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大学・研究所にある論文を検索できる 「ランダム行列理論におけるMarcenko-Pastur則の3変数拡張」の論文概要。リケラボ論文検索は、全国の大学リポジトリにある学位論文・教授論文を一括検索できる論文検索サービスです。

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ランダム行列理論におけるMarcenko-Pastur則の3変数拡張

遠藤 大樹 中央大学

2022.07.12

概要

複素ウィシャート行列とは, 各行列成分が独立な複素標準正規分布に従うM×N, M≥Nランダム行列Kに対し, N×N半正定値行列L=K†Kのことである.Marcenko–Patur則とは, スケーリング極限(行列サイズN→∞, M→∞, ただし行列の縦横のサイズ比r=N/Mを一定とする極限)のなかで, ウィシャート行列の非自明な固有値分布がある確率密度関数(Marcenko–Pastur密度ρ(x; r), 以下MP密度)で与えられるという法則である[19].ウィシャート行列の固有値分布の時間発展(dynamicalextension)は, noncolliding squared Bessel processで与えられ, その流体力学的極限は時間発展を含んだMP密度を与える.2変数MP密度ρ(x; r, t)とは初期分布がlimt→0 ρ(x; r, t)=δ(x)の場合である.Blaizot, Nowak, Warcho-lの三人は複素ウィシャート行列アンサンブルに別の初期条件として一般の単一出発点limt→0 ρ(x;r, t)=δ(x−a), a≥0 でウィシャート行列の時間発展固有値分布の流体力学極限を考え, 3変数MP密度ρ(x;r, t, a)を導入した[2, 3].このようなモデルはnon-centered Wishart ensembleと呼ぶことが出来る。本研究では, 3変数MP密度ρ(x; r, t, a)の有用な式を導出した.r=1の時には臨界時刻tc(a)=aで見られる動的な臨界現象の体系的な研究を行い, 長時間極限t→∞における普遍的な動作も報告する.また, 3変数MP密度を有する本システムは, 自発的なカイラル対称性の破れを示すQCDの平均場モデルを提供することが期待される.[13]

参考文献

[1] Anderson, G. W., Guionnet, A., Zeitouni, O.: An Introduction to Random Matrices. Cambridge: Cambridge University Press, 2010

[2] Blaizot, J.-P., Nowak, M. A., Warcho-l, P.: Universal shocks in the Wishart random-matrix ensemble. Phys. Rev. E 87, 052134/1–10 (2013)

[3] Blaizot, J.-P., Nowak, M. A., Warcho-l, P.: Universal shocks in the Wishart random-matrix ensemble. II. Nontrivial initial conditions. Phys. Rev. E 89, 042130/1–7 (2014)

[4] Br´ezin, E., Hikami, S.: Random Matrix Theory with an External Source. Springer Briefs in Math- ematical Physics, vol. 19, Springer, Singapore (2017)

[5] Bru, M. F.: Wishart process. J. Theor. Probab. 4, 725–751 (1991)

[6] Cabanal Duvillard, T., Guionnet, A.: Large deviations upper bounds for the laws of matrix-valued processes and non-communicative entropies. Ann. Probab. 29, 1205–1261 (2001)

[7] Delvaux, S., Kuijlaars, A. B. J., Rom´an, P., Zhang, L.: Non-intersecting squared Bessel paths with one positive starting and ending point. J. Anal. Math. 118 105–159 (2012)

[8] Forrester, P. J.: Log-Gases and Random Matrices. Princeton: Princeton University Press, 2010

[9] Forrester, P. J.: The averaged characteristic polynomial for the Gaussian and chiral Gaussian en- sembles with a source. J. Phys. A: Math. Theor. 46 345204 (2013)

[10] Forrester, P. J., Grela, J.: Hydrodynamical spectral evolution for random matrices. J. Phys. A: Math. Theor. 49 085203 (2016)

[11] Hardy, A., Kuijlaars, A. B. J.: Large deviations for a non-centered Wishart matrix. Random Ma- trices: Theory Appl. 2 no 1, 1250016 (2013)

[12] Janik, R. A., Nowak, M. A., Papp, G., Zahed, I.: Critical scaling at zero virtuality in QCD. Phys. Lett. B 446, 9–14 (1999)

[13] Endo, T., Katori, M.: Three-parametric Marcenko–Pastur density. arXiv:1907.07413, J.Stat.Phys. http://link.springer.com/article/10.1007/s10955-020-02511-5

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[15] Katori, M., Tanemura, H.: Noncolliding squared Bessel processes, J. Stat. Phys. 142, 592–615 (2011)

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[17] Kuijlaars, A. B. J., Martinez-Finkelshtein, A., Wielonsky, F.: Non-intersecting squared Bessel paths: critical time and double scaling limit. Commun. Math. Phys. 308, 227–279 (2011)

[18] Liu, Y., Warcho-l, P., Zahed, I: Hydrodynamics of the Dirac spectrum. Phys. Lett. B 753, 303–307 (2016)

[19] Marcenko, V. A., Pastur, L. A.: Distributions of eigenvalues for some sets of random matrices. Math. USSR-Sbornik 1, 457–483 (1967)

[20] Nisigaki, S. M.: Random Matrices and Gauge Theory (in Japanese), Asiensu-sya, Tokyo (2016)

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