粒子の運動に及ぼす主流と浸透流との相互作用や大粒径粒子の運動に伴う流れの構造変化の機構を考慮する必要があることを表している．

第6章「結論」では，本論文で得られた結果を総括し，今後の課題を示した．
　本論文では，開水路粗面乱流の構造と乱流中の粒子群の運動機構を明らかにするため，幅の狭い粗面開水路流れの時間平均流と応力の三次元構造とこれに及ぼすアスペクト比と相対水深の効果，幅の広い粗面開水路流れにおける主流と浸透流の相互作用の機構，水流中の粒子運動に及ぼす形の効果及び跳躍運動する粒子群と流れの相互作用の機構を明らかにした．
以下に，本論文に関する今後の課題を示す．
✓ 浸透層が造り出す組織的な乱れ構造が主流構造に与える効果を明らかにする．特に，底面の粗さと浸透流が生み出す乱れの構造変化を調べる．
✓ 粒子の跳躍運動のバラツキに及ぼす粒子体積や形状及び水路底面凹凸の効果を明らかにする．
✓ 粒子濃度が大きく，移動粒子間の接触が多い条件の解析を実施し，粒子間の相互作用（接触）が粒子の運動に及ぼす効果を明らかにする．

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参考文献

第1章の参考文献

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56) Cundall, P.A. and Strack, O.D.L.: A discrete numerical model for granular assembles, Geotechnique, Vol.29(1), pp.47-65, 1979.

57) Fukuda, T. and Fukuoka, S.: Interface-resolved large eddy simulations of hyperconcentrated flows using spheres and gravel particles. Advances in Water Resources, Vol. 129, pp.297-310, 2019.

第2章の参考文献

1) 後藤仁志：数値流砂水理学-粒子法による混相流と粒状体の計算力学-，森北出版，2004.

2) Dong, P. and Zhank, K.: Two-phase flow modeling of sediment motions in oscillatory sheet flow. Coastal Engineering, Vol. 36, pp. 87-109, 1999.

3) 梶島岳夫，瀧口智志，浜崎洋至，三宅裕：渦放出を伴う粒子を含む鉛直平行平板間乱流の構造，日本機械学会論文集(B編)，第66巻647号，pp.120-127,2000.

4) Uhlmann, M.: An immersed boundary method with direct forcing for the simulation of particulate flows. Journal of Computational Physics, Vol.209, pp.448-476, 2005.

5) 牛島省，山田修三，藤岡奨，禰津家久：3次元自由水面流れによる物体輸送の数値解法(3DMICS)の提案と適用性の検討，土木学会論文集B,Vol.62(1),pp.100-110,2006.

6) Ji, C., Munjiza, A., Avital, E., Xu, D. and Williams, J.: Saltation of particles in turbulent channel flow. PHYSICAL REVIEW E, Vol.89, 052202, 2014.

7) Fukuoka, S., Fukuda, T. and Uchida, T.: Effects of sizes and shapes of gravel particles on sediment transports and bed variations in numerical movable-bed channel. Advances in Water Resources, Vol.72, pp.84-96, 2014.

8) Hu, HH.: Direct simulation of flows of solid-liquid mixtures. International Journal of Multiphase flow, Vol. 22(2), pp.335-352, 1996.

9) 小野謙二：設計における直行格子法の利用，ながれ，Vol.21,pp.16-25,2002.

10) 赤坂啓，小野謙二：複雑形状に対するボクセル法に基づく非圧縮流れ解析の境界条件の実装方法，日本計算工学会論文集，No.20060024,2006.

11) Peskin, S.: Flow patterns around heart valves: a numerical method. Journal of Computational Physics, Vol.10, pp.252-271, 1972.

12) Fadlun, A., Verzicco, R., Orlandi, P. and Mohd-Yusof, J.: Combined immersed-boundary finite- difference methods for three-dimensional complex flow simulations. Journal of Computational Physics, Vol.161, pp.35-60, 2000.

13) 有川太郎，山田文則，秋山実：3次元数値波動水槽における津波波力に関する適用性の検討，海岸工学論文集，第52巻，pp.46-50,2005.

14) 中村正人，高瀬慎介，樫山和男，寺田賢二郎，車谷麻緒：有限被覆法に基づく自由表面を有する流体-構造連成解析手法の構築，土木学会論文集A2（応用力学），Vol.67(2),Ⅰ_199-Ⅰ_208,2011.

15) 有川太郎，関克己，大木裕貴，平野弘晃，千田優，荒木和博，石井宏一，高川智博，下迫健一郎：階層型連成シミュレーションによる高精細津波遡上計算手法の開発，土木学会論文集B2（海岸工学），Vol.73(2),Ⅰ_325-Ⅰ_330,2017.

16) 米山望：自由水面をもつ多次元流れの数値水理学的研究，京都大学大学院博士論文，2001.

17) Hirt, C.W. and Nicholds, B.D.: Volume of fluid (VOF) method for the dynamics of free boundaries. Journal of Computational Physics, Vol.39, pp.201-225, 1981.

18) Cundall, P.A. and Strack, O.D.L.: A discrete numerical model for granular assembles, Geotechnique, Vol.29(1), pp.47-65, 1979.

19) Manes, C., Pokrajac, D., McEwan, I. and Nikora, V.: Turbulence structure of open channel flows over permeable and impermeable beds: A comparative study. PHYSCS OF FLUIDS, Vol.21, 125109, 2009.

20) Fukuda, T. and Fukuoka, S.: Interface-resolved large eddy simulations of hyperconcentrated flows using spheres and gravel particles. Advances in Water Resources, Vol.129, pp.297-310, 2019.

21) 福田朝生，澁谷慎一，福岡捷二：改良された袋詰玉石工の洪水時の安定性評価技術の開発とこれを活用した袋詰玉石工の構造・配置の技術的検討，河川技術論文集，第25巻，pp.463-468,2019.

22) Smagorinsky, J.: General circulation experiments with the primitive equations, Monthly Weather Review, Vol.91(3), pp.99-164, 1963.

23) 稲垣昌英，近藤継男，長野靖尚：実用的なLESのための混合時間スケールSGSモデル，日本機械学会論文集(B編)，第68巻673号，pp.122-129，2002.

24) 梶島岳夫：乱流の数値シミュレーション，株式会社養賢堂，2012.

25) 福田朝生：種々の形状を有する石礫粒子群からなる数値移動床水路の構築とこれを活用した水流と石礫粒子群の運動機構に関する研究，中央大学大学院博士論文，2013.

26) Deardorff, J.W.: A numerical study of three-dimensional turbulent channel flow at large Reynolds numbers. Journal of Fluid Mechanics, Vol. 41(2), pp.453-480, 1970.

27) 義江龍一郎，小村佳祐，堅田弘大，Jiang,G.：都市街区内の非等温流れ場における汚染物質拡散・熱拡散に関する風洞実験とLES，第22回風工学シンポジウム論文集，pp.61-66,2012.

28) 河合英徳，田村哲郎，近藤宏二，野津剛，ラフールバレ，大西慶治，坪倉誠：BCM-LESによる建物周りの圧力場・流れ場解析，第24回風工学シンポジウム論文集，pp.247-252,2016.

29) 禰津家久：開水路乱流の乱れ強度に関する研究，土木学会論文報告集，第261号，pp.67-76,1977.

30) 水理委員会共同研究グループ（芦田和男，江頭進治，佐々木幹夫，清水義彦，関根正人，玉井昌宏，藤田正治，宮本邦明，森明巨）：固液混相流における支配方程式の構造について，水工学論文集，第38巻，pp.563-570,1994.

31) 水理委員会共同研究グループ（芦田和男，江頭進治，佐々木幹夫，清水義彦，関根正人，玉井昌宏，藤田正治，宮本邦明，森明巨）：固液混相における支配方程式とその適用性，水工学論文集，第39巻，pp.537-550,1995.

32) Tsuji, Y., Tanaka, T. and Ishida, T.: Lagrangian numerical simulation of plug flow of cohesionless particle in a horizontal pipe. Powder Technology, Vol.71, pp.239-250, 1992.

第3章の参考文献

1) Nezu, I and Nakagawa, H.: Turbulence in Open-Channel Flows. IAHR-monograph, CRC Press, Rotterdam, 1993.

2) 林俊一郎，大本照憲，本田逸郎：直接数値シミュレーションによる開水路隅角部の三次元乱流構造の解明，土木学会論文集B，Vol.62, No.1 pp.80-99, 2006.

3) Grega, L.M., Wei, T., Leighton, R.I. and Neves, J.C.: Turbulent mixed-boundary flow in a corner formed by a solid wall and a free surface, Journal of Fluid Mechanics, Vol.294, pp.17-46, 1995.

4) Grega, L. M., Hsu, T. Y. and Wei, T.: Vorticity transport in a corner formed by a solid wall and a free surface, Journal of Fluid Mechanics, Vol.465, pp.331-352, 2002.

5) Broglia, R., Pascarelli, A. and Piomelli, Ugo: Large-eddy simulations of ducts with a free surface, Journal of Fluid Mechanics, Vol.484, pp.223-253, 2003.

6) Joung, Y. and Choi, S.: Direct numerical simulation of low Reynolds number flows in an open-channel with sidewalls, International Journal of Numerical Methods Fluids, Vol.62, pp.854-874, 2010.

7) 冨永晃宏：直線開水路流の三次元乱流構造に関する研究，京都大学大学院博士論文，1988.

8) Tominaga, A. and Nezu, I.: Three-dimensional turbulent structure in a straight open-channel flow with varying boundary roughness. Proceedings of 3rd Asian Congress of Fluid Mechanics, pp.608-611, Tokyo, 1986.

9) Ancey, C., Bigillon, F., Frey, P., Lanier, J. and Ducret, R.: Saltating motion of a bead in a rapid water stream. PHYSICAL REVIEW E, Vol.66, 036306, 2002.

10) 梶島岳夫：乱流の数値シミュレーション，第5版，株式会社養賢堂，2012.

11) Rodi, W., Constantinescu, G. and Stoesser, T.: Large-Eddy Simulation in Hydraulics. IAHR-monograph, CRC Press, Rotterdam, 2013.

12) 梶島岳夫，三宅裕，西本俊幸：正方形断面流路内の乱流のLES，日本機械学会論文集（B編），第57巻540号，pp.50-57,1991.

第4章の参考文献

1) Nezu, I and Nakagawa, H.: Turbulence in Open-Channel Flows. IAHR-monograph, CRC Press, Rotterdam, The Netherlands, 1993.

2) Singh, KM., Sandham, ND. and Williams, JJR.: Numerical simulation of flow over a rough bed. Journal of Hydraulic Engineering, Vol.133(4), pp.386-398, 2007.

3) Stoesser, T., Frohlich, J. and Rodi, W.: Tubulent open-channel flow over a permeable bed. Proceeding of 32nd IAHR Congress, International Association for Hydro-Environment Engineering and Research, Venice, Italy, 2007.

4) Bomminayuni, S. and Stoesser, T.: Turbulence statistics in an open-channel flow over a rough bed. Journal of Hydraulic Engineering, Vol. 137(11), pp.1347-1358, 2011.

5) McSherry, R., Chuna, K., Stoesser, T. and Falconer, RA.: Large Eddy Simulations of rough bed open channel flow with low submergence and free surface tracking. River Flow 2016, pp.85-90, 2016.

6) 吉村英人：水面変動を考慮した数値解析による開水路乱流場の基礎的・応用的研究，神戸大学大学院博士論文，2017.

7) 大本照憲，柿原ゆり，崔志英：相対粗度の大きい開水路流れの乱流特性について，水工学論文集，第49巻，pp.511-515,2005.

8) 大本照憲，馬場太郎，崔志英：開水路乱流に与える球状粗度の影響について，水工学論文集，第51巻，pp.691-696,2007.

9) 大本照憲，SukarnoTohirin，松田健作：開水路粗面乱流における抵抗則と運動量輸送，水工学論文集，第54巻，pp.979-984,2010.

10) Nikora, V., McEwan, I., McLean S., Coleman, S., Pokrajac, D., Walters, R.: Double-averaging concept for rough-bed open-channel and overland flows: Theoretical background. Journal of Hydraulic Engineering, ASCE, Vol.133(8), pp.873-883, 2007.

11) Nikora, V., McLean S., Coleman, S., Pokrajac, D., McEwan, I., Campbell, L., Aberle, J., Clunie, D., and Koll, K.: Double-averaging concept for rough-bed open-channel and overland flows: Applications. Journal of Hydraulic Engineering, ASCE, Vol.133(8), pp.884-895, 2007.

12) Manes, C., Pokrajac, D., McEwan, I. and Nikora, V.: Turbulence structure of open channel flows over permeable and impermeable beds: A comparative study. PHYSCS OF FLUIDS, Vol.21, 125109, 2009.

13) 梶島岳夫：乱流の数値シミュレーション，第5版，株式会社養賢堂，2012.

14) Rodi,W.,Constantinescu,G.andStoesser,T.:Large-EddySimulationinHydraulics.IAHR-monograph,CRCPress,Rotterdam,2013.

15) 禰津家久：開水路乱流の乱れ強度に関する研究，土木学会論文報告集，第261号，pp.67-76, 1977.

16) Raupach, M.P., Thom, A.S. and Edwards, I.: A wind-tunnel study of turbulent flow close to regularly arrayed rough surfaces. Boundary-Layer Meteorology, Vol.18, pp.373-397, 1980.

17) Nikora, V., Goring, D., McEwann, I. and Griffiths, G.: Spatially averaged open-channel flow over rough bed. Journal of Hydraulic Engineering, Vol.127(2), pp. 123-133, 2001.

18) 中川博次，辻本哲郎，清水義彦：相対水深の小さな流れの構造に関する実験的研究，土木学会論文集，第423号，Ⅱ-14,pp.73-81,1994.

第5章の参考文献

1) 日野幹雄：固体粒子を浮遊した流れの乱流構造の変化，土木学会論文集，第92号，pp.11-22, 1962.

2) 日野幹雄：粗面水路における土砂流の抵抗法則およびその応用，土木学会論文集，第95号，pp.1-8, 1965.

3) Lyn, D.A.: A similarity approach to turbulent sediment-laden flows in open channels. Journal of Fluid Mechanics, Vol.193, pp.1-26, 1988.

4) Rashidi, M.G., Hetsroni, G. and Banerjee, S.: Particle-turbulence interaction in a boundary layer. International Journal Multiphase Flow, Vol.16(6), pp.935-949, 1990.

5) Gore, R.A. and Crowe, C.T.: Effect of particle size on modulating turbulent intensity. International Journal of Multiphase Flow, Vol.15(2), pp.279-285, 1989.

6) Best, J., Bennett, S., Bridge, J.S. and Leeder, M.: Turbulence modulation and particle velocities over flat and sand beds at low transport rates. Journal of Hydraulic Engineering, Vol.123(12), pp.1118-1129, 1997.

7) Kaftori, D., Hetsroni, G. and Banerjee, S.: The effect of particles on wall turbulence. International Journal of Multiphase Flow, Vol.24(3), pp.359-386, 1998.

8) Kiger, K.T. and Pan, C.: Suspension and turbulence modification effects of solid pariculates on a horizontal turbulent channel flow. Journal of Turbulence, Vol.19(3), pp.1-21, 2002.

9) Righetti, M. and Romano, G.P.: Particle-fluid interactions in a plane near-wall turbulent flow. Journal of Fluid Mechanics, Vol.505, pp.93-121, 2004.

10) Muste, M., Yu, K., Fujita, I. and Ettema, R.: Two-phase flow insights into open-channel flows with suspended particles of different densities. Environmental Fluid Mechanics, Vol.9, pp.161-186, 2009.

11) Ji, C., Munjiza, A., Avital, E., Xu, D. and Williams, J.: Saltation of particles in turbulent channel flow. PHYSICAL REVIEW E, Vol.89, 052202, 2014.

12) Fukuoka, S., Fukuda, T. and Uchida, T.: Effects of sizes and shapes of gravel particles on sediment transports and bed variations in numerical movable-bed channel. Advances in Water Resources, Vol.72, pp.84-96, 2014.

13) 田所弾，福田朝生，福岡捷二：流砂運動の素過程と流砂量に及ぼす粒子形状・粒度分布の影響，混相流，Vol.30,pp.491-498,2017.

14) 熱海孝寿，福岡捷二：石礫粒子形状の違いが流れ場と河床形状に及ぼす影響の研究，土木学会論文集B1（水工学），Vol.75(5),pp.Ⅰ_919-Ⅰ_924, 2018.

15) Chan-Braun, C., Garcia-Villalba, M. and Uhlmann, M.: Direct numerical simulation of sediment transport in turbulent open channel flow. High Performance Computing in Science and Engineering’10, pp.295-306, 2011.

16) 重村一馬：排砂水路を流下する礫群の運動と水路底面の磨耗進展機構，広島大学大学院工学研究科修士論文，2004.

17) 福岡捷二，篠原康寛，正木丈也，重村一馬，藤堂正樹，岡田将治，斉藤一正：排砂水路底面の磨耗進展機構の実験的検討，水工学論文集，第48巻，pp.1135-1140,2004.

18) 福岡捷二，渡邊明英，篠原康寛，山下翔，斉藤一正：高速で多量に流下する礫群の運動機構と床面磨耗量の推算，河川技術論文集，第11巻，pp.291-296,2005.

19) Takakuwa, Y. and Fukuoka, S.: Motions of single and a group of particles with different shapes flowing down in fixed bed channels. Two-phase modelling for sediment dynamics in geophysical flows, THESIS-2016, pp.89-92, 2016.

20) Fukuda, T. and Fukuoka, S.: Euler-Lagrange simulation of invert concrete abrasion. 2nd International Workshop on Sediment Bypass Tunnels, FP14, 2017.

21) Matsushima, T., Katagiri, J., Uesugi, K., Tsuchiyama, A. and Nakano, T.: 3D shape characterization and Image-Based DEM simulation of the Lunar Soil Simulation FJS-1. Journal of Aerospace Engineering, Vol.22(1), pp.15-23, 2009.

22) 藤岡奨，牛島省：運動する任意形状物体を含む流れ場のMICSによる数値計算法，水工学論文集，第50巻，pp.751-756,2006.

23) 河村三郎：土砂水理学1，森北出版株式会社，2005．

24) Zingg, T.: Beitrage zur Shotteranalyse. THESIS, ETH, Zurich, 1935.

25) 後藤仁志：数値流砂水理学-粒子法による混相流と粒状体の計算力学-，森北出版株式会社，2004.

26) 福田朝生：PersonalCommunication,2016.

27) 表真也，岡田慎哉，石川博之，日下部祐基，伊藤佳彦：3次元DEMを用いた落石シミュレーションの定数設定法に関する検討，土木学会北海道支部論文報告集，第65号，C-6,2008.

28) Ancey, C., Bigillon, F., Frey, P., Lanier, J. and Ducret, R.: Saltating motion of a bead in a rapid water stream. PHYSICAL REVIEW E, Vol.66, 036306, 2002.

29) Dong, P. and Zhank, K.: Two-phase flow modeling of sediment motions in oscillatory sheet flow. Coastal Engineering, Vol. 36, pp. 87-109, 1999.

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